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31. Jan. 2026
•
Nellie
@nellie04
Die analytische Geometrie bringt Algebra und Geometrie zusammen - du... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst die Position deines Handys im Raum beschreiben - dafür brauchst du drei Zahlen! Ein Punkt im Raum wird als P(x₁|x₂|x₃) geschrieben, wobei jede Koordinate eine Richtung angibt.
Die drei Koordinatenebenen sind wie Wände in einer Zimmerecke: die x₁x₂-Ebene (wie der Boden), die x₁x₃-Ebene und die x₂x₃-Ebene. Alle Punkte in einer Ebene haben eine Koordinate gleich null.
Spiegelungen funktionieren ganz logisch: Spiegelst du an einer Achse, ändern sich die beiden anderen Koordinaten ihr Vorzeichen. Spiegelst du an einer Ebene, ändert nur die "senkrechte" Koordinate ihr Vorzeichen. Am Ursprung werden alle Koordinaten negativ.
Merktipp: Bei Spiegelungen ändern immer die Koordinaten ihr Vorzeichen, die zur Spiegelachse oder -ebene "senkrecht" stehen.
Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, wie weit und in welche Richtung du gehen musst. Ein zweidimensionaler Vektor hat zwei Komponenten, ein dreidimensionaler drei.
Um einen Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Startkoordinaten von den Zielkoordinaten ab: . Das funktioniert für jede Koordinate einzeln.
Es gibt drei besondere Vektoren: Der Nullvektor (alle Komponenten sind null), der Ortsvektor (startet immer am Ursprung) und der Gegenvektor (alle Vorzeichen umgekehrt).
Praxistipp: Vektoren beschreiben immer eine Verschiebung, nicht eine absolute Position - wie eine Anweisung "gehe 3 Schritte nach rechts".
Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras in 3D: . Einfach alle Komponenten quadrieren, addieren und Wurzel ziehen.
Den Mittelpunkt einer Strecke findest du, indem du die Koordinaten der Endpunkte addierst und durch 2 teilst. Der Ortsvektor zum Mittelpunkt ist .
Für Rechengesetze gelten die gleichen Regeln wie bei normalen Zahlen: Addition ist kommutativ (Reihenfolge egal), assoziativ (Klammern egal) und das Distributivgesetz funktioniert auch.
Eselbrücke: Der Mittelpunkt liegt genau da, wo sich die beiden Endpunkte "treffen würden", wenn sie sich jeweils halbwegs bewegen.
Vektoren addieren und subtrahieren funktioniert komponentenweise - einfach die entsprechenden Zahlen zusammenrechnen. Bei der Multiplikation mit einer Zahl multiplizierst du jede Komponente einzeln.
Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - einer ist ein Vielfaches des anderen. Wenn gilt, dann sind sie kollinear. Das siehst du sofort, wenn alle Komponenten den gleichen Faktor haben.
Eine Linearkombination ist wie ein Rezept: Du nimmst verschiedene Vektoren, multiplizierst sie mit Zahlen und addierst alles zusammen. Die allgemeine Form ist .
Wichtig: Kollineare Vektoren zeigen in die gleiche oder genau entgegengesetzte Richtung - wie Pfeile auf einer Geraden.
Jeden Vektor kannst du als Linearkombination der Einheitsvektoren schreiben. Der Vektor (3|4|5) ist einfach 3-mal der erste Einheitsvektor plus 4-mal der zweite plus 5-mal der dritte.
Beim Parallelogramm-Check nutzt du die Eigenschaft, dass gegenüberliegende Seiten gleich sind. Du berechnest und sowie und - sind sie jeweils gleich, hast du ein Parallelogramm.
Das Beispiel zeigt: A(2|0|3), B(4|4|4), C(11|7|9), D(9|3|8) ergeben tatsächlich ein Parallelogramm, weil ist.
Kontrollmethode: Bei einem echten Parallelogramm müssen beide Bedingungen erfüllt sein: UND .
Manchmal hast du nur drei Punkte eines Parallelogramms und sollst den vierten finden. Das ist wie ein Puzzle - du nutzt die Parallelogramm-Eigenschaft geschickt aus.
Die Strategie: Da gelten muss, ist . Du berechnest also , addierst ihn zum Ortsvektor von A und erhältst D.
Im Beispiel mit A(2|1|-1), B(3|7|-8), C(0|4|5) ergibt sich: und damit D(2|1|-1) + (-3|-3|13) = D(-1|-2|12).
