Exponentialfunktionen - Die Grundlagen
Stell dir vor, eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde - genau das beschreibt eine Exponentialfunktion! Die Grundform ist super einfach: f(x) = aˣ, wobei die Basis a bestimmt, ob etwas wächst oder zerfällt.
Bei a > 1 hast du eine Wachstumsfunktion (wie unsere Bakterien), bei a zwischen 0 und 1 eine Zerfallsfunktion (wie radioaktive Stoffe). Die Basis darf nie negativ, null oder eins sein - das würde mathematisch keinen Sinn ergeben.
Die erweiterte Form f(x) = c·aˣ + d + e sieht kompliziert aus, ist aber logisch: c ist dein Startwert, d verschiebt den Graphen horizontal und e vertikal. Mit diesen Parametern kannst du jede reale Situation modellieren.
Die eulersche Zahl e ≈ 2,718 ist dabei besonders cool - sie ist die einzige Basis, bei der die Funktion eˣ ihre eigene Ableitung ist! Das macht Berechnungen später viel einfacher.
Merktipp: Bei Wachstumsproblemen immer zuerst prüfen, ob die Basis größer oder kleiner als 1 ist!