Mathematik

Folgen und Reihenanalyse

Konvergenz

2.071

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29. Jan. 2026

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Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

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Analysis ist ein wichtiger Teil deiner Mathe-Klausur - und eigentlich... Mehr anzeigen

1 / 10

M A T H E 22 11.2021

1. Folgen + Eigenschaften
2. Reihen + Eigenschaften
3. Grenzwerte + Grenzwertsätze
4. Konvergenz geometrischer Folgen

Mittlere und momentane Änderungsrate

Stell dir vor, du trackst deine Geschwindigkeit beim Radfahren - genau darum geht's bei Änderungsraten! Die mittlere Änderungsrate ist wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Punkten.

Du berechnest sie mit dem Differenzenquotient: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten auf dem Graphen - du zeichnest eine Sekante, die den Graph an zwei Stellen schneidet.

Merktipp: Sekante = schneidet zweimal, Tangente = berührt einmal!

Von mittlerer zu momentaner Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate ist viel spannender - das ist deine exakte Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment! Du berechnest sie mit $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ , wobei h gegen 0 geht.

Das Ergebnis ist die Ableitung $f'(x_0)$ - die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Tangente berührt den Graph nur an einer Stelle, statt ihn zu schneiden.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ gibt dir dann die Steigung für jeden x-Wert. Super praktisch für Kurvendiskussionen!

Klausurtipp: Hoch- und Tiefpunkte haben immer die Steigung 0, also $f'(x) = 0$ !

Zusammenhang zwischen f und f'

Hier wird's richtig cool: Der Graph der Ableitungsfunktion zeigt dir, was mit der ursprünglichen Funktion passiert! Wenn $f'(x)$ negativ ist, fällt die Funktion f - wenn $f'(x)$ positiv ist, steigt sie.

Wendepunkte in f sind Hoch- oder Tiefpunkte in f' - dort wechselt die Krümmung von rechts- zu linksgekrümmt (oder umgekehrt). Das ist wichtig für die Kurvendiskussion!

An den Beispielrechnungen siehst du: Bei Extrempunkten wird die Steigung 0, deshalb schneidet f' dort die x-Achse.

Aha-Moment: Negative Werte in f' bedeuten, dass f fällt - positive Werte bedeuten, dass f steigt!

Folgen verstehen

Folgen sind einfach durchnummerierte Listen von Zahlen - wie $a_1, a_2, a_3, ...$ . Du kannst sie auf zwei Arten darstellen: explizit $direkte Formel wie $a_n = n \cdot 0,8$$ oder rekursiv $jedes Glied hängt vom vorherigen ab: $a_n = a_{n-1} \cdot 0,8$$ .

Monotonie beschreibt, ob deine Folge immer steigt oder fällt. Monoton steigend bedeutet $a_{n+1} \geq a_n$ , monoton fallend bedeutet $a_{n+1} \leq a_n$ . Bei "streng monoton" gibt's keine Gleichheit.

Das brauchst du später für Konvergenzbeweise - monotone und beschränkte Folgen haben nämlich immer einen Grenzwert!

Eselsbrücke: Monoton = eintönig = immer in dieselbe Richtung!

Monotonie und Beschränktheit beweisen

Um Monotonie zu beweisen, vergleichst du einfach $a_n$ mit $a_{n+1}$ . Bei $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ rechnest du: $1 + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n+1} $, was zu$ n < n+1$ führt - obviously wahr!

Beschränktheit bedeutet, dass deine Folge nicht ins Unendliche wächst oder fällt. Eine obere Schranke S begrenzt nach oben $a_n \leq S$ , eine untere Schranke s nach unten $a_n \geq s$ .

Praktischer Trick: Bei monoton fallenden Folgen ist $a_1$ die obere Schranke, bei monoton steigenden ist $a_1$ die untere Schranke.

Klausurtipp: Beschränkt + monoton = konvergent! Das ist ein wichtiger Satz.

Beschränktheit in der Praxis

Hier siehst du konkret, wie Beschränktheitsbeweise funktionieren. Bei einer monoton fallenden Folge wie $(\frac{3}{4})^n$ ist das erste Glied $\frac{3}{4}$ automatisch die obere Schranke.

Die untere Schranke findest du durch logisches Überlegen: Da $(\frac{3}{4})^n$ immer positiv ist (egal wie groß n wird), ist 0 eine untere Schranke.

Also gilt: $\frac{3}{4} > a_n > 0$ - die Folge ist vollständig beschränkt.

Merkhilfe: $\forall n \in \mathbb{N}^*$ bedeutet "für alle n aus den natürlichen Zahlen"!

