Grenzwerte und Wachstumsprozesse
Das Verhalten für x → ∞ ist bei e-Funktionen besonders interessant: x^n·e^−x → 0, egal wie groß n ist. Die e-Funktion "gewinnt" immer gegen Polynome! Bei de l'Hospital kannst du unbestimmte Ausdrücke ∞/∞ oder 0/0 lösen, indem du Zähler und Nenner ableitest.
Wachstumsprozesse beschreiben reale Phänomene: Lineares Wachstum f(t) = m·t + b (konstanter Zuwachs), exponentielles Wachstum f(t) = N₀·aᵗ (Verdopplung, Bakterien), beschränktes Wachstum f(t) = S - c·e^−kt (nähert sich einer Grenze S).
Komplexe Zahlen erweitern unser Zahlensystem: c = a + i·b mit i² = -1. Die Länge |c| = √a2+b2 berechnest du wie beim Satz des Pythagoras. Das konjugiert komplexe c̄ = a - i·b ist wichtig für Berechnungen.
Die Polynomdivision hilft beim Finden von Nullstellen: Rate eine Nullstelle, dann teile f(x) durch x−NS und wiederhole den Prozess.
Real-World Connection: Exponentielles Wachstum findest du überall - von Zinsen über Pandemie-Verläufe bis hin zu sozialen Medien!