Mathematik

Folgen und Reihenanalyse

Konvergenz

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Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

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M A T H E 22 11.2021

1. Folgen + Eigenschaften
2. Reihen + Eigenschaften
3. Grenzwerte + Grenzwertsätze
4. Konvergenz geometrischer Folgen

Mittlere und momentane Änderungsrate

Stell dir vor, du trackst deine Geschwindigkeit beim Radfahren - genau darum geht's bei Änderungsraten! Die mittlere Änderungsrate ist wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Punkten.

Du berechnest sie mit dem Differenzenquotient: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten auf dem Graphen - du zeichnest eine Sekante, die den Graph an zwei Stellen schneidet.

Merktipp: Sekante = schneidet zweimal, Tangente = berührt einmal!

Von mittlerer zu momentaner Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate ist viel spannender - das ist deine exakte Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment! Du berechnest sie mit $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ , wobei h gegen 0 geht.

Das Ergebnis ist die Ableitung $f'(x_0)$ - die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Tangente berührt den Graph nur an einer Stelle, statt ihn zu schneiden.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ gibt dir dann die Steigung für jeden x-Wert. Super praktisch für Kurvendiskussionen!

Klausurtipp: Hoch- und Tiefpunkte haben immer die Steigung 0, also $f'(x) = 0$ !

Zusammenhang zwischen f und f'

Hier wird's richtig cool: Der Graph der Ableitungsfunktion zeigt dir, was mit der ursprünglichen Funktion passiert! Wenn $f'(x)$ negativ ist, fällt die Funktion f - wenn $f'(x)$ positiv ist, steigt sie.

Wendepunkte in f sind Hoch- oder Tiefpunkte in f' - dort wechselt die Krümmung von rechts- zu linksgekrümmt (oder umgekehrt). Das ist wichtig für die Kurvendiskussion!

An den Beispielrechnungen siehst du: Bei Extrempunkten wird die Steigung 0, deshalb schneidet f' dort die x-Achse.

Aha-Moment: Negative Werte in f' bedeuten, dass f fällt - positive Werte bedeuten, dass f steigt!

Folgen verstehen

Folgen sind einfach durchnummerierte Listen von Zahlen - wie $a_1, a_2, a_3, ...$ . Du kannst sie auf zwei Arten darstellen: explizit $direkte Formel wie $a_n = n \cdot 0,8$$ oder rekursiv $jedes Glied hängt vom vorherigen ab: $a_n = a_{n-1} \cdot 0,8$$ .

Monotonie beschreibt, ob deine Folge immer steigt oder fällt. Monoton steigend bedeutet $a_{n+1} \geq a_n$ , monoton fallend bedeutet $a_{n+1} \leq a_n$ . Bei "streng monoton" gibt's keine Gleichheit.

Das brauchst du später für Konvergenzbeweise - monotone und beschränkte Folgen haben nämlich immer einen Grenzwert!

Eselsbrücke: Monoton = eintönig = immer in dieselbe Richtung!

Monotonie und Beschränktheit beweisen

Um Monotonie zu beweisen, vergleichst du einfach $a_n$ mit $a_{n+1}$ . Bei $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ rechnest du: $1 + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n+1}$ , was zu $n < n+1$ führt - obviously wahr!

Beschränktheit bedeutet, dass deine Folge nicht ins Unendliche wächst oder fällt. Eine obere Schranke S begrenzt nach oben $a_n \leq S$ , eine untere Schranke s nach unten $a_n \geq s$ .

Praktischer Trick: Bei monoton fallenden Folgen ist $a_1$ die obere Schranke, bei monoton steigenden ist $a_1$ die untere Schranke.

Klausurtipp: Beschränkt + monoton = konvergent! Das ist ein wichtiger Satz.

Beschränktheit in der Praxis

Hier siehst du konkret, wie Beschränktheitsbeweise funktionieren. Bei einer monoton fallenden Folge wie $(\frac{3}{4})^n$ ist das erste Glied $\frac{3}{4}$ automatisch die obere Schranke.

