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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

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9. Dez. 2025

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Übersicht: Quadratische Funktionen, Binomische Formeln und Gleichungssysteme

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LATI

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Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von Brückenbögen... Mehr anzeigen

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Merkheft Quadratische Funktionen -Binomische Formeln. 1. Binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b ² (a + b). (a+b) =a⋅a + a·b + b⋅a+b·b ab +

Binomische Formeln - Dein Werkzeugkasten

Die binomischen Formeln sind deine Geheimwaffe für quadratische Funktionen! Du brauchst sie ständig zum Umformen und Vereinfachen.

Die erste binomische Formel (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 funktioniert wie beim Ausmultiplizieren von (a+b)(a+b)(a+b)(a+b). Jeder Term wird mit jedem multipliziert.

Bei der zweiten binomischen Formel (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 passt du nur das Vorzeichen beim mittleren Term an. Die dritte binomische Formel (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ist besonders praktisch, weil die Mischterme sich wegkürzen.

Tipp: Diese Formeln funktionieren rückwärts genauso gut - das hilft dir beim Faktorisieren!

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Die vier Gesichter quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen können in vier verschiedenen Darstellungsformen auftreten. Jede Form verrät dir sofort bestimmte Eigenschaften!

Die allgemeine Form ax2+bx+cax^2 + bx + c und die Normalform x2+px+qx^2 + px + q mit $a = 1$ zeigen dir direkt den y-Achsenabschnitt. Die Scheitelpunktform a(x−d)2+ea(x-d)^2 + e macht den Scheitelpunkt sofort sichtbar.

Die faktorisierte Form a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) verrät dir auf einen Blick die Nullstellen der Funktion.

Merkhilfe: SPF → Scheitelpunkt, FF → Nullstellen, NF → y-Achsenabschnitt

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Nullstellen und Umformungen meistern

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Das ist oft der Schlüssel zu Textaufgaben! Eine Funktion hat eine Nullstelle genau dann, wenn f(x)=0f(x) = 0 ist.

Zwischen den verschiedenen Formen kannst du mit bestimmten Techniken umrechnen. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung. Zurück geht's durch Ausmultiplizieren.

Von Normalform zur faktorisierten Form verwendest du die pq-Formel. Das Umrechnen zwischen allen Formen wird mit etwas Übung zum Automatismus.

Praxis-Tipp: Überlege immer zuerst, welche Form für deine Aufgabe am praktischsten ist!

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Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt

Die quadratische Ergänzung bringt dich von der Normalform zur Scheitelpunktform. Bei f(x)=x2+6x−16f(x) = x^2 + 6x - 16 nimmst du die Hälfte des mittleren Koeffizienten: (62)2=9(\frac{6}{2})^2 = 9.

Du addierst und subtrahierst diese Zahl: x2+6x+9−9−16x^2 + 6x + 9 - 9 - 16. Dann erkennst du die binomische Formel: (x+3)2−25(x + 3)^2 - 25.

Der Scheitelpunkt liegt bei S(−3∣−25)S(-3|-25) - das liest du direkt ab! Das Vorzeichen bei der x-Koordinate dreht sich um.

Erfolgs-Trick: Denke immer daran, was du addierst, musst du auch subtrahieren!

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Von Scheitelpunkt zurück zur Normalform

Das Umrechnen von Scheitelpunktform zur Normalform funktioniert durch Ausmultiplizieren. Bei f(x)=2(x−2)2−8f(x) = 2(x-2)^2 - 8 verwendest du die zweite binomische Formel.

(x−2)2(x-2)^2 wird zu x2−4x+4x^2 - 4x + 4. Dann multiplizierst du mit dem Faktor 2: 2x2−8x+82x^2 - 8x + 8. Vergiss nicht, die -8 am Ende zu subtrahieren!

Das Endergebnis f(x)=2x2−8xf(x) = 2x^2 - 8x ist deine allgemeine Form. Teilst du durch 2, erhältst du die Normalform.

Kontroll-Check: Setze einen x-Wert in beide Formen ein - das Ergebnis muss gleich sein!

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pq-Formel und faktorisierte Form

Mit der pq-Formel kommst du von der Normalform zur faktorisierten Form. Bei f(x)=x2−8x+16f(x) = x^2 - 8x + 16 ist p=−8p = -8 und q=16q = 16.

x1/2=−p2±(p2)2−qx_{1/2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} ergibt x1/2=4±16−16=4x_{1/2} = 4 ± \sqrt{16 - 16} = 4. Du hast eine doppelte Nullstelle bei x=4x = 4!

Die faktorisierte Form wird zu f(x)=(x−4)(x−4)=(x−4)2f(x) = (x-4)(x-4) = (x-4)^2. Bei zwei verschiedenen Nullstellen hätte du (x−x1)(x−x2)(x-x_1)(x-x_2).

Wichtig: Negative Diskriminante bedeutet keine reellen Nullstellen!

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Zwischen allen Formen jonglieren

Von faktorisierter Form zur Normalform multiplizierst du aus. Bei f(x)=12(x−4)(x+6)f(x) = \frac{1}{2}(x-4)(x+6) nutzt du (x−4)(x+6)=x2+2x−24(x-4)(x+6) = x^2 + 2x - 24.

