Übersicht: Quadratische Funktionen, Binomische Formeln und Gleichungssysteme

Binomische Formeln - Dein Werkzeugkasten

Die binomischen Formeln sind deine Geheimwaffe für quadratische Funktionen! Du brauchst sie ständig zum Umformen und Vereinfachen.

Die erste binomische Formel $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ funktioniert wie beim Ausmultiplizieren von $(a+b)(a+b)$. Jeder Term wird mit jedem multipliziert.

Bei der zweiten binomischen Formel $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ passt du nur das Vorzeichen beim mittleren Term an. Die dritte binomische Formel $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ ist besonders praktisch, weil die Mischterme sich wegkürzen.

Tipp: Diese Formeln funktionieren rückwärts genauso gut - das hilft dir beim Faktorisieren!

Die vier Gesichter quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen können in vier verschiedenen Darstellungsformen auftreten. Jede Form verrät dir sofort bestimmte Eigenschaften!

Die allgemeine Form $ax^2 + bx + c$ und die Normalform $x^2 + px + q$ (mit $a = 1$) zeigen dir direkt den y-Achsenabschnitt. Die Scheitelpunktform $a(x-d)^2 + e$ macht den Scheitelpunkt sofort sichtbar.

Die faktorisierte Form $a(x-x_1)(x-x_2)$ verrät dir auf einen Blick die Nullstellen der Funktion.

Merkhilfe: SPF → Scheitelpunkt, FF → Nullstellen, NF → y-Achsenabschnitt

Nullstellen und Umformungen meistern

Nullstellen findest du, indem du $f(x) = 0$ setzt. Das ist oft der Schlüssel zu Textaufgaben! Eine Funktion hat eine Nullstelle genau dann, wenn $f(x) = 0$ ist.

Zwischen den verschiedenen Formen kannst du mit bestimmten Techniken umrechnen. Von Normalform zur Scheitelpunktform nutzt du die quadratische Ergänzung. Zurück geht's durch Ausmultiplizieren.

Von Normalform zur faktorisierten Form verwendest du die pq-Formel. Das Umrechnen zwischen allen Formen wird mit etwas Übung zum Automatismus.

Praxis-Tipp: Überlege immer zuerst, welche Form für deine Aufgabe am praktischsten ist!

Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt

Die quadratische Ergänzung bringt dich von der Normalform zur Scheitelpunktform. Bei $f(x) = x^2 + 6x - 16$ nimmst du die Hälfte des mittleren Koeffizienten: $(\frac{6}{2})^2 = 9$.

Du addierst und subtrahierst diese Zahl: $x^2 + 6x + 9 - 9 - 16$. Dann erkennst du die binomische Formel: $(x + 3)^2 - 25$.

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(-3|-25)$ - das liest du direkt ab! Das Vorzeichen bei der x-Koordinate dreht sich um.

Erfolgs-Trick: Denke immer daran, was du addierst, musst du auch subtrahieren!

Von Scheitelpunkt zurück zur Normalform

Das Umrechnen von Scheitelpunktform zur Normalform funktioniert durch Ausmultiplizieren. Bei $f(x) = 2(x-2)^2 - 8$ verwendest du die zweite binomische Formel.

$(x-2)^2$ wird zu $x^2 - 4x + 4$. Dann multiplizierst du mit dem Faktor 2: $2x^2 - 8x + 8$. Vergiss nicht, die -8 am Ende zu subtrahieren!

Das Endergebnis $f(x) = 2x^2 - 8x$ ist deine allgemeine Form. Teilst du durch 2, erhältst du die Normalform.

Kontroll-Check: Setze einen x-Wert in beide Formen ein - das Ergebnis muss gleich sein!

pq-Formel und faktorisierte Form

Mit der pq-Formel kommst du von der Normalform zur faktorisierten Form. Bei $f(x) = x^2 - 8x + 16$ ist $p = -8$ und $q = 16$.

$x_{1/2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ ergibt $x_{1/2} = 4 ± \sqrt{16 - 16} = 4$. Du hast eine doppelte Nullstelle bei $x = 4$!

Die faktorisierte Form wird zu $f(x) = (x-4)(x-4) = (x-4)^2$. Bei zwei verschiedenen Nullstellen hätte du $(x-x_1)(x-x_2)$.

Wichtig: Negative Diskriminante bedeutet keine reellen Nullstellen!

Zwischen allen Formen jonglieren

Von faktorisierter Form zur Normalform multiplizierst du aus. Bei $f(x) = \frac{1}{2}(x-4)(x+6)$ nutzt du $(x-4)(x+6) = x^2 + 2x - 24$.

Vergiss nicht, mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren: $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 12$. Von Scheitelpunktform zur faktorisierten Form setzt du $f(x) = 0$ und löst nach x auf.

Bei $(x-3)^2 - 4 = 0$ wird $(x-3)^2 = 4$, also $x-3 = ±2$. Die Nullstellen sind $x_1 = 5$ und $x_2 = 1$.

Pro-Tipp: Kontrolliere deine Nullstellen, indem du sie in die ursprüngliche Funktion einsetzt!

Der Scheitelpunkt aus den Nullstellen

Von faktorisierter Form zur Scheitelpunktform nutzt du einen cleveren Trick. Bei $f(x) = (x-5)(x-1)$ liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen.

$x_S = \frac{5+1}{2} = 3$ und $y_S = f(3) = (3-5)(3-1) = -2 \cdot 2 = -4$. Der Scheitelpunkt ist $S(3|-4)$.

Daraus wird die Scheitelpunktform $f(x) = (x-3)^2 - 4$. Diese Methode ist oft schneller als die quadratische Ergänzung!

Zeitsparer: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer der Mittelwert der Nullstellen!

Lineare Gleichungen aus Punkten bestimmen

Aus zwei Punkten kannst du eine lineare Gleichung bestimmen. Die Steigung berechnest du mit $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Bei $P(3|5)$ und $Q(8|20)$ ist $m = \frac{20-5}{8-3} = \frac{15}{5} = 3$. Setze einen Punkt in $y = 3x + n$ ein: $20 = 3 \cdot 8 + n$.

Daraus folgt $n = -4$ und die Gleichung lautet $y = 3x - 4$. Das funktioniert mit jedem der beiden Punkte!

Check: Beide Punkte müssen deine Gleichung erfüllen - teste sie zur Kontrolle!

Komplexe Terme ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren komplexer Terme hilft dir "Po-Kla-Pu-S": Potenz, Klammer, Punkt vor Strich. Bei $[4(x+2)^2 - 3(8-c)] \cdot 4 - 21$ arbeitest du von innen nach außen.

Erst $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$, dann $4(x^2 + 4x + 4) = 4x^2 + 16x + 16$. Die zweite Klammer: $3(8-c) = 24 - 3c$.

Zusammenfassen: $4x^2 + 16x + 16 - 24 + 3c = 4x^2 + 16x - 8 + 3c$. Zum Schluss mit 4 multiplizieren und 21 subtrahieren.

Lagebeziehungen von Parabeln: Passante (kein Schnittpunkt), Tangente (ein Berührpunkt), Sekante (zwei Schnittpunkte).

Systematisch: Arbeite immer Schritt für Schritt und kontrolliere jeden Zwischenschritt!