Die untere Schranke findest du durch logisches Überlegen: Da $(\frac{3}{4})^n$ immer positiv ist (egal wie groß n wird), ist 0 eine untere Schranke.

Also gilt: $\frac{3}{4} > a_n > 0$ - die Folge ist vollständig beschränkt.

Merkhilfe: $\forall n \in \mathbb{N}^*$ bedeutet "für alle n aus den natürlichen Zahlen"!

Grenzwerte von Folgen

Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, divergente nicht. Nullfolgen konvergieren gegen 0 - die sind besonders wichtig!

Die mathematische Definition klingt kompliziert, aber der Kern ist einfach: Fast alle Folgeglieder liegen beliebig nah am Grenzwert g. "Fast alle" bedeutet: Es gibt nur endlich viele Ausnahmen.

Die Grenzwertsätze sind deine besten Freunde: Du kannst Grenzwerte addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren - genau wie normale Zahlen.

Goldene Regel: Monoton + beschränkt = konvergent. Das musst du dir merken!

Grenzwerte an kritischen Stellen

Bei Definitionslücken musst du kreativ werden! Zwei Methoden helfen dir: binomische Formeln und die h-Methode.

Beispiel $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ : Mit binomischer Formel wird das zu $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .

Reihen sind etwas anderes als Folgen - hier addierst du die Glieder zusammen, statt einzelne Werte zu berechnen.

Klausurtrick: Bei 0/0-Problemen fast immer kürzen oder h-Methode verwenden!

Geometrische Reihen

Geometrische Reihen entstehen, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst. Die Formel $S_n = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ ist dein Werkzeug dafür.

Für unendliche geometrische Reihen gilt: Wenn $|q| < 1$ , dann konvergiert die Reihe gegen $\frac{a}{1-q}$ . Das ist super praktisch für Textaufgaben!

Klassisches Beispiel: Quadrattreppe mit Flächenverringerung um Faktor $\frac{1}{4}$ . Der Gesamtflächeninhalt lässt sich mit der Summenformel berechnen.

Anwendungstipp: Geometrische Reihen kommen oft in Zinseszins- und Wachstumsaufgaben vor!

Endliche geometrische Reihen

Bei endlichen Reihen verwendest du $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ - hier hast du nur n Glieder statt unendlich viele.

Die Herleitung über $S_n \cdot (1-q)$ ist ein cleverer Trick: Du multiplizierst beide Seiten mit $(1-q)$ und nutzt die Teleskop-Eigenschaft der Summe.

Klassisches Beispiel ist die Schachbrettlegende - perfekt für die Klausur! Für den Grenzwert lässt du n gegen unendlich gehen und erhältst wieder $\frac{1}{1-q}$ .

Prüfungshinweis: Endliche vs. unendliche Reihen - achte genau auf die Aufgabenstellung!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Zusammenhang zwischen f und f'

Wendepunkte in f sind Hoch- oder Tiefpunkte in f' - dort wechselt die Krümmung von rechts- zu linksgekrümmt (oder umgekehrt). Das ist wichtig für die Kurvendiskussion!

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Um Monotonie zu beweisen, vergleichst du einfach $a_n$ mit $a_{n+1}$ . Bei $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ rechnest du: $1 + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n+1}$ , was zu $n < n+1$ führt - obviously wahr!

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Beschränktheit in der Praxis

Hier siehst du konkret, wie Beschränktheitsbeweise funktionieren. Bei einer monoton fallenden Folge wie $(\frac{3}{4})^n$ ist das erste Glied $\frac{3}{4}$ automatisch die obere Schranke.

Die untere Schranke findest du durch logisches Überlegen: Da $(\frac{3}{4})^n$ immer positiv ist (egal wie groß n wird), ist 0 eine untere Schranke.

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Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, divergente nicht. Nullfolgen konvergieren gegen 0 - die sind besonders wichtig!

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Geometrische Reihen entstehen, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst. Die Formel $S_n = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ ist dein Werkzeug dafür.

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Endliche geometrische Reihen

Bei endlichen Reihen verwendest du $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ - hier hast du nur n Glieder statt unendlich viele.

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