Erfolgsrezept: Zeichne dir das Parallelogramm auf - dann siehst du sofort, welche Vektoren gleich sein müssen!
Nach jeder Berechnung solltest du eine Probe durchführen. Das ist nicht nur für gute Noten wichtig, sondern hilft dir auch, Fehler zu erkennen, bevor sie sich durchziehen.
Bei Parallelogrammen berechnest du zur Kontrolle die beiden anderen Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{DC}$ und prüfst, ob auch sie gleich sind. Erst wenn beide Bedingungen erfüllt sind, stimmt deine Lösung.
Diese Gewohnheit wird dir in komplexeren Aufgaben das Leben retten - ein kleiner Rechenfehler am Anfang kann das ganze Ergebnis ruinieren.
Profitipp: Gewöhne dir an, immer eine Probe zu machen - es dauert nur wenige Sekunden, aber kann dir viele Punkte retten!
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Nellie
@nellie04
Die analytische Geometrie bringt Algebra und Geometrie zusammen - du rechnest mit Koordinaten und Vektoren statt nur zu zeichnen. Hier lernst du, wie Punkte im dreidimensionalen Raum funktionieren und wie Vektoren dir dabei helfen, Bewegungen und Formen mathematisch zu beschreiben.
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Stell dir vor, du willst die Position deines Handys im Raum beschreiben - dafür brauchst du drei Zahlen! Ein Punkt im Raum wird als P(x₁|x₂|x₃) geschrieben, wobei jede Koordinate eine Richtung angibt.
Die drei Koordinatenebenen sind wie Wände in einer Zimmerecke: die x₁x₂-Ebene (wie der Boden), die x₁x₃-Ebene und die x₂x₃-Ebene. Alle Punkte in einer Ebene haben eine Koordinate gleich null.
Spiegelungen funktionieren ganz logisch: Spiegelst du an einer Achse, ändern sich die beiden anderen Koordinaten ihr Vorzeichen. Spiegelst du an einer Ebene, ändert nur die "senkrechte" Koordinate ihr Vorzeichen. Am Ursprung werden alle Koordinaten negativ.
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Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, wie weit und in welche Richtung du gehen musst. Ein zweidimensionaler Vektor hat zwei Komponenten, ein dreidimensionaler drei.
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Es gibt drei besondere Vektoren: Der Nullvektor (alle Komponenten sind null), der Ortsvektor (startet immer am Ursprung) und der Gegenvektor (alle Vorzeichen umgekehrt).
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Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras in 3D: . Einfach alle Komponenten quadrieren, addieren und Wurzel ziehen.
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Vektoren addieren und subtrahieren funktioniert komponentenweise - einfach die entsprechenden Zahlen zusammenrechnen. Bei der Multiplikation mit einer Zahl multiplizierst du jede Komponente einzeln.
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Jeden Vektor kannst du als Linearkombination der Einheitsvektoren schreiben. Der Vektor (3|4|5) ist einfach 3-mal der erste Einheitsvektor plus 4-mal der zweite plus 5-mal der dritte.
Beim Parallelogramm-Check nutzt du die Eigenschaft, dass gegenüberliegende Seiten gleich sind. Du berechnest und sowie und - sind sie jeweils gleich, hast du ein Parallelogramm.
Das Beispiel zeigt: A(2|0|3), B(4|4|4), C(11|7|9), D(9|3|8) ergeben tatsächlich ein Parallelogramm, weil ist.
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Manchmal hast du nur drei Punkte eines Parallelogramms und sollst den vierten finden. Das ist wie ein Puzzle - du nutzt die Parallelogramm-Eigenschaft geschickt aus.
Die Strategie: Da gelten muss, ist . Du berechnest also , addierst ihn zum Ortsvektor von A und erhältst D.
Im Beispiel mit A(2|1|-1), B(3|7|-8), C(0|4|5) ergibt sich: und damit D(2|1|-1) + (-3|-3|13) = D(-1|-2|12).
Erfolgsrezept: Zeichne dir das Parallelogramm auf - dann siehst du sofort, welche Vektoren gleich sein müssen!
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Nach jeder Berechnung solltest du eine Probe durchführen. Das ist nicht nur für gute Noten wichtig, sondern hilft dir auch, Fehler zu erkennen, bevor sie sich durchziehen.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Vektorrechnung, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen. Erfahren Sie mehr über kollineare Vektoren, Vektoraddition, Skalarprodukt und die Bestimmung von Winkeln zwischen Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte und Formeln der Vektorrechnung.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Stefan S
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Xander S
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