Grenzwerte von Folgen

Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, divergente nicht. Nullfolgen konvergieren gegen 0 - die sind besonders wichtig!

Die mathematische Definition klingt kompliziert, aber der Kern ist einfach: Fast alle Folgeglieder liegen beliebig nah am Grenzwert g. "Fast alle" bedeutet: Es gibt nur endlich viele Ausnahmen.

Die Grenzwertsätze sind deine besten Freunde: Du kannst Grenzwerte addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren - genau wie normale Zahlen.

Goldene Regel: Monoton + beschränkt = konvergent. Das musst du dir merken!

Grenzwerte an kritischen Stellen

Bei Definitionslücken musst du kreativ werden! Zwei Methoden helfen dir: binomische Formeln und die h-Methode.

Beispiel $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ : Mit binomischer Formel wird das zu $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .

Reihen sind etwas anderes als Folgen - hier addierst du die Glieder zusammen, statt einzelne Werte zu berechnen.

Klausurtrick: Bei 0/0-Problemen fast immer kürzen oder h-Methode verwenden!

Geometrische Reihen

Geometrische Reihen entstehen, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst. Die Formel $S_n = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ ist dein Werkzeug dafür.

Für unendliche geometrische Reihen gilt: Wenn $|q| < 1$ , dann konvergiert die Reihe gegen $\frac{a}{1-q}$ . Das ist super praktisch für Textaufgaben!

Klassisches Beispiel: Quadrattreppe mit Flächenverringerung um Faktor $\frac{1}{4}$ . Der Gesamtflächeninhalt lässt sich mit der Summenformel berechnen.

Anwendungstipp: Geometrische Reihen kommen oft in Zinseszins- und Wachstumsaufgaben vor!

Endliche geometrische Reihen

Bei endlichen Reihen verwendest du $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ - hier hast du nur n Glieder statt unendlich viele.

Die Herleitung über $S_n \cdot (1-q)$ ist ein cleverer Trick: Du multiplizierst beide Seiten mit $(1-q)$ und nutzt die Teleskop-Eigenschaft der Summe.

Klassisches Beispiel ist die Schachbrettlegende - perfekt für die Klausur! Für den Grenzwert lässt du n gegen unendlich gehen und erhältst wieder $\frac{1}{1-q}$ .

Prüfungshinweis: Endliche vs. unendliche Reihen - achte genau auf die Aufgabenstellung!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

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Die momentane Änderungsrate ist viel spannender - das ist deine exakte Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment! Du berechnest sie mit $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ , wobei h gegen 0 geht.

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Zusammenhang zwischen f und f'

Wendepunkte in f sind Hoch- oder Tiefpunkte in f' - dort wechselt die Krümmung von rechts- zu linksgekrümmt (oder umgekehrt). Das ist wichtig für die Kurvendiskussion!

An den Beispielrechnungen siehst du: Bei Extrempunkten wird die Steigung 0, deshalb schneidet f' dort die x-Achse.

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Monotonie und Beschränktheit beweisen

Um Monotonie zu beweisen, vergleichst du einfach $a_n$ mit $a_{n+1}$ . Bei $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ rechnest du: $1 + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n+1} $, was zu$ n < n+1$ führt - obviously wahr!

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Beschränktheit in der Praxis

Hier siehst du konkret, wie Beschränktheitsbeweise funktionieren. Bei einer monoton fallenden Folge wie $(\frac{3}{4})^n$ ist das erste Glied $\frac{3}{4}$ automatisch die obere Schranke.

Die untere Schranke findest du durch logisches Überlegen: Da $(\frac{3}{4})^n$ immer positiv ist (egal wie groß n wird), ist 0 eine untere Schranke.

Also gilt: $\frac{3}{4} > a_n > 0$ - die Folge ist vollständig beschränkt.

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Grenzwerte von Folgen

Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, divergente nicht. Nullfolgen konvergieren gegen 0 - die sind besonders wichtig!

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Grenzwerte an kritischen Stellen

Bei Definitionslücken musst du kreativ werden! Zwei Methoden helfen dir: binomische Formeln und die h-Methode.

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Geometrische Reihen

Geometrische Reihen entstehen, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst. Die Formel $S_n = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ ist dein Werkzeug dafür.

Für unendliche geometrische Reihen gilt: Wenn $|q| < 1$ , dann konvergiert die Reihe gegen $\frac{a}{1-q}$ . Das ist super praktisch für Textaufgaben!

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Endliche geometrische Reihen

Bei endlichen Reihen verwendest du $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ - hier hast du nur n Glieder statt unendlich viele.

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