Vergiss nicht, mit 12\frac{1}{2} zu multiplizieren: f(x)=12x2+x−12f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 12. Von Scheitelpunktform zur faktorisierten Form setzt du f(x)=0f(x) = 0 und löst nach x auf.

Bei (x−3)2−4=0(x-3)^2 - 4 = 0 wird (x−3)2=4(x-3)^2 = 4, also x−3=±2x-3 = ±2. Die Nullstellen sind x1=5x_1 = 5 und x2=1x_2 = 1.

Pro-Tipp: Kontrolliere deine Nullstellen, indem du sie in die ursprüngliche Funktion einsetzt!

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Der Scheitelpunkt aus den Nullstellen

Von faktorisierter Form zur Scheitelpunktform nutzt du einen cleveren Trick. Bei f(x)=(x−5)(x−1)f(x) = (x-5)(x-1) liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen.

xS=5+12=3x_S = \frac{5+1}{2} = 3 und yS=f(3)=(3−5)(3−1)=−2⋅2=−4y_S = f(3) = (3-5)(3-1) = -2 \cdot 2 = -4. Der Scheitelpunkt ist S(3∣−4)S(3|-4).

Daraus wird die Scheitelpunktform f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x-3)^2 - 4. Diese Methode ist oft schneller als die quadratische Ergänzung!

Zeitsparer: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer der Mittelwert der Nullstellen!

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Lineare Gleichungen aus Punkten bestimmen

Aus zwei Punkten kannst du eine lineare Gleichung bestimmen. Die Steigung berechnest du mit m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Bei P(3∣5)P(3|5) und Q(8∣20)Q(8|20) ist m=20−58−3=155=3m = \frac{20-5}{8-3} = \frac{15}{5} = 3. Setze einen Punkt in y=3x+ny = 3x + n ein: 20=3⋅8+n20 = 3 \cdot 8 + n.

Daraus folgt n=−4n = -4 und die Gleichung lautet y=3x−4y = 3x - 4. Das funktioniert mit jedem der beiden Punkte!

Check: Beide Punkte müssen deine Gleichung erfüllen - teste sie zur Kontrolle!

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Komplexe Terme ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren komplexer Terme hilft dir "Po-Kla-Pu-S": Potenz, Klammer, Punkt vor Strich. Bei [4(x+2)2−3(8−c)]⋅4−21[4(x+2)^2 - 3(8-c)] \cdot 4 - 21 arbeitest du von innen nach außen.

Erst (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4, dann 4(x2+4x+4)=4x2+16x+164(x^2 + 4x + 4) = 4x^2 + 16x + 16. Die zweite Klammer: 3(8−c)=24−3c3(8-c) = 24 - 3c.

Zusammenfassen: 4x2+16x+16−24+3c=4x2+16x−8+3c4x^2 + 16x + 16 - 24 + 3c = 4x^2 + 16x - 8 + 3c. Zum Schluss mit 4 multiplizieren und 21 subtrahieren.

Lagebeziehungen von Parabeln: Passante (kein Schnittpunkt), Tangente (ein Berührpunkt), Sekante (zwei Schnittpunkte).

Systematisch: Arbeite immer Schritt für Schritt und kontrolliere jeden Zwischenschritt!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Stefan S

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Sudenaz Ocak

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Hans T

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Nullstellen und Umformungen meistern

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Das ist oft der Schlüssel zu Textaufgaben! Eine Funktion hat eine Nullstelle genau dann, wenn f(x)=0f(x) = 0 ist.

Zwischen den verschiedenen Formen kannst du mit bestimmten Techniken umrechnen. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung. Zurück geht's durch Ausmultiplizieren.

Von Normalform zur faktorisierten Form verwendest du die pq-Formel. Das Umrechnen zwischen allen Formen wird mit etwas Übung zum Automatismus.

Praxis-Tipp: Überlege immer zuerst, welche Form für deine Aufgabe am praktischsten ist!

Merkheft Quadratische Funktionen -Binomische Formeln. 1. Binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b ² (a + b). (a+b) =a⋅a + a·b + b⋅a+b·b ab +

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Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt

Die quadratische Ergänzung bringt dich von der Normalform zur Scheitelpunktform. Bei f(x)=x2+6x−16f(x) = x^2 + 6x - 16 nimmst du die Hälfte des mittleren Koeffizienten: (62)2=9(\frac{6}{2})^2 = 9.

Du addierst und subtrahierst diese Zahl: x2+6x+9−9−16x^2 + 6x + 9 - 9 - 16. Dann erkennst du die binomische Formel: (x+3)2−25(x + 3)^2 - 25.

Der Scheitelpunkt liegt bei S(−3∣−25)S(-3|-25) - das liest du direkt ab! Das Vorzeichen bei der x-Koordinate dreht sich um.

Erfolgs-Trick: Denke immer daran, was du addierst, musst du auch subtrahieren!

