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11. Dez. 2025

33 Seiten

Erwartungswert und Standardabweichung: Formeln einfach erklärt

P

Pia Witzke

@piawitzke_qcc3

In der Stochastik ist der Erwartungswerteine der wichtigsten Kennzahlen... Mehr anzeigen

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Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Titel

Das hier ist nur eine Titelseite - der richtige Inhalt startet gleich!

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Inhaltsverzeichnis

Diese Zusammenfassung behandelt alles, was du über Erwartungswerte bei der Binomialverteilung wissen musst. Du lernst die Grundlagen, siehst die mathematische Herleitung und bekommst praktische Beispiele zum Üben.

Tipp: Falls du nur schnell die Formel brauchst, spring direkt zu den späteren Seiten - die Herleitung ist optional für das Verständnis.

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Erwartungswert - Start

Jetzt geht's richtig los mit dem Erwartungswert!

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Erwartungswert Grundlagen

Der Erwartungswert ist eigentlich nur ein fancy Name für den Durchschnitt, den du bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsversuchs erwarten würdest. Die allgemeine Formel lautet: μ = E(X) = k₁·p₁ + k₂·p₂ + ... + kₙ·pₙ.

Bei einem normalen Würfel rechnest du: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + ... + 6·(1/6) = 3,5. Das bedeutet: Würfelst du super oft, liegt dein Durchschnitt bei 3,5 - obwohl diese Zahl nie gewürfelt werden kann!

Merkregel: Der Erwartungswert muss nicht immer ein mögliches Ergebnis sein - er ist nur der theoretische Durchschnitt.

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Voraussetzungen Binomialverteilung

Bevor du die coole Formel für den Erwartungswert bei der Binomialverteilung anwenden kannst, musst du checken, ob alle Bedingungen erfüllt sind. Es gibt vier wichtige Kriterien:

Feste Anzahl von Versuchen (n), unabhängige Versuche, nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch und eine konstante Wahrscheinlichkeit p. Der letzte Punkt ist besonders wichtig - deshalb ziehst du bei Kugeln immer "mit Zurücklegen".

Praxis-Tipp: Fragst du dich "Erfolg oder kein Erfolg?" und bleibt p gleich? Dann hast du eine Binomialverteilung!

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
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Erwartungswert Formel

E(X) = n · p - das ist die Formel, die du dir unbedingt merken musst! Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert einfach die Anzahl der Versuche mal die Erfolgswahrscheinlichkeit.

Diese Formel ist so praktisch, weil sie super einfach ist. Während andere Verteilungen komplizierte Rechnungen brauchen, reichen bei der Binomialverteilung zwei Zahlen.

Klausur-Tipp: Diese Formel kommt in fast jeder Stochastik-Klausur vor - lern sie auswendig!

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
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Herleitung

Jetzt schauen wir uns an, wie man auf die Formel E(X) = n · p kommt.

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Beweis Teil 1

Falls du wissen willst, warum E(X) = n · p funktioniert, hier ist der mathematische Beweis. Du startest mit der Grundformel E(X) = Σ k·PX=kX=k und setzt die Binomialverteilungs-Formel ein.

Nach mehreren Umformungen mit Fakultäten und dem Binomialkoeffizienten kommst du zum binomischen Lehrsatz. Das ist ziemlich heavy Math, aber das Ergebnis ist elegant!

Entspann dich: Für die meisten Klausuren reicht es, wenn du die Formel E(X) = n·p anwenden kannst - die Herleitung ist Bonus-Wissen.

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Beweis Teil 2

Die Herleitung geht weiter: Du nutzt den binomischen Lehrsatz, der besagt, dass 1p+p1-p + pⁿ⁻¹ = 1ⁿ⁻¹ = 1 ist. Das ist der entscheidende Schritt, der die komplizierte Summe verschwinden lässt.

Am Ende bleibt nur noch np übrig - genau die Formel, die du brauchst! Der Erwartungswert bei der Binomialverteilung ist also wirklich so einfach.

Fun Fact: Mathematiker lieben solche eleganten Vereinfachungen - aus einer mega komplizierten Formel wird plötzlich etwas super Simples.

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
04 Beispielaufg

Beweis Abschluss

Der vollständige Beweis zeigt alle Schritte von der ursprünglichen Definition bis zur finalen Formel E(X) = n · p. Die Mathematik dahinter nutzt Eigenschaften der Binomialverteilung und den binomischen Lehrsatz.

Das Coole ist: Egal wie kompliziert der Beweis aussieht, das Endergebnis ist super praktisch anzuwenden. Du multiplizierst einfach die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit!

