Differentialrechnung - Steigungen und Extrempunkte
Sekantenanstiege zeigen dir die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten. Mit der Formel m=X2−X1Y2−Y1 berechnest du ganz einfach, wie steil eine Gerade zwischen zwei gegebenen Punkten verläuft.
Für Tangentenanstiege brauchst du die Ableitung. Die Grundformel f(x)=axn wird zu f′(x)=a⋅n⋅xn−1 abgeleitet. Diese Ableitung gibt dir die exakte Steigung an jedem beliebigen Punkt der Kurve.
Den Anstiegswinkel findest du mit tanα=m, die prozentuale Steigung mit p=100⋅m. So kannst du Steigungen auch in Grad oder Prozent angeben.
Merke: Die erste Ableitung ist der Schlüssel für alle Steigungsberechnungen!
Extrempunkte findest du in drei Schritten: Erst die erste Ableitung gleich null setzen, dann die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen für die y-Werte, und schließlich mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Ist f′′(x)<0, hast du einen Hochpunkt, ist f′′(x)>0, einen Tiefpunkt.
Wendepunkte berechnest du ähnlich: Die zweite Ableitung gleich null setzen, x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen, und mit der dritten Ableitung prüfen, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt $f'''(x) \neq 0$. Im Wendepunkt ändert sich das Kurvenverhalten - die Kurve wechselt von einer Links- in eine Rechtskrümmung oder umgekehrt.