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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

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9. Feb. 2026

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Übersicht: Quadratische Funktionen, Binomische Formeln und Gleichungssysteme

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LATI

@lati.berlin

Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von Brückenbögen... Mehr anzeigen

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# Merkheft Quadratische Funktionen Binomische Formeln. 1. Binomische Formel $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ $(a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a+a\cdot b+

Binomische Formeln - Dein Werkzeugkasten

Die binomischen Formeln sind deine Geheimwaffe für quadratische Funktionen! Du brauchst sie ständig zum Umformen und Vereinfachen.

Die erste binomische Formel (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 funktioniert wie beim Ausmultiplizieren von (a+b)(a+b)(a+b)(a+b). Jeder Term wird mit jedem multipliziert.

Bei der zweiten binomischen Formel (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 passt du nur das Vorzeichen beim mittleren Term an. Die dritte binomische Formel (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ist besonders praktisch, weil die Mischterme sich wegkürzen.

Tipp: Diese Formeln funktionieren rückwärts genauso gut - das hilft dir beim Faktorisieren!

# Merkheft Quadratische Funktionen Binomische Formeln. 1. Binomische Formel $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ $(a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a+a\cdot b+

Die vier Gesichter quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen können in vier verschiedenen Darstellungsformen auftreten. Jede Form verrät dir sofort bestimmte Eigenschaften!

Die allgemeine Form ax2+bx+cax^2 + bx + c und die Normalform x2+px+qx^2 + px + q mit $a = 1$ zeigen dir direkt den y-Achsenabschnitt. Die Scheitelpunktform a(x−d)2+ea(x-d)^2 + e macht den Scheitelpunkt sofort sichtbar.

Die faktorisierte Form a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) verrät dir auf einen Blick die Nullstellen der Funktion.

Merkhilfe: SPF → Scheitelpunkt, FF → Nullstellen, NF → y-Achsenabschnitt

# Merkheft Quadratische Funktionen Binomische Formeln. 1. Binomische Formel $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ $(a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a+a\cdot b+

Nullstellen und Umformungen meistern

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Das ist oft der Schlüssel zu Textaufgaben! Eine Funktion hat eine Nullstelle genau dann, wenn f(x)=0f(x) = 0 ist.

Zwischen den verschiedenen Formen kannst du mit bestimmten Techniken umrechnen. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung. Zurück geht's durch Ausmultiplizieren.

Von Normalform zur faktorisierten Form verwendest du die pq-Formel. Das Umrechnen zwischen allen Formen wird mit etwas Übung zum Automatismus.

Praxis-Tipp: Überlege immer zuerst, welche Form für deine Aufgabe am praktischsten ist!

# Merkheft Quadratische Funktionen Binomische Formeln. 1. Binomische Formel $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ $(a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a+a\cdot b+

Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt

Die quadratische Ergänzung bringt dich von der Normalform zur Scheitelpunktform. Bei f(x)=x2+6x−16f(x) = x^2 + 6x - 16 nimmst du die Hälfte des mittleren Koeffizienten: (62)2=9(\frac{6}{2})^2 = 9.

Du addierst und subtrahierst diese Zahl: x2+6x+9−9−16x^2 + 6x + 9 - 9 - 16. Dann erkennst du die binomische Formel: (x+3)2−25(x + 3)^2 - 25.

Der Scheitelpunkt liegt bei S(−3∣−25)S(-3|-25) - das liest du direkt ab! Das Vorzeichen bei der x-Koordinate dreht sich um.

Erfolgs-Trick: Denke immer daran, was du addierst, musst du auch subtrahieren!

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Von Scheitelpunkt zurück zur Normalform

Das Umrechnen von Scheitelpunktform zur Normalform funktioniert durch Ausmultiplizieren. Bei f(x)=2(x−2)2−8f(x) = 2(x-2)^2 - 8 verwendest du die zweite binomische Formel.

