Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Natural Logarithm (ln x)

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7. Jan. 2026

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2 Seiten

Exponentialfunktionen lernen: Grundlagen fürs Abi

Luisa

@luisa_rvdg

Exponentialfunktionen sind überall um uns herum – vom Wachstum von... Mehr anzeigen

$# exponentialfunktionen Eine Funktion der Form f(x)= c.a$^{\text{x}}$ → f(x) = c. e$^{ln(a)x}$ heißt Exponentialfunktion $\frac{F(x)}{f'($

Exponentialfunktionen - Die Grundlagen

Exponentialfunktionen haben die Form $f(x) = c \cdot a^x$ und sind ziemlich mächtige mathematische Werkzeuge. Du erkennst sie daran, dass die Variable im Exponenten steht – deshalb auch der Name!

Die wichtigste Exponentialfunktion ist $f(x) = e^x$ mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718. Ihre Ableitung ist super praktisch: $f'(x) = c \cdot ln(a) \cdot a^x$ . Bei $e^x$ ist die Ableitung sogar identisch mit der ursprünglichen Funktion!

Du kannst $e^x$ auf verschiedene Weise transformieren: Spiegelung an den Achsen $e^{-x}$ oder $-e^x$ , Verschiebung um t Einheiten $e^x + t$ oder $e^{x-t}$ und Streckung um den Faktor k $k \cdot e^x$ oder $e^{kx}$ .

Um Exponentialgleichungen zu lösen, nutzt du Logarithmen: Aus $a^x = b$ wird $x = log_a(b)$ . Der natürliche Logarithmus ln(x) ist dabei die Umkehrfunktion von $e^x$ – merke dir: $ln(1) = 0$ und $ln(e) = 1$ .

💡 Merktipp: Die Ableitung von $ln(x)$ ist $\frac{1}{x}$ – das brauchst du oft!

$# exponentialfunktionen Eine Funktion der Form f(x)= c.a$^{\text{x}}$ → f(x) = c. e$^{ln(a)x}$ heißt Exponentialfunktion $\frac{F(x)}{f'($

Exponentialfunktionen in der Praxis

Jetzt wird's richtig interessant! Exponentielles Wachstum beschreibt Prozesse, die immer schneller werden – denk an Virenvermehrung oder Zinsen. Die Formel lautet $f(x) = f(0) \cdot a^x$ mit $a > 1$ .

Bei Wachstumsproblemen ist die Verdopplungszeit $T_v$ wichtig – sie zeigt, wann sich der Bestand verdoppelt hat: $T_v = \frac{ln(2)}{k}$ . Beim exponentiellen Zerfall (z.B. radioaktive Substanzen) gilt $0 < a < 1$ , und du berechnest die Halbwertszeit $T_H = \frac{ln(\frac{1}{2})}{k}$ .

Beschränktes Wachstum ist realistischer – es gibt eine natürliche Grenze S. Die Formel $f(t) = S - c \cdot a^t$ zeigt, wie sich der Bestand der Schranke annähert, aber nie überschreitet.

Für Grenzwertbetrachtungen merkst du dir: $e^x$ wächst für große x-Werte stärker als jede Potenzfunktion $x^n$ , während $ln(x)$ schwächer wächst als jede Potenz.

🚀 Praxistipp: Bei Textaufgaben erkennst du exponentielles Wachstum daran, dass sich etwas prozentual verändert (z.B. "um 5% pro Jahr")!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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