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9. Feb. 2026
•
Pia Witzke
@piawitzke_qcc3
In der Stochastik ist der Erwartungswerteine der wichtigsten Kennzahlen... Mehr anzeigen
Das hier ist nur eine Titelseite - der richtige Inhalt startet gleich!
Diese Zusammenfassung behandelt alles, was du über Erwartungswerte bei der Binomialverteilung wissen musst. Du lernst die Grundlagen, siehst die mathematische Herleitung und bekommst praktische Beispiele zum Üben.
Tipp: Falls du nur schnell die Formel brauchst, spring direkt zu den späteren Seiten - die Herleitung ist optional für das Verständnis.
Jetzt geht's richtig los mit dem Erwartungswert!
Der Erwartungswert ist eigentlich nur ein fancy Name für den Durchschnitt, den du bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsversuchs erwarten würdest. Die allgemeine Formel lautet: μ = E(X) = k₁·p₁ + k₂·p₂ + ... + kₙ·pₙ.
Bei einem normalen Würfel rechnest du: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + ... + 6·(1/6) = 3,5. Das bedeutet: Würfelst du super oft, liegt dein Durchschnitt bei 3,5 - obwohl diese Zahl nie gewürfelt werden kann!
Merkregel: Der Erwartungswert muss nicht immer ein mögliches Ergebnis sein - er ist nur der theoretische Durchschnitt.
Bevor du die coole Formel für den Erwartungswert bei der Binomialverteilung anwenden kannst, musst du checken, ob alle Bedingungen erfüllt sind. Es gibt vier wichtige Kriterien:
Feste Anzahl von Versuchen (n), unabhängige Versuche, nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch und eine konstante Wahrscheinlichkeit p. Der letzte Punkt ist besonders wichtig - deshalb ziehst du bei Kugeln immer "mit Zurücklegen".
Praxis-Tipp: Fragst du dich "Erfolg oder kein Erfolg?" und bleibt p gleich? Dann hast du eine Binomialverteilung!
E(X) = n · p - das ist die Formel, die du dir unbedingt merken musst! Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert einfach die Anzahl der Versuche mal die Erfolgswahrscheinlichkeit.
Diese Formel ist so praktisch, weil sie super einfach ist. Während andere Verteilungen komplizierte Rechnungen brauchen, reichen bei der Binomialverteilung zwei Zahlen.
Klausur-Tipp: Diese Formel kommt in fast jeder Stochastik-Klausur vor - lern sie auswendig!
Jetzt schauen wir uns an, wie man auf die Formel E(X) = n · p kommt.
Falls du wissen willst, warum E(X) = n · p funktioniert, hier ist der mathematische Beweis. Du startest mit der Grundformel E(X) = Σ k·P und setzt die Binomialverteilungs-Formel ein.
Nach mehreren Umformungen mit Fakultäten und dem Binomialkoeffizienten kommst du zum binomischen Lehrsatz. Das ist ziemlich heavy Math, aber das Ergebnis ist elegant!
Entspann dich: Für die meisten Klausuren reicht es, wenn du die Formel E(X) = n·p anwenden kannst - die Herleitung ist Bonus-Wissen.
Die Herleitung geht weiter: Du nutzt den binomischen Lehrsatz, der besagt, dass ⁿ⁻¹ = 1ⁿ⁻¹ = 1 ist. Das ist der entscheidende Schritt, der die komplizierte Summe verschwinden lässt.
Am Ende bleibt nur noch np übrig - genau die Formel, die du brauchst! Der Erwartungswert bei der Binomialverteilung ist also wirklich so einfach.
Fun Fact: Mathematiker lieben solche eleganten Vereinfachungen - aus einer mega komplizierten Formel wird plötzlich etwas super Simples.
Der vollständige Beweis zeigt alle Schritte von der ursprünglichen Definition bis zur finalen Formel E(X) = n · p. Die Mathematik dahinter nutzt Eigenschaften der Binomialverteilung und den binomischen Lehrsatz.
Das Coole ist: Egal wie kompliziert der Beweis aussieht, das Endergebnis ist super praktisch anzuwenden. Du multiplizierst einfach die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit!
Takeaway: Auch wenn Mathe manchmal kompliziert wirkt, führt sie oft zu überraschend einfachen und nützlichen Ergebnissen.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Pia Witzke
@piawitzke_qcc3
In der Stochastik ist der Erwartungswert eine der wichtigsten Kennzahlen - er sagt dir, welches Ergebnis du bei einem Zufallsversuch "im Durchschnitt" erwarten kannst. Bei der Binomialverteilunggibt es dafür eine super einfache Formel, die du definitiv für deine Klausur... Mehr anzeigen
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Der Erwartungswert ist eigentlich nur ein fancy Name für den Durchschnitt, den du bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsversuchs erwarten würdest. Die allgemeine Formel lautet: μ = E(X) = k₁·p₁ + k₂·p₂ + ... + kₙ·pₙ.
Bei einem normalen Würfel rechnest du: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + ... + 6·(1/6) = 3,5. Das bedeutet: Würfelst du super oft, liegt dein Durchschnitt bei 3,5 - obwohl diese Zahl nie gewürfelt werden kann!
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E(X) = n · p - das ist die Formel, die du dir unbedingt merken musst! Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert einfach die Anzahl der Versuche mal die Erfolgswahrscheinlichkeit.
Diese Formel ist so praktisch, weil sie super einfach ist. Während andere Verteilungen komplizierte Rechnungen brauchen, reichen bei der Binomialverteilung zwei Zahlen.
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Die Herleitung geht weiter: Du nutzt den binomischen Lehrsatz, der besagt, dass ⁿ⁻¹ = 1ⁿ⁻¹ = 1 ist. Das ist der entscheidende Schritt, der die komplizierte Summe verschwinden lässt.
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Der vollständige Beweis zeigt alle Schritte von der ursprünglichen Definition bis zur finalen Formel E(X) = n · p. Die Mathematik dahinter nutzt Eigenschaften der Binomialverteilung und den binomischen Lehrsatz.
Das Coole ist: Egal wie kompliziert der Beweis aussieht, das Endergebnis ist super praktisch anzuwenden. Du multiplizierst einfach die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit!
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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