Mathematik

Folgen und Reihenanalyse

Konvergenz

2.045

•

10. Dez. 2025

•

12 Seiten

Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

Wissen ist Gold 🤝

@lernen_iegn

Analysis ist ein wichtiger Teil deiner Mathe-Klausur - und eigentlich... Mehr anzeigen

1 / 10

M A T H E 22 11.2021

1. Folgen + Eigenschaften
2. Reihen + Eigenschaften
3. Grenzwerte + Grenzwertsätze
4. Konvergenz geometrischer Folgen

Mittlere und momentane Änderungsrate

Stell dir vor, du trackst deine Geschwindigkeit beim Radfahren - genau darum geht's bei Änderungsraten! Die mittlere Änderungsrate ist wie deine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Punkten.

Du berechnest sie mit dem Differenzenquotient: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Das ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten auf dem Graphen - du zeichnest eine Sekante, die den Graph an zwei Stellen schneidet.

Merktipp: Sekante = schneidet zweimal, Tangente = berührt einmal!

Von mittlerer zu momentaner Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate ist viel spannender - das ist deine exakte Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment! Du berechnest sie mit $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ , wobei h gegen 0 geht.

Das Ergebnis ist die Ableitung $f'(x_0)$ - die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Tangente berührt den Graph nur an einer Stelle, statt ihn zu schneiden.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ gibt dir dann die Steigung für jeden x-Wert. Super praktisch für Kurvendiskussionen!

Klausurtipp: Hoch- und Tiefpunkte haben immer die Steigung 0, also $f'(x) = 0$ !

Zusammenhang zwischen f und f'

Hier wird's richtig cool: Der Graph der Ableitungsfunktion zeigt dir, was mit der ursprünglichen Funktion passiert! Wenn $f'(x)$ negativ ist, fällt die Funktion f - wenn $f'(x)$ positiv ist, steigt sie.

Wendepunkte in f sind Hoch- oder Tiefpunkte in f' - dort wechselt die Krümmung von rechts- zu linksgekrümmt (oder umgekehrt). Das ist wichtig für die Kurvendiskussion!

An den Beispielrechnungen siehst du: Bei Extrempunkten wird die Steigung 0, deshalb schneidet f' dort die x-Achse.

Aha-Moment: Negative Werte in f' bedeuten, dass f fällt - positive Werte bedeuten, dass f steigt!

Folgen verstehen

Folgen sind einfach durchnummerierte Listen von Zahlen - wie $a_1, a_2, a_3, ...$ . Du kannst sie auf zwei Arten darstellen: explizit $direkte Formel wie $a_n = n \cdot 0,8$$ oder rekursiv $jedes Glied hängt vom vorherigen ab: $a_n = a_{n-1} \cdot 0,8$$ .

Monotonie beschreibt, ob deine Folge immer steigt oder fällt. Monoton steigend bedeutet $a_{n+1} \geq a_n$ , monoton fallend bedeutet $a_{n+1} \leq a_n$ . Bei "streng monoton" gibt's keine Gleichheit.

Das brauchst du später für Konvergenzbeweise - monotone und beschränkte Folgen haben nämlich immer einen Grenzwert!

Eselsbrücke: Monoton = eintönig = immer in dieselbe Richtung!

Monotonie und Beschränktheit beweisen

Um Monotonie zu beweisen, vergleichst du einfach $a_n$ mit $a_{n+1}$ . Bei $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ rechnest du: $1 + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n+1}$ , was zu $n < n+1$ führt - obviously wahr!

Beschränktheit bedeutet, dass deine Folge nicht ins Unendliche wächst oder fällt. Eine obere Schranke S begrenzt nach oben $a_n \leq S$ , eine untere Schranke s nach unten $a_n \geq s$ .

Praktischer Trick: Bei monoton fallenden Folgen ist $a_1$ die obere Schranke, bei monoton steigenden ist $a_1$ die untere Schranke.

Klausurtipp: Beschränkt + monoton = konvergent! Das ist ein wichtiger Satz.

Beschränktheit in der Praxis

Hier siehst du konkret, wie Beschränktheitsbeweise funktionieren. Bei einer monoton fallenden Folge wie $(\frac{3}{4})^n$ ist das erste Glied $\frac{3}{4}$ automatisch die obere Schranke.

Die untere Schranke findest du durch logisches Überlegen: Da $(\frac{3}{4})^n$ immer positiv ist (egal wie groß n wird), ist 0 eine untere Schranke.