Takeaway: Auch wenn Mathe manchmal kompliziert wirkt, führt sie oft zu überraschend einfachen und nützlichen Ergebnissen.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathe

3.297

11. Dez. 2025

33 Seiten

Erwartungswert und Standardabweichung: Formeln einfach erklärt

P

Pia Witzke

@piawitzke_qcc3

In der Stochastik ist der Erwartungswert eine der wichtigsten Kennzahlen - er sagt dir, welches Ergebnis du bei einem Zufallsversuch "im Durchschnitt" erwarten kannst. Bei der Binomialverteilunggibt es dafür eine super einfache Formel, die du definitiv für deine Klausur... Mehr anzeigen

Erwartungswert =E(X) und
Standardabweichung bei der
Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis
01 Erwartungswert
02 Herleitung
03
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Inhaltsverzeichnis

Diese Zusammenfassung behandelt alles, was du über Erwartungswerte bei der Binomialverteilung wissen musst. Du lernst die Grundlagen, siehst die mathematische Herleitung und bekommst praktische Beispiele zum Üben.

Tipp: Falls du nur schnell die Formel brauchst, spring direkt zu den späteren Seiten - die Herleitung ist optional für das Verständnis.

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Erwartungswert Grundlagen

Der Erwartungswert ist eigentlich nur ein fancy Name für den Durchschnitt, den du bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsversuchs erwarten würdest. Die allgemeine Formel lautet: μ = E(X) = k₁·p₁ + k₂·p₂ + ... + kₙ·pₙ.

Bei einem normalen Würfel rechnest du: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + ... + 6·(1/6) = 3,5. Das bedeutet: Würfelst du super oft, liegt dein Durchschnitt bei 3,5 - obwohl diese Zahl nie gewürfelt werden kann!

Merkregel: Der Erwartungswert muss nicht immer ein mögliches Ergebnis sein - er ist nur der theoretische Durchschnitt.

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Voraussetzungen Binomialverteilung

Bevor du die coole Formel für den Erwartungswert bei der Binomialverteilung anwenden kannst, musst du checken, ob alle Bedingungen erfüllt sind. Es gibt vier wichtige Kriterien:

Feste Anzahl von Versuchen (n), unabhängige Versuche, nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch und eine konstante Wahrscheinlichkeit p. Der letzte Punkt ist besonders wichtig - deshalb ziehst du bei Kugeln immer "mit Zurücklegen".

Praxis-Tipp: Fragst du dich "Erfolg oder kein Erfolg?" und bleibt p gleich? Dann hast du eine Binomialverteilung!

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Erwartungswert Formel

E(X) = n · p - das ist die Formel, die du dir unbedingt merken musst! Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert einfach die Anzahl der Versuche mal die Erfolgswahrscheinlichkeit.

Diese Formel ist so praktisch, weil sie super einfach ist. Während andere Verteilungen komplizierte Rechnungen brauchen, reichen bei der Binomialverteilung zwei Zahlen.

Klausur-Tipp: Diese Formel kommt in fast jeder Stochastik-Klausur vor - lern sie auswendig!

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Herleitung

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Beweis Teil 1

Falls du wissen willst, warum E(X) = n · p funktioniert, hier ist der mathematische Beweis. Du startest mit der Grundformel E(X) = Σ k·PX=kX=k und setzt die Binomialverteilungs-Formel ein.

Nach mehreren Umformungen mit Fakultäten und dem Binomialkoeffizienten kommst du zum binomischen Lehrsatz. Das ist ziemlich heavy Math, aber das Ergebnis ist elegant!

Entspann dich: Für die meisten Klausuren reicht es, wenn du die Formel E(X) = n·p anwenden kannst - die Herleitung ist Bonus-Wissen.

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Die Herleitung geht weiter: Du nutzt den binomischen Lehrsatz, der besagt, dass 1p+p1-p + pⁿ⁻¹ = 1ⁿ⁻¹ = 1 ist. Das ist der entscheidende Schritt, der die komplizierte Summe verschwinden lässt.

Am Ende bleibt nur noch np übrig - genau die Formel, die du brauchst! Der Erwartungswert bei der Binomialverteilung ist also wirklich so einfach.

Fun Fact: Mathematiker lieben solche eleganten Vereinfachungen - aus einer mega komplizierten Formel wird plötzlich etwas super Simples.

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Beweis Abschluss

Der vollständige Beweis zeigt alle Schritte von der ursprünglichen Definition bis zur finalen Formel E(X) = n · p. Die Mathematik dahinter nutzt Eigenschaften der Binomialverteilung und den binomischen Lehrsatz.

Das Coole ist: Egal wie kompliziert der Beweis aussieht, das Endergebnis ist super praktisch anzuwenden. Du multiplizierst einfach die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit!

Takeaway: Auch wenn Mathe manchmal kompliziert wirkt, führt sie oft zu überraschend einfachen und nützlichen Ergebnissen.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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