Mathe BLF Vorbereitung: Die ultimative Übersicht

Grundlagen der Funktionen und quadratische Funktionen

Funktionen sind wie Maschinen, die aus jedem x-Wert genau einen y-Wert machen. Der Definitionsbereich (D) zeigt dir, welche x-Werte erlaubt sind, der Wertebereich (W) alle möglichen y-Werte.

Bei quadratischen Funktionen mit der Form f$x$ = ax² + bx + c entsteht immer eine Parabel. Der wichtigste Punkt ist der Scheitelpunkt - das ist gleichzeitig das Maximum oder Minimum der Funktion.

Die Parameter verändern die Parabel auf verschiedene Weise: Der Parameter a streckt oder staucht sie, e verschiebt nach oben/unten und d nach links/rechts. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du jede Parabel in die praktische Scheitelpunktform f$x$ = $x + d$² + e umwandeln.

Tipp: Bei der quadratischen Ergänzung nimmst du die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadrierst sie und addierst/subtrahierst sie geschickt.

Lineare Funktionen sind am einfachsten: f$x$ = mx + n. Hier ist m der Anstieg (positiv = steigend, negativ = fallend) und n der y-Achsenabschnitt. Potenzfunktionen wie y = x³ oder y = x⁻¹ haben je nach Exponent ganz unterschiedliche Formen - von Parabeln bis zu Hyperbeln.

Exponential- und gebrochenrationale Funktionen

Exponentialfunktionen beschreiben Wachstum und Zerfall in der realen Welt - von Bakterien bis Zinsen. Die Form f$x$ = a·b^x zeigt dir: a ist der Startbestand, b der Wachstumsfaktor.

Ist b > 1, hast du exponentielles Wachstum. Ist 0 < b < 1, dann Zerfall oder Abnahme. Den Wachstumsfaktor berechnest du mit q = 1 + p/100, den Zerfallsfaktor mit z = 1 - p/100.

Um eine Exponentialfunktion durch zwei Punkte zu bestimmen, setzt du beide Punkte in f$x$ = a·b^x ein und löst das Gleichungssystem. Dividierst du die Gleichungen geschickt, fällt a weg und du kannst b berechnen.

Merksatz: Exponentialfunktionen haben immer eine waagerechte Asymptote - meist die x-Achse.

Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche mit Polynomen im Zähler und Nenner. Sie können sehr unterschiedlich aussehen und haben oft Asymptoten - Linien, denen sich der Graph nähert, aber nie erreicht.

Trigonometrische Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens sind die Grundlagen der Trigonometrie. Die Sinusfunktion f$x$ = sin$x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, schwingt zwischen -1 und +1 und wiederholt sich alle 2π.

Die Kosinusfunktion f$x$ = cos$x$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat aber denselben Wertebereich und dieselbe Periode wie der Sinus. Die Tangensfunktion hingegen hat senkrechte Asymptoten und ist nur alle π periodisch.

Mit den Parametern a, b, c und d kannst du diese Funktionen verändern: a ändert die Amplitude (Höhe der Schwingung), b die Periode (Länge einer Schwingung), c verschiebt horizontal und d vertikal.

Die allgemeine Form lautet: f$x$ = a·sin$bx + c$ + d. Hier gilt: neue Periode = 2π/b.

Eselsbrücke: Sinus startet bei (0|0), Kosinus bei (0|1). Tangens hat "Löcher" in seinem Graphen.

Logarithmusfunktionen und praktische Rechnungen

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Der Graph von y = log₂$x$ ist einfach der gespiegelte Graph von y = 2^x an der Hauptwinkelhalbierenden.

Wichtige Eigenschaften: Die Nullstelle liegt immer bei x = 1, der Definitionsbereich ist nur für positive x-Werte. Für b > 1 ist die Funktion monoton steigend, die negative y-Achse wird zur Asymptote.

Beim Lösen von Gleichungen setzt du oft y = 0 und verwendest die pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Achte darauf, dass deine Gleichung die Form x² + px + q = 0 hat.