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Von Scheitelpunkt zurück zur Normalform

Das Umrechnen von Scheitelpunktform zur Normalform funktioniert durch Ausmultiplizieren. Bei f(x)=2(x−2)2−8f(x) = 2(x-2)^2 - 8 verwendest du die zweite binomische Formel.

(x−2)2(x-2)^2 wird zu x2−4x+4x^2 - 4x + 4. Dann multiplizierst du mit dem Faktor 2: 2x2−8x+82x^2 - 8x + 8. Vergiss nicht, die -8 am Ende zu subtrahieren!

Das Endergebnis f(x)=2x2−8xf(x) = 2x^2 - 8x ist deine allgemeine Form. Teilst du durch 2, erhältst du die Normalform.

Kontroll-Check: Setze einen x-Wert in beide Formen ein - das Ergebnis muss gleich sein!

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pq-Formel und faktorisierte Form

Mit der pq-Formel kommst du von der Normalform zur faktorisierten Form. Bei f(x)=x2−8x+16f(x) = x^2 - 8x + 16 ist p=−8p = -8 und q=16q = 16.

x1/2=−p2±(p2)2−qx_{1/2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} ergibt x1/2=4±16−16=4x_{1/2} = 4 ± \sqrt{16 - 16} = 4. Du hast eine doppelte Nullstelle bei x=4x = 4!

Die faktorisierte Form wird zu f(x)=(x−4)(x−4)=(x−4)2f(x) = (x-4)(x-4) = (x-4)^2. Bei zwei verschiedenen Nullstellen hätte du (x−x1)(x−x2)(x-x_1)(x-x_2).

Wichtig: Negative Diskriminante bedeutet keine reellen Nullstellen!

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Zwischen allen Formen jonglieren

Von faktorisierter Form zur Normalform multiplizierst du aus. Bei f(x)=12(x−4)(x+6)f(x) = \frac{1}{2}(x-4)(x+6) nutzt du (x−4)(x+6)=x2+2x−24(x-4)(x+6) = x^2 + 2x - 24.

Vergiss nicht, mit 12\frac{1}{2} zu multiplizieren: f(x)=12x2+x−12f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 12. Von Scheitelpunktform zur faktorisierten Form setzt du f(x)=0f(x) = 0 und löst nach x auf.

Bei (x−3)2−4=0(x-3)^2 - 4 = 0 wird (x−3)2=4(x-3)^2 = 4, also x−3=±2x-3 = ±2. Die Nullstellen sind x1=5x_1 = 5 und x2=1x_2 = 1.

Pro-Tipp: Kontrolliere deine Nullstellen, indem du sie in die ursprüngliche Funktion einsetzt!

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Der Scheitelpunkt aus den Nullstellen

Von faktorisierter Form zur Scheitelpunktform nutzt du einen cleveren Trick. Bei f(x)=(x−5)(x−1)f(x) = (x-5)(x-1) liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen.

xS=5+12=3x_S = \frac{5+1}{2} = 3 und yS=f(3)=(3−5)(3−1)=−2⋅2=−4y_S = f(3) = (3-5)(3-1) = -2 \cdot 2 = -4. Der Scheitelpunkt ist S(3∣−4)S(3|-4).

Daraus wird die Scheitelpunktform f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x-3)^2 - 4. Diese Methode ist oft schneller als die quadratische Ergänzung!

Zeitsparer: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer der Mittelwert der Nullstellen!

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Lineare Gleichungen aus Punkten bestimmen

Aus zwei Punkten kannst du eine lineare Gleichung bestimmen. Die Steigung berechnest du mit m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Bei P(3∣5)P(3|5) und Q(8∣20)Q(8|20) ist m=20−58−3=155=3m = \frac{20-5}{8-3} = \frac{15}{5} = 3. Setze einen Punkt in y=3x+ny = 3x + n ein: 20=3⋅8+n20 = 3 \cdot 8 + n.

Daraus folgt n=−4n = -4 und die Gleichung lautet y=3x−4y = 3x - 4. Das funktioniert mit jedem der beiden Punkte!

Check: Beide Punkte müssen deine Gleichung erfüllen - teste sie zur Kontrolle!

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Komplexe Terme ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren komplexer Terme hilft dir "Po-Kla-Pu-S": Potenz, Klammer, Punkt vor Strich. Bei [4(x+2)2−3(8−c)]⋅4−21[4(x+2)^2 - 3(8-c)] \cdot 4 - 21 arbeitest du von innen nach außen.

Erst (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4, dann 4(x2+4x+4)=4x2+16x+164(x^2 + 4x + 4) = 4x^2 + 16x + 16. Die zweite Klammer: 3(8−c)=24−3c3(8-c) = 24 - 3c.

Zusammenfassen: 4x2+16x+16−24+3c=4x2+16x−8+3c4x^2 + 16x + 16 - 24 + 3c = 4x^2 + 16x - 8 + 3c. Zum Schluss mit 4 multiplizieren und 21 subtrahieren.

Lagebeziehungen von Parabeln: Passante (kein Schnittpunkt), Tangente (ein Berührpunkt), Sekante (zwei Schnittpunkte).

Systematisch: Arbeite immer Schritt für Schritt und kontrolliere jeden Zwischenschritt!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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