Ähnlichkeit & Strahlensätze - Die Grundlagen
Maßstäbe sind überall um dich herum - auf Stadtplänen, in Modellen oder bei Fotos. Der Maßstab k zeigt dir das Verhältnis zwischen Bild und Wirklichkeit: k = Länge im Bild ÷ Länge in Wirklichkeit.
Die drei wichtigsten Fälle sind schnell verstanden: Bei k < 1 wird verkleinert (wie bei Landkarten), bei k = 1 sind Bild und Original gleich groß, und bei k > 1 wird vergrößert (wie unter einem Mikroskop). Ein Maßstab 1:500 bedeutet zum Beispiel, dass 1 cm im Bild 500 cm in der Realität entspricht.
Wenn du Figuren vergrößerst oder verkleinerst, multiplizierst du einfach alle Längen mit dem Faktor k. Die entstehende Figur ist zur ursprünglichen ähnlich - sie hat die gleiche Form, aber eine andere Größe.
Die zentrische Streckung ist eine elegante Methode, um Figuren vom Streckzentrum Z aus zu verändern. Du verbindest jeden Punkt P mit Z und trägst die neue Entfernung P'Z = k · PZ ab. Dabei bleiben alle Winkel gleich und entsprechende Seiten verlaufen parallel.
Merke dir: Bei ähnlichen Figuren sind alle Winkel gleich und alle entsprechenden Seiten parallel!
Die Strahlensätze helfen dir, wenn zwei Geraden von parallelen Linien geschnitten werden. Der erste Strahlensatz besagt, dass die Verhältnisse der Teilstrecken gleich sind: ZA/ZA' = ZB/ZB'. Der zweite Strahlensatz verbindet diese Verhältnisse mit den Verbindungsstrecken: AB/A'B' = ZA/ZA'.