Um Schnittpunkte zweier Funktionen zu finden, setzt du sie gleich und löst nach x auf. Dann setzt du x in eine der Funktionen ein, um y zu berechnen.

Wichtig: Prüfe immer, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, indem du die Koordinaten einsetzt. Kommt eine wahre Aussage raus, liegt er drauf.

Trigonometrie in Dreiecken und wichtige Gesetze

Im rechtwinkligen Dreieck brauchst du den Satz des Pythagoras: a² + b² = c². Dazu kommen die trigonometrischen Verhältnisse: sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete.

Für allgemeine Dreiecke verwendest du den Sinussatz und Kosinussatz. Der Sinussatz a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) hilft, wenn du zwei Seiten und einen Winkel kennst. Der Kosinussatz a² = b² + c² - 2bc·cos(α) ist eine Erweiterung des Pythagoras.

Die Potenzgesetze sind essentiell: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ und aᵐ·bᵐ = (a·b)ᵐ. Bei Wurzeln gilt: √x·√y = √(x·y) und √x/√y = √(x/y).

Umrechnung: Eine Potenz mit gebrochenem Exponenten wird zur Wurzel: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).

Für Kreise brauchst du A = π·r² für die Fläche. Kreisbögen berechnest du mit bₐ = 2πr·α/360° und Kreissektoren mit Aₐ = πr²·α/360°.

Periodische Prozesse und Logarithmen

Das Bogenmaß ist eine alternative Art, Winkel zu messen: arc(α) = π·α/180°. Am Einheitskreis entspricht der Sinus der y-Koordinate, der Kosinus der x-Koordinate eines Punktes.

Logarithmen sind die Umkehrung der Potenzierung. Aus b^x = c wird log_b$c$ = x. Wichtige Logarithmen sind der dekadische (lg), duale (ld) und natürliche (ln) Logarithmus.

Die Logarithmengesetze funktionieren ähnlich wie Potenzgesetze: log_b(a·c) = log_b$a$ + log_b$c$, log_b(a/c) = log_b$a$ - log_b$c$ und log_b$a^r$ = r·log_b$a$.

Besonderheiten: log_b(1) = 0 immer, log_a$a$ = 1 immer. Du kannst nur positive Zahlen logarithmieren und die Basis muss positiv und ≠ 1 sein.

Praktischer Tipp: Der natürliche Logarithmus ln wird oft in Wachstumsprozessen verwendet, der dekadische lg bei wissenschaftlichen Rechnungen.

Bei den Größenumrechnungen merkst du dir: Flächeneinheiten mit Faktor 100, Volumeneinheiten mit Faktor 1000. Zeit: 1s = 1000ms, Volumen: 1l = 1dm³ = 1000ml.

Binomische Formeln und Statistik

Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde beim Vereinfachen: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b² und a+b$$a-b = a² - b². Diese Formeln funktionieren auch rückwärts zum Faktorisieren.

In der Statistik gibt es verschiedene Mittelwerte: Das arithmetische Mittel ist der normale Durchschnitt, der Median der mittlere Wert einer sortierten Liste und der Modalwert der häufigste Wert.

Die Spannweite zeigt den Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert. Die Standardabweichung misst, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen - je größer, desto mehr Streuung.

Am Taschenrechner trägst du alle Daten in List 1 ein, wählst "eindimensionale Variable" und bekommst automatisch alle wichtigen Kennwerte: x̄ (Mittelwert), σx (Standardabweichung) und den Modalwert.

Statistik-Trick: Sortiere deine Daten immer erst, bevor du den Median bestimmst. Bei gerader Anzahl von Werten liegt der Median zwischen den beiden mittleren.

Diese Kennwerte helfen dir, Datenmengen schnell zu verstehen und zu vergleichen. In Klausuren kommen oft Aufgaben dran, wo du diese Werte berechnen oder interpretieren musst.