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Sophia Faisst
20.11.2025
Mathe
Exponentialfunktionen - Abitur BW
1.534
•
20. Nov. 2025
•
Sophia Faisst
@sophiafaisst_bw
Exponentialfunktionen gehören zu den grundlegenden mathematischen Funktionstypen, die exponentielles Wachstum... Mehr anzeigen
Exponentialfunktionen der Form f(x) = a^x haben alle den gemeinsamen Punkt P(0|1). Ihr Monotonieverhalten hängt vom Wachstumsfaktor a ab: Bei a > 1 wächst die Funktion streng monoton, während sie bei 0 < a < 1 streng monoton fällt.
Das asymptotische Verhalten zeigt interessante Muster: Bei a > 1 strebt die Funktion für x → ∞ gegen unendlich und für x → -∞ gegen 0. Bei 0 < a < 1 verhält es sich genau umgekehrt. Die Funktionen a^x und a^-x sind zueinander achsensymmetrisch.
Die Eulersche Zahl e = 2,71828... ist besonders wichtig, weil die zugehörige Exponentialfunktion f(x) = e^x mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Daraus ergeben sich die e-Funktionen, die beim Ableiten praktische Eigenschaften zeigen.
💡 Merke dir: Beim Ableiten von e-Funktionen gilt für f(x) = e^x immer f'(x) = e^x. Bei komplexeren Ausdrücken wie f(x) = e^ musst du die Kettenregel anwenden, hier ergibt sich f'(x) = 5 · e^.
Für das Lösen von Exponentialgleichungen ist der natürliche Logarithmus ln(x) unverzichtbar. Es gilt: e^ln(b) = b und ln = b. Die Logarithmengesetze erlauben dir das Vereinfachen komplexer Ausdrücke: ln(u·v) = ln(u) + ln(v), ln = ln(u) - ln(v) und ln = k · ln(u).
Logarithmische Ausdrücke lassen sich mit bestimmten Regeln vereinfachen. Zum Beispiel gilt ln = -a oder ln = ln = 5. Bei komplexeren Ausdrücken wie e^-2ln(5) kannst du umformen zu ^-2 = 5^-2 = 1/25.
Das Lösen von Exponentialgleichungen folgt bestimmten Mustern. Bei einfachen Gleichungen wie e^x = b wendest du auf beiden Seiten den Logarithmus an und erhältst x = ln(b). Bei komplexeren Gleichungen wie e^2x - ae^x = 0 musst du zunächst ausklammern: e^x = 0. Das führt zu den Lösungen e^x = 0 (nicht möglich) oder e^x = a, also x = ln(a).
Quadratische Exponentialgleichungen wie e^2x + ae^x + b = 0 lassen sich durch Substitution in übliche quadratische Gleichungen u² + au + b = 0 umwandeln. Diese löst du dann mit der bekannten abc- oder pq-Formel.
🔑 Schlüsseltechnik: Bei komplexeren Exponentialgleichungen hilft oft die Substitution e^x = u. Dadurch wandelst du sie in eine gewöhnliche algebraische Gleichung um, die du mit bekannten Methoden lösen kannst.
Das asymptotische Verhalten von Exponentialfunktionen ist entscheidend für ihre Graphen. Funktionen wie f(x) = x^n · e^-x verhalten sich je nach Parität von n unterschiedlich. Bei ungeradem n strebt die Funktion für x → ∞ gegen 0 und für x → -∞ gegen -∞, während sie bei geradem n für x → -∞ gegen ∞ geht.
Bei Funktionen der Form f(x) = x^n · e^x strebt der Graph für x → ∞ immer gegen ∞. Bei x → -∞ geht die Funktion gegen 0, wobei der genaue Verlauf wieder von n abhängt. Ähnlich verhält sich f(x) = x^n/e^x, deren Verhalten du anhand der Grenzwerte bestimmen kannst.
Bei Funktionsscharen mit Parametern wie t bestimmst du für jeden Parameterwert eine eigene Funktion f_t(x). Um die Ortslinie von charakteristischen Punkten zu finden, drückst du den Parameter durch die x-Koordinate aus und setzt diesen in die y-Koordinate ein.
📌 Wichtig: Überprüfe bei Exponentialfunktionen immer das Symmetrieverhalten. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) erfüllt ist.
Die Ableitung der ln-Funktion ist besonders elegant: (ln(x))' = 1/x. Bei komplexeren Ausdrücken wie f(x) = ln wendest du die Kettenregel an und erhältst f'(x) = 2/ = 1/.
Beim Lösen logarithmischer Gleichungen ist es oft hilfreich, auf beiden Seiten e zu potenzieren. Bei ln(x²) = 5 ergibt sich durch e^ln(x²) = e^5 die Gleichung x² = e^5, woraus x = ±e^(5/2) folgt.
Wachstumsvorgänge lassen sich mathematisch durch zwei Haupttypen beschreiben: Das exponentielle Wachstum folgt der Formel f(t) = f(0) · a^t oder äquivalent f(t) = f(0) · e^(k·t), wobei a > 1 oder k > 0 eine Zunahme und 0 < a < 1 oder k < 0 eine Abnahme beschreibt.
🌱 Praxiswissen: Das beschränkte Wachstum mit der Formel f(t) = S - c · e^ beschreibt Prozesse, die sich einem Grenzwert S annähern. Dies ist besonders relevant bei natürlichen Phänomenen wie Populationswachstum mit begrenzten Ressourcen oder Sättigungsprozessen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Stefan S
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hans T
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Sophia Faisst
@sophiafaisst_bw
Exponentialfunktionen gehören zu den grundlegenden mathematischen Funktionstypen, die exponentielles Wachstum oder Zerfall beschreiben. In diesem Kapitel lernst du alles über Exponentialfunktionen, die Eulersche Zahl e und ihre besondere Rolle in der Mathematik sowie verschiedene Anwendungen in Wachstumsprozessen.