(x−2)2(x-2)^2 wird zu x2−4x+4x^2 - 4x + 4. Dann multiplizierst du mit dem Faktor 2: $2x^2 - 8x + 8$. Vergiss nicht, die -8 am Ende zu subtrahieren!

Das Endergebnis f(x)=2x2−8xf(x) = 2x^2 - 8x ist deine allgemeine Form. Teilst du durch 2, erhältst du die Normalform.

Kontroll-Check: Setze einen x-Wert in beide Formen ein - das Ergebnis muss gleich sein!

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pq-Formel und faktorisierte Form

Mit der pq-Formel kommst du von der Normalform zur faktorisierten Form. Bei f(x)=x2−8x+16f(x) = x^2 - 8x + 16 ist p=−8p = -8 und q=16q = 16.

x1/2=−p2±(p2)2−qx_{1/2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} ergibt x1/2=4±16−16=4x_{1/2} = 4 ± \sqrt{16 - 16} = 4. Du hast eine doppelte Nullstelle bei x=4x = 4!

Die faktorisierte Form wird zu f(x)=(x−4)(x−4)=(x−4)2f(x) = (x-4)(x-4) = (x-4)^2. Bei zwei verschiedenen Nullstellen hätte du (x−x1)(x−x2)(x-x_1)(x-x_2).

Wichtig: Negative Diskriminante bedeutet keine reellen Nullstellen!

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Zwischen allen Formen jonglieren

Von faktorisierter Form zur Normalform multiplizierst du aus. Bei f(x)=12(x−4)(x+6)f(x) = \frac{1}{2}(x-4)(x+6) nutzt du (x−4)(x+6)=x2+2x−24(x-4)(x+6) = x^2 + 2x - 24.

Vergiss nicht, mit 12\frac{1}{2} zu multiplizieren: f(x)=12x2+x−12f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 12. Von Scheitelpunktform zur faktorisierten Form setzt du f(x)=0f(x) = 0 und löst nach x auf.

Bei (x−3)2−4=0(x-3)^2 - 4 = 0 wird (x−3)2=4(x-3)^2 = 4, also x−3=±2x-3 = ±2. Die Nullstellen sind x1=5x_1 = 5 und x2=1x_2 = 1.

Pro-Tipp: Kontrolliere deine Nullstellen, indem du sie in die ursprüngliche Funktion einsetzt!

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Der Scheitelpunkt aus den Nullstellen

Von faktorisierter Form zur Scheitelpunktform nutzt du einen cleveren Trick. Bei f(x)=(x−5)(x−1)f(x) = (x-5)(x-1) liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen.

xS=5+12=3x_S = \frac{5+1}{2} = 3 und yS=f(3)=(3−5)(3−1)=−2⋅2=−4y_S = f(3) = (3-5)(3-1) = -2 \cdot 2 = -4. Der Scheitelpunkt ist S(3∣−4)S(3|-4).

Daraus wird die Scheitelpunktform f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x-3)^2 - 4. Diese Methode ist oft schneller als die quadratische Ergänzung!

Zeitsparer: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer der Mittelwert der Nullstellen!

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Lineare Gleichungen aus Punkten bestimmen

Aus zwei Punkten kannst du eine lineare Gleichung bestimmen. Die Steigung berechnest du mit m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Bei P(3∣5)P(3|5) und Q(8∣20)Q(8|20) ist m=20−58−3=155=3m = \frac{20-5}{8-3} = \frac{15}{5} = 3. Setze einen Punkt in y=3x+ny = 3x + n ein: $20 = 3 \cdot 8 + n$.

Daraus folgt n=−4n = -4 und die Gleichung lautet y=3x−4y = 3x - 4. Das funktioniert mit jedem der beiden Punkte!

Check: Beide Punkte müssen deine Gleichung erfüllen - teste sie zur Kontrolle!