Also gilt: $\frac{3}{4} > a_n > 0$ - die Folge ist vollständig beschränkt.

Merkhilfe: $\forall n \in \mathbb{N}^*$ bedeutet "für alle n aus den natürlichen Zahlen"!

Grenzwerte von Folgen

Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, divergente nicht. Nullfolgen konvergieren gegen 0 - die sind besonders wichtig!

Die mathematische Definition klingt kompliziert, aber der Kern ist einfach: Fast alle Folgeglieder liegen beliebig nah am Grenzwert g. "Fast alle" bedeutet: Es gibt nur endlich viele Ausnahmen.

Die Grenzwertsätze sind deine besten Freunde: Du kannst Grenzwerte addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren - genau wie normale Zahlen.

Goldene Regel: Monoton + beschränkt = konvergent. Das musst du dir merken!

Grenzwerte an kritischen Stellen

Bei Definitionslücken musst du kreativ werden! Zwei Methoden helfen dir: binomische Formeln und die h-Methode.

Beispiel $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ : Mit binomischer Formel wird das zu $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .

Reihen sind etwas anderes als Folgen - hier addierst du die Glieder zusammen, statt einzelne Werte zu berechnen.

Klausurtrick: Bei 0/0-Problemen fast immer kürzen oder h-Methode verwenden!

Geometrische Reihen

Geometrische Reihen entstehen, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst. Die Formel $S_n = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ ist dein Werkzeug dafür.

Für unendliche geometrische Reihen gilt: Wenn $|q| < 1$ , dann konvergiert die Reihe gegen $\frac{a}{1-q}$ . Das ist super praktisch für Textaufgaben!

Klassisches Beispiel: Quadrattreppe mit Flächenverringerung um Faktor $\frac{1}{4}$ . Der Gesamtflächeninhalt lässt sich mit der Summenformel berechnen.

Anwendungstipp: Geometrische Reihen kommen oft in Zinseszins- und Wachstumsaufgaben vor!

Endliche geometrische Reihen

Bei endlichen Reihen verwendest du $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ - hier hast du nur n Glieder statt unendlich viele.

Die Herleitung über $S_n \cdot (1-q)$ ist ein cleverer Trick: Du multiplizierst beide Seiten mit $(1-q)$ und nutzt die Teleskop-Eigenschaft der Summe.

Klassisches Beispiel ist die Schachbrettlegende - perfekt für die Klausur! Für den Grenzwert lässt du n gegen unendlich gehen und erhältst wieder $\frac{1}{1-q}$ .

Prüfungshinweis: Endliche vs. unendliche Reihen - achte genau auf die Aufgabenstellung!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Beliebteste Inhalte: Konvergenz

Grenzwertverhalten und Folgen

Entdecken Sie die Konzepte von Grenzwerten, Monotonie und Beschränktheit in Zahlenmengen und Folgen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Themen wie die Eigenschaften von Funktionen, konvergente und divergente Folgen sowie die Berechnung von Partialsummen. Ideal für Mathe LK 11/1.

Mathe

Folgen und Reihen

Entdecken Sie die Grundlagen von Folgen und Reihen in der Mathematik. Dieser Überblick behandelt die explizite und rekursive Darstellung von Folgen, die Konzepte der Konvergenz und Divergenz, sowie Grenzwertschätzungen. Erfahren Sie mehr über die Beschränktheit von Folgen, die Monotonie (steigend/fallend) und die Eigenschaften geometrischer Reihen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

Mathe

Folgen und Grenzwertanalyse

Dieser Lernzettel behandelt arithmetische und geometrische Folgen, deren Grenzwerte sowie die Untersuchung auf Monotonie und Beschränktheit. Er bietet eine klare Übersicht über die Bildungsgesetze, Grenzwertsätze und wichtige Eigenschaften von Folgen, die für das Verständnis der Analysis unerlässlich sind.

Mathe

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

Mathe

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

Mathe

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

Mathe

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

Mathe

Vektoren in Crash-Simulationen

Entdecken Sie die Anwendung von Vektoren in der Fahrzeugentwicklung, insbesondere bei Crash-Simulationen von Porsche. Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen von Vektoren, deren Addition, Subtraktion, Skalare Multiplikation und die Prüfung von Orthogonalität. Ideal für Mathematik- und Ingenieurstudierende, die sich auf das Abitur vorbereiten. Quellen: Abitur Skript Mathematik Stark Verlag.

