Der Einheitskreis und seine Grundlagen
Der Einheitskreis ist ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius 1. Mathematisch ausgedrückt: Alle Punkte P(x,y) auf diesem Kreis erfüllen die Gleichung x² + y² = 1.
Was macht diesen Kreis so besonders? Du kannst Sinus und Cosinus direkt als Koordinaten ablesen! Wenn du einen Punkt P auf dem Einheitskreis hast, dann ist die x-Koordinate gleich cos(α) und die y-Koordinate gleich sin(α).
Das funktioniert, weil du ein rechtwinkliges Dreieck bildest, dessen Hypotenuse immer 1 lang ist. Dadurch wird sin(α) = Gegenkathete/1 = y-Koordinate und cos(α) = Ankathete/1 = x-Koordinate.
Merktipp: cos(α) = x-Koordinate, sin(α) = y-Koordinate. So einfach ist das!
Ein praktisches Beispiel: Bei 180° liegt der Punkt bei , also ist cos(180°) = -1 und sin(180°) = 0.
Tangens am Einheitskreis verstehen
Der Tangens funktioniert etwas anders als Sinus und Cosinus. Hier musst du das Dreieck so skalieren, dass die Ankathete zu α gleich 1 wird. Dadurch entsteht ein neuer Punkt P'(x', y').
Der Tangens entspricht dann der y-Koordinate dieses skalierten Punktes: tan(α) = y'. Das Besondere dabei: Die Gegenkathete des skalierten Dreiecks verläuft tangential zum Einheitskreis - daher auch der Name "Tangens".
Bei 45° zum Beispiel liegt der ursprüngliche Punkt bei (1,1), und nach der Skalierung erhältst du tan(45°) = 1. Das macht geometrisch perfekt Sinn, weil bei 45° Gegenkathete und Ankathete gleich lang sind.