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Komplexe Terme ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren komplexer Terme hilft dir "Po-Kla-Pu-S": Potenz, Klammer, Punkt vor Strich. Bei [4(x+2)2−3(8−c)]⋅4−21[4(x+2)^2 - 3(8-c)] \cdot 4 - 21 arbeitest du von innen nach außen.

Erst (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4, dann $4x2+4x+4x^2 + 4x + 4 = 4x^2 + 16x + 16.DiezweiteKlammer:. Die zweite Klammer: 38−c8-c = 24 - 3c$.

Zusammenfassen: $4x^2 + 16x + 16 - 24 + 3c = 4x^2 + 16x - 8 + 3c$. Zum Schluss mit 4 multiplizieren und 21 subtrahieren.

Lagebeziehungen von Parabeln: Passante (kein Schnittpunkt), Tangente (ein Berührpunkt), Sekante (zwei Schnittpunkte).

Systematisch: Arbeite immer Schritt für Schritt und kontrolliere jeden Zwischenschritt!



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

 

Mathe

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Nullstellen und Umformungen meistern

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Das ist oft der Schlüssel zu Textaufgaben! Eine Funktion hat eine Nullstelle genau dann, wenn f(x)=0f(x) = 0 ist.

Zwischen den verschiedenen Formen kannst du mit bestimmten Techniken umrechnen. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung. Zurück geht's durch Ausmultiplizieren.

Von Normalform zur faktorisierten Form verwendest du die pq-Formel. Das Umrechnen zwischen allen Formen wird mit etwas Übung zum Automatismus.

Praxis-Tipp: Überlege immer zuerst, welche Form für deine Aufgabe am praktischsten ist!

# Merkheft Quadratische Funktionen Binomische Formeln. 1. Binomische Formel $(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ $(a+b)\cdot(a+b) = a\cdot a+a\cdot b+

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Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt

Die quadratische Ergänzung bringt dich von der Normalform zur Scheitelpunktform. Bei f(x)=x2+6x−16f(x) = x^2 + 6x - 16 nimmst du die Hälfte des mittleren Koeffizienten: (62)2=9(\frac{6}{2})^2 = 9.

Du addierst und subtrahierst diese Zahl: x2+6x+9−9−16x^2 + 6x + 9 - 9 - 16. Dann erkennst du die binomische Formel: (x+3)2−25(x + 3)^2 - 25.

Der Scheitelpunkt liegt bei S(−3∣−25)S(-3|-25) - das liest du direkt ab! Das Vorzeichen bei der x-Koordinate dreht sich um.

Erfolgs-Trick: Denke immer daran, was du addierst, musst du auch subtrahieren!

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Von Scheitelpunkt zurück zur Normalform

Das Umrechnen von Scheitelpunktform zur Normalform funktioniert durch Ausmultiplizieren. Bei f(x)=2(x−2)2−8f(x) = 2(x-2)^2 - 8 verwendest du die zweite binomische Formel.

(x−2)2(x-2)^2 wird zu x2−4x+4x^2 - 4x + 4. Dann multiplizierst du mit dem Faktor 2: $2x^2 - 8x + 8$. Vergiss nicht, die -8 am Ende zu subtrahieren!

Das Endergebnis f(x)=2x2−8xf(x) = 2x^2 - 8x ist deine allgemeine Form. Teilst du durch 2, erhältst du die Normalform.

Kontroll-Check: Setze einen x-Wert in beide Formen ein - das Ergebnis muss gleich sein!

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pq-Formel und faktorisierte Form

Mit der pq-Formel kommst du von der Normalform zur faktorisierten Form. Bei f(x)=x2−8x+16f(x) = x^2 - 8x + 16 ist p=−8p = -8 und q=16q = 16.

x1/2=−p2±(p2)2−qx_{1/2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} ergibt x1/2=4±16−16=4x_{1/2} = 4 ± \sqrt{16 - 16} = 4. Du hast eine doppelte Nullstelle bei x=4x = 4!

