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franzi
11.12.2025
Mathe
Funktionen und ihre Darstellungen
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11. Dez. 2025
•
franzi
@franzii.sps
Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung... Mehr anzeigen
Funktionen sind wie mathematische Maschinen: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Jede Funktion hat eine Definitionsmenge und eine Zielmenge .
Die Zuordnungsvorschrift ist das Rezept deiner Funktion - meist als Gleichung wie f(x) = 2x + 3 geschrieben. Du kannst Funktionen auf drei Arten darstellen: als Gleichung, als Wertetabelle oder als Graph im Koordinatensystem.
Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + n und sehen als Graph immer wie eine Gerade aus. Das m ist die Steigung (wie steil die Gerade ist), das n der y-Achsenabschnitt .
Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /. Um eine Geradengleichung zu finden, brauchst du entweder einen Punkt und die Steigung oder zwei Punkte.
Merktipp: Bei linearen Funktionen erkennst du sofort: positive Steigung = Gerade steigt, negative Steigung = Gerade fