Wachstumsfaktoren und praktische Anwendungen
Den Wachstumsfaktor a kannst du aus zwei gegebenen Punkten berechnen. Ist a > 1, hast du exponentielles Wachstum, bei 0 < a < 1 exponentiellen Zerfall. Mit zwei Punkten P(0|50) und Q(3|10,8) rechnest du: 50 · a³ = 10,8, also a = ∛(10,8/50) ≈ 0,6.
Um Zeiträume zu ermitteln, löst du Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus. Willst du wissen, wann ein Bestand auf einen bestimmten Wert gesunken ist, stellst du die Gleichung um und verwendest log_a(b).
Die Potenzregeln sind dein Werkzeug für komplexere Rechnungen: Bei gleichen Basen addierst du Exponenten 2x⋅2(4x)=2(5x), bei gleichen Exponenten multiplizierst du die Basen. Negative Exponenten schreibst du als Bruch um: 2^−x = 1/2^x.
In Sachzusammenhängen beschreiben Exponentialfunktionen reale Wachstums- oder Zerfallsprozesse. Die Ableitung gibt dir die momentane Änderungsgeschwindigkeit, während Integrale den Gesamtbestand über einen Zeitraum berechnen.
Praxistipp: Für Verdopplungszeit verwendest du T_v = ln(2)/k, für Halbwertszeit T_h = ln(0,5)/k!