Die faktorisierte Form wird zu f(x)=(x−4)(x−4)=(x−4)2f(x) = (x-4)(x-4) = (x-4)^2. Bei zwei verschiedenen Nullstellen hätte du (x−x1)(x−x2)(x-x_1)(x-x_2).

Wichtig: Negative Diskriminante bedeutet keine reellen Nullstellen!

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Zwischen allen Formen jonglieren

Von faktorisierter Form zur Normalform multiplizierst du aus. Bei f(x)=12(x−4)(x+6)f(x) = \frac{1}{2}(x-4)(x+6) nutzt du (x−4)(x+6)=x2+2x−24(x-4)(x+6) = x^2 + 2x - 24.

Vergiss nicht, mit 12\frac{1}{2} zu multiplizieren: f(x)=12x2+x−12f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 12. Von Scheitelpunktform zur faktorisierten Form setzt du f(x)=0f(x) = 0 und löst nach x auf.

Bei (x−3)2−4=0(x-3)^2 - 4 = 0 wird (x−3)2=4(x-3)^2 = 4, also x−3=±2x-3 = ±2. Die Nullstellen sind x1=5x_1 = 5 und x2=1x_2 = 1.

Pro-Tipp: Kontrolliere deine Nullstellen, indem du sie in die ursprüngliche Funktion einsetzt!

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Der Scheitelpunkt aus den Nullstellen

Von faktorisierter Form zur Scheitelpunktform nutzt du einen cleveren Trick. Bei f(x)=(x−5)(x−1)f(x) = (x-5)(x-1) liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen.

xS=5+12=3x_S = \frac{5+1}{2} = 3 und yS=f(3)=(3−5)(3−1)=−2⋅2=−4y_S = f(3) = (3-5)(3-1) = -2 \cdot 2 = -4. Der Scheitelpunkt ist S(3∣−4)S(3|-4).

Daraus wird die Scheitelpunktform f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x-3)^2 - 4. Diese Methode ist oft schneller als die quadratische Ergänzung!

Zeitsparer: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer der Mittelwert der Nullstellen!

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Lineare Gleichungen aus Punkten bestimmen

Aus zwei Punkten kannst du eine lineare Gleichung bestimmen. Die Steigung berechnest du mit m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Bei P(3∣5)P(3|5) und Q(8∣20)Q(8|20) ist m=20−58−3=155=3m = \frac{20-5}{8-3} = \frac{15}{5} = 3. Setze einen Punkt in y=3x+ny = 3x + n ein: $20 = 3 \cdot 8 + n$.

Daraus folgt n=−4n = -4 und die Gleichung lautet y=3x−4y = 3x - 4. Das funktioniert mit jedem der beiden Punkte!

Check: Beide Punkte müssen deine Gleichung erfüllen - teste sie zur Kontrolle!

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Komplexe Terme ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren komplexer Terme hilft dir "Po-Kla-Pu-S": Potenz, Klammer, Punkt vor Strich. Bei [4(x+2)2−3(8−c)]⋅4−21[4(x+2)^2 - 3(8-c)] \cdot 4 - 21 arbeitest du von innen nach außen.

Erst (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4, dann $4x2+4x+4x^2 + 4x + 4 = 4x^2 + 16x + 16.DiezweiteKlammer:. Die zweite Klammer: 38−c8-c = 24 - 3c$.

Zusammenfassen: $4x^2 + 16x + 16 - 24 + 3c = 4x^2 + 16x - 8 + 3c$. Zum Schluss mit 4 multiplizieren und 21 subtrahieren.

Lagebeziehungen von Parabeln: Passante (kein Schnittpunkt), Tangente (ein Berührpunkt), Sekante (zwei Schnittpunkte).

Systematisch: Arbeite immer Schritt für Schritt und kontrolliere jeden Zwischenschritt!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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David K

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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