Äquivalenzumformungen - Grundlagen

Äquivalenzumformungen sind Rechnungen mit Zahlen und Buchstaben, die ein Gleichheitszeichen enthalten. Das Ziel ist, herauszufinden, welchen Wert man für den Buchstaben (Variable) einsetzen muss, damit die Gleichung stimmt.

Bei Äquivalenzumformungen ist der wichtigste Grundsatz: Was du auf einer Seite des Gleichheitszeichens machst, musst du auch auf der anderen Seite machen. Dein Ziel ist es, die Variable allein auf eine Seite zu bekommen und alle Zahlen auf die andere.

So gehst du vor:

1. Klammern auflösen und vereinfachen
2. Variablen und Zahlen ordnen (Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere)
3. Variable allein stellen
4. Lösungsmenge angeben $L = { }$
5. Probe machen

Gut zu wissen: Die Buchstaben wie Q, Z oder N hinter einer Aufgabe sagen dir, welche Art von Zahlen als Lösung erlaubt sind. Q bedeutet rationale Zahlen (alle Zahlen), Z bedeutet ganze Zahlen (ohne Komma) und N bedeutet natürliche Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Schau dir dieses Beispiel an:

8-(3y+5) = y+23; y ∈ Z
8-3y-5 = y+23 |-8
-3y-5 = y+15 |+5
-3y = y+20 |-y
-4y = 20 |:(-4)
y = -5
L = {-5}

Bei jeder Umformung schreibst du hinter einen Strich, was du als Nächstes rechnest. Am Ende erhältst du den Wert für deine Variable.

Die Probe machen

Die Probe ist ein wichtiger Teil jeder Äquivalenzumformung. Sie hilft dir zu prüfen, ob dein Ergebnis richtig ist. Du kannst ganz einfach testen, ob deine Lösung stimmt!

Um die Probe zu machen, setzt du deinen gefundenen Wert $z.B. y = -5$ in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn beide Seiten der Gleichung dann den gleichen Wert ergeben, ist deine Lösung korrekt.

Bei unserem Beispiel von der vorherigen Seite sieht die Probe so aus:

Probe: 8-(3·(-5)+5) = (-5)+23
       8-(-15+5) = -5+23
       8-(-10) = 18
       8+10 = 18
       18 = 18 ✓

Achtung: Vergiss nicht, dass zwischen einer Zahl und einer Variable ein Malzeichen steht, auch wenn es nicht immer geschrieben wird! Also 3y bedeutet 3·y.

Wenn bei deiner Probe beide Seiten gleich sind (wie hier 18 = 18), dann hast du alles richtig gemacht! Falls nicht, solltest du deine Rechnung nochmal überprüfen.