Mathe

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

Mathe

Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen: Erfahren Sie, wie man Punkte testet, Wertetabellen erstellt, Funktionen zeichnet und die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt bestimmt. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Umformung von Gleichungen in die Normalform und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Formel, der Bestimmung von Funktionsgleichungen, der Steigung und der Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Schnittpunkten und zur Analyse von Graphen.

Mathe

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

Deutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

Deutsch

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Entdecken Sie die Grundlagen der Neurobiologie mit Fokus auf den Aufbau und die Funktionen von Nervenzellen, Ruhe- und Aktionspotentialen sowie der Rolle von Synapsen. Diese Zusammenfassung behandelt auch EPSP und IPSP, die Erregungsübertragung und die Bedeutung von Neurotoxinen. Ideal für Studierende der Biologie und Neurobiologie.

Biologie

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

Deutsch

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

Deutsch

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

Deutsch

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

Deutsch

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Mathematik

Folgen und Reihenanalyse

Konvergenz

Mathe

•

2.045

•

10. Dez. 2025

•

12 Seiten

Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

Wissen ist Gold 🤝

@lernen_iegn

Analysis ist ein wichtiger Teil deiner Mathe-Klausur - und eigentlich ziemlich logisch, wenn du die Grundlagen verstehst! Hier lernst du alles über Folgen, Reihen und Ableitungen, plus wie du mit Grenzwerten umgehst.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Mittlere und momentane Änderungsrate

Merktipp: Sekante = schneidet zweimal, Tangente = berührt einmal!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Von mittlerer zu momentaner Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate ist viel spannender - das ist deine exakte Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment! Du berechnest sie mit $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ , wobei h gegen 0 geht.

Das Ergebnis ist die Ableitung $f'(x_0)$ - die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Tangente berührt den Graph nur an einer Stelle, statt ihn zu schneiden.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ gibt dir dann die Steigung für jeden x-Wert. Super praktisch für Kurvendiskussionen!

Klausurtipp: Hoch- und Tiefpunkte haben immer die Steigung 0, also $f'(x) = 0$ !

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Zusammenhang zwischen f und f'

Wendepunkte in f sind Hoch- oder Tiefpunkte in f' - dort wechselt die Krümmung von rechts- zu linksgekrümmt (oder umgekehrt). Das ist wichtig für die Kurvendiskussion!

An den Beispielrechnungen siehst du: Bei Extrempunkten wird die Steigung 0, deshalb schneidet f' dort die x-Achse.

Aha-Moment: Negative Werte in f' bedeuten, dass f fällt - positive Werte bedeuten, dass f steigt!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Folgen verstehen

Das brauchst du später für Konvergenzbeweise - monotone und beschränkte Folgen haben nämlich immer einen Grenzwert!

Eselsbrücke: Monoton = eintönig = immer in dieselbe Richtung!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Monotonie und Beschränktheit beweisen

Um Monotonie zu beweisen, vergleichst du einfach $a_n$ mit $a_{n+1}$ . Bei $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ rechnest du: $1 + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n+1}$ , was zu $n < n+1$ führt - obviously wahr!

Praktischer Trick: Bei monoton fallenden Folgen ist $a_1$ die obere Schranke, bei monoton steigenden ist $a_1$ die untere Schranke.

Klausurtipp: Beschränkt + monoton = konvergent! Das ist ein wichtiger Satz.

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Beschränktheit in der Praxis

Hier siehst du konkret, wie Beschränktheitsbeweise funktionieren. Bei einer monoton fallenden Folge wie $(\frac{3}{4})^n$ ist das erste Glied $\frac{3}{4}$ automatisch die obere Schranke.

Die untere Schranke findest du durch logisches Überlegen: Da $(\frac{3}{4})^n$ immer positiv ist (egal wie groß n wird), ist 0 eine untere Schranke.

Also gilt: $\frac{3}{4} > a_n > 0$ - die Folge ist vollständig beschränkt.

Merkhilfe: $\forall n \in \mathbb{N}^*$ bedeutet "für alle n aus den natürlichen Zahlen"!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Grenzwerte von Folgen

Konvergente Folgen haben einen Grenzwert, divergente nicht. Nullfolgen konvergieren gegen 0 - die sind besonders wichtig!

Die mathematische Definition klingt kompliziert, aber der Kern ist einfach: Fast alle Folgeglieder liegen beliebig nah am Grenzwert g. "Fast alle" bedeutet: Es gibt nur endlich viele Ausnahmen.