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Exponentialfunktionen der Form f(x) = a^x haben alle den gemeinsamen Punkt P(0|1). Ihr Monotonieverhalten hängt vom Wachstumsfaktor a ab: Bei a > 1 wächst die Funktion streng monoton, während sie bei 0 < a < 1 streng monoton fällt.
Das asymptotische Verhalten zeigt interessante Muster: Bei a > 1 strebt die Funktion für x → ∞ gegen unendlich und für x → -∞ gegen 0. Bei 0 < a < 1 verhält es sich genau umgekehrt. Die Funktionen a^x und a^-x sind zueinander achsensymmetrisch.
Die Eulersche Zahl e = 2,71828... ist besonders wichtig, weil die zugehörige Exponentialfunktion f(x) = e^x mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Daraus ergeben sich die e-Funktionen, die beim Ableiten praktische Eigenschaften zeigen.
💡 Merke dir: Beim Ableiten von e-Funktionen gilt für f(x) = e^x immer f'(x) = e^x. Bei komplexeren Ausdrücken wie f(x) = e^ musst du die Kettenregel anwenden, hier ergibt sich f'(x) = 5 · e^.
Für das Lösen von Exponentialgleichungen ist der natürliche Logarithmus ln(x) unverzichtbar. Es gilt: e^ln(b) = b und ln = b. Die Logarithmengesetze erlauben dir das Vereinfachen komplexer Ausdrücke: ln(u·v) = ln(u) + ln(v), ln = ln(u) - ln(v) und ln = k · ln(u).
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Logarithmische Ausdrücke lassen sich mit bestimmten Regeln vereinfachen. Zum Beispiel gilt ln = -a oder ln = ln = 5. Bei komplexeren Ausdrücken wie e^-2ln(5) kannst du umformen zu ^-2 = 5^-2 = 1/25.
Das Lösen von Exponentialgleichungen folgt bestimmten Mustern. Bei einfachen Gleichungen wie e^x = b wendest du auf beiden Seiten den Logarithmus an und erhältst x = ln(b). Bei komplexeren Gleichungen wie e^2x - ae^x = 0 musst du zunächst ausklammern: e^x = 0. Das führt zu den Lösungen e^x = 0 (nicht möglich) oder e^x = a, also x = ln(a).
Quadratische Exponentialgleichungen wie e^2x + ae^x + b = 0 lassen sich durch Substitution in übliche quadratische Gleichungen u² + au + b = 0 umwandeln. Diese löst du dann mit der bekannten abc- oder pq-Formel.
🔑 Schlüsseltechnik: Bei komplexeren Exponentialgleichungen hilft oft die Substitution e^x = u. Dadurch wandelst du sie in eine gewöhnliche algebraische Gleichung um, die du mit bekannten Methoden lösen kannst.
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Das asymptotische Verhalten von Exponentialfunktionen ist entscheidend für ihre Graphen. Funktionen wie f(x) = x^n · e^-x verhalten sich je nach Parität von n unterschiedlich. Bei ungeradem n strebt die Funktion für x → ∞ gegen 0 und für x → -∞ gegen -∞, während sie bei geradem n für x → -∞ gegen ∞ geht.
Bei Funktionen der Form f(x) = x^n · e^x strebt der Graph für x → ∞ immer gegen ∞. Bei x → -∞ geht die Funktion gegen 0, wobei der genaue Verlauf wieder von n abhängt. Ähnlich verhält sich f(x) = x^n/e^x, deren Verhalten du anhand der Grenzwerte bestimmen kannst.
Bei Funktionsscharen mit Parametern wie t bestimmst du für jeden Parameterwert eine eigene Funktion f_t(x). Um die Ortslinie von charakteristischen Punkten zu finden, drückst du den Parameter durch die x-Koordinate aus und setzt diesen in die y-Koordinate ein.
📌 Wichtig: Überprüfe bei Exponentialfunktionen immer das Symmetrieverhalten. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f = f(x) gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f = -f(x) erfüllt ist.
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Die Ableitung der ln-Funktion ist besonders elegant: (ln(x))' = 1/x. Bei komplexeren Ausdrücken wie f(x) = ln wendest du die Kettenregel an und erhältst f'(x) = 2/ = 1/.
Beim Lösen logarithmischer Gleichungen ist es oft hilfreich, auf beiden Seiten e zu potenzieren. Bei ln(x²) = 5 ergibt sich durch e^ln(x²) = e^5 die Gleichung x² = e^5, woraus x = ±e^(5/2) folgt.
Wachstumsvorgänge lassen sich mathematisch durch zwei Haupttypen beschreiben: Das exponentielle Wachstum folgt der Formel f(t) = f(0) · a^t oder äquivalent f(t) = f(0) · e^(k·t), wobei a > 1 oder k > 0 eine Zunahme und 0 < a < 1 oder k < 0 eine Abnahme beschreibt.
🌱 Praxiswissen: Das beschränkte Wachstum mit der Formel f(t) = S - c · e^ beschreibt Prozesse, die sich einem Grenzwert S annähern. Dies ist besonders relevant bei natürlichen Phänomenen wie Populationswachstum mit begrenzten Ressourcen oder Sättigungsprozessen.
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Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen des exponentiellen Wachstums und der Logarithmen. Sie umfasst die Berechnung von Faktoren, das Aufstellen von Funktionen aus zwei Punkten, das Zeichnen und Verschieben von Graphen sowie das Modellieren realer Situationen. Ideal für Studierende der Finanzmathematik und verwandter Fächer.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia S
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