Funktionen und ihre Darstellungen

Funktionen sind wie mathematische Maschinen: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Jede Funktion hat eine Definitionsmenge $welche x-Werte erlaubt sind$ und eine Zielmenge $welche y-Werte rauskommen können$.

Die Zuordnungsvorschrift ist das Rezept deiner Funktion - meist als Gleichung wie f(x) = 2x + 3 geschrieben. Du kannst Funktionen auf drei Arten darstellen: als Gleichung, als Wertetabelle oder als Graph im Koordinatensystem.

Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + n und sehen als Graph immer wie eine Gerade aus. Das m ist die Steigung (wie steil die Gerade ist), das n der y-Achsenabschnitt $wo die Gerade die y-Achse schneidet$.

Die Steigung berechnest du mit der Formel m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$. Um eine Geradengleichung zu finden, brauchst du entweder einen Punkt und die Steigung oder zwei Punkte.

Merktipp: Bei linearen Funktionen erkennst du sofort: positive Steigung = Gerade steigt, negative Steigung = Gerade fällt!

Steigungswinkel und quadratische Funktionen

Der Steigungswinkel α ist der Winkel zwischen der x-Achse und deiner Geraden. Hier gilt: m = tan(α). Den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnest du mit: tan(γ) = |$m₁ - m₂$/$1 + m₁ · m₂$|.

Quadratische Funktionen erkennst du am x² in der Gleichung - ihr Graph ist immer eine Parabel. Die einfachste ist f(x) = x², die Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt S(0|0).

Du kannst die Normalparabel verschieben: f(x) = x² + a verschiebt um a nach oben, f(x) = x² - b um b nach unten. f(x) = $x - c$² verschiebt um c nach rechts, f(x) = $x + d$² um d nach links.

Achtung: Bei Verschiebungen in x-Richtung drehst du das Vorzeichen um - das verwirrt oft!

Parabeln strecken und Nullstellen finden

Der Streckfaktor a vor dem x² bestimmt die Form deiner Parabel. Ist |a| > 1, wird sie gestreckt (schmaler). Ist |a| < 1, wird sie gestaucht (breiter). Negatives a bedeutet: Parabel öffnet nach unten.

Nullstellen findest du mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Eine Parabel kann null, eine oder zwei Nullstellen haben - je nachdem, ob sie die x-Achse schneidet.

Quadratische Funktionen gibt es in zwei Formen: Normalform f(x) = ax² + px + q $y-Achsenabschnitt direkt ablesbar$ und Scheitelpunktform f(x) = a$x - d$² + e (Scheitelpunkt direkt ablesbar).

Um von der Normalform zur Scheitelpunktform zu kommen, machst du eine quadratische Ergänzung: Du teilst p durch 2, quadrierst das Ergebnis und addierst/subtrahierst es geschickt.

Praxistipp: Die Scheitelpunktform ist super praktisch zum Zeichnen, die Normalform zum Rechnen!

Parabeln durch Punkte und Geraden-Parabel-Schnitte

Um eine Parabel durch drei Punkte zu bestimmen, setzt du die Koordinaten in f(x) = ax² + bx + c ein. Das gibt dir drei Gleichungen mit drei Unbekannten (a, b, c), die du als Gleichungssystem löst.

Beim Schneiden von Parabeln und Geraden entstehen verschiedene Situationen: Eine Sekante schneidet die Parabel zweimal, eine Tangente berührt sie einmal, eine Passante verfehlt sie komplett.

Schnittpunkte findest du so: Setze Parabel- und Geradengleichung gleich $ax² + bx + c = mx + n$, bringe alles auf eine Seite und löse die entstehende quadratische Gleichung mit der pq-Formel. Die x-Werte setzt du dann in die Geradengleichung ein, um die y-Werte zu bekommen.

Wichtig: Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung verrät dir, ob Gerade und Parabel sich schneiden!

Kubische und biquadratische Funktionen

Kubische Funktionen haben die Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d und können ziemlich wilde Kurven bilden. Anders als Parabeln können sie bis zu drei Nullstellen haben und zwei Wendepunkte.

Nullstellen findest du oft durch Ausklammern: Wenn d = 0 ist, klammerst du x aus und bekommst x$ax² + bx + c$ = 0. Das gibt dir sofort eine Nullstelle $x = 0$ und eine quadratische Gleichung für die anderen.

Biquadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax⁴ + bx² + c - sie enthalten nur gerade Potenzen von x. Deshalb sind sie symmetrisch zur y-Achse: f$-x$ = f(x).

Für ihre Nullstellen machst du eine clevere Substitution: Setze z = x², dann wird aus ax⁴ + bx² + c = 0 die einfachere Gleichung az² + bz + c = 0. Nach dem Lösen mit der pq-Formel machst du die Resubstitution: Aus jedem positiven z-Wert werden zwei x-Werte (±√z).

Merkhilfe: Bei biquadratischen Funktionen denkst du einfach: "Ersetze x² durch z und rechne wie gewohnt!"