Die Grenzwertsätze sind deine besten Freunde: Du kannst Grenzwerte addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren - genau wie normale Zahlen.

Goldene Regel: Monoton + beschränkt = konvergent. Das musst du dir merken!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Grenzwerte an kritischen Stellen

Bei Definitionslücken musst du kreativ werden! Zwei Methoden helfen dir: binomische Formeln und die h-Methode.

Beispiel $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ : Mit binomischer Formel wird das zu $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .

Reihen sind etwas anderes als Folgen - hier addierst du die Glieder zusammen, statt einzelne Werte zu berechnen.

Klausurtrick: Bei 0/0-Problemen fast immer kürzen oder h-Methode verwenden!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Geometrische Reihen

Geometrische Reihen entstehen, wenn du die Glieder einer geometrischen Folge addierst. Die Formel $S_n = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ ist dein Werkzeug dafür.

Für unendliche geometrische Reihen gilt: Wenn $|q| < 1$ , dann konvergiert die Reihe gegen $\frac{a}{1-q}$ . Das ist super praktisch für Textaufgaben!

Klassisches Beispiel: Quadrattreppe mit Flächenverringerung um Faktor $\frac{1}{4}$ . Der Gesamtflächeninhalt lässt sich mit der Summenformel berechnen.

Anwendungstipp: Geometrische Reihen kommen oft in Zinseszins- und Wachstumsaufgaben vor!

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Endliche geometrische Reihen

Bei endlichen Reihen verwendest du $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ - hier hast du nur n Glieder statt unendlich viele.

Die Herleitung über $S_n \cdot (1-q)$ ist ein cleverer Trick: Du multiplizierst beide Seiten mit $(1-q)$ und nutzt die Teleskop-Eigenschaft der Summe.

Klassisches Beispiel ist die Schachbrettlegende - perfekt für die Klausur! Für den Grenzwert lässt du n gegen unendlich gehen und erhältst wieder $\frac{1}{1-q}$ .

Prüfungshinweis: Endliche vs. unendliche Reihen - achte genau auf die Aufgabenstellung!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur

Quiz

Flashcards

Aufsatz

Beliebteste Inhalte: Konvergenz

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Mathe

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Mathe

Integrationsregeln und Anwendungen

Mathe

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Mathe

Vektoren in Crash-Simulationen

Mathe

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Mathe

Integralrechnung Grundlagen

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Mathe

Lineare Funktionen verstehen

Mathe

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

Deutsch

Der zerbrochene Krug: Analyse

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

Deutsch

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Biologie

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

Deutsch

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

Deutsch

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

Deutsch

Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

Deutsch

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

Deutsch

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

Mittlere und momentane Änderungsrate

Von mittlerer zu momentaner Änderungsrate

Zusammenhang zwischen f und f'

Folgen verstehen

Monotonie und Beschränktheit beweisen

Beschränktheit in der Praxis

Grenzwerte von Folgen

Grenzwerte an kritischen Stellen

Geometrische Reihen

Endliche geometrische Reihen

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnliche Inhalte

Mathe Abiturzusammenfassung - Alle relevanten Themen

Ableitung und Tangente

Zusammenfassung der Themen EF

Beliebteste Inhalte: Konvergenz

Grenzwertverhalten und Folgen

Folgen und Reihen

Folgen und Grenzwertanalyse

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Integrationsregeln und Anwendungen

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Vektoren in Crash-Simulationen

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Integralrechnung Grundlagen

Lineare Funktionen verstehen

Lineare Funktionen verstehen

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Der zerbrochene Krug: Analyse

Der zerbrochene Krug

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Abilernzettel Heimsuchung 2025

der zerbrochene Krug übersicht

Der zerbrochene Krug

Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

4.8/5

Mathematische Konzepte: Folgen und Reihen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Mittlere und momentane Änderungsrate

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Von mittlerer zu momentaner Änderungsrate

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zusammenhang zwischen f und f'

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Folgen verstehen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Monotonie und Beschränktheit beweisen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Beschränktheit in der Praxis

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Grenzwerte von Folgen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Grenzwerte an kritischen Stellen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Geometrische Reihen

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Endliche geometrische Reihen

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ähnliche Inhalte

Mathe Abitur: Schlüsselthemen

Ableitungsregeln und Tangenten

Funktionen und Ableitungen

Produktregel der Differentiation

Grenzwert und Konvergenz

Mündliche Abiturvorbereitung

Ähnliche Inhalte