Einführung in die Differentialrechnung

Differentialrechnung - Steigungen und Extrempunkte

Sekantenanstiege zeigen dir die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten. Mit der Formel $m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}$ berechnest du ganz einfach, wie steil eine Gerade zwischen zwei gegebenen Punkten verläuft.

Für Tangentenanstiege brauchst du die Ableitung. Die Grundformel $f(x)=ax^n$ wird zu $f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$ abgeleitet. Diese Ableitung gibt dir die exakte Steigung an jedem beliebigen Punkt der Kurve.

Den Anstiegswinkel findest du mit $\tan\alpha = m$, die prozentuale Steigung mit $p=100\cdot m$. So kannst du Steigungen auch in Grad oder Prozent angeben.

Merke: Die erste Ableitung ist der Schlüssel für alle Steigungsberechnungen!

Extrempunkte findest du in drei Schritten: Erst die erste Ableitung gleich null setzen, dann die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen für die y-Werte, und schließlich mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Ist $f''(x)<0$, hast du einen Hochpunkt, ist $f''(x)>0$, einen Tiefpunkt.

Wendepunkte berechnest du ähnlich: Die zweite Ableitung gleich null setzen, x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen, und mit der dritten Ableitung prüfen, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt ($f'''(x) \neq 0$). Im Wendepunkt ändert sich das Kurvenverhalten - die Kurve wechselt von einer Links- in eine Rechtskrümmung oder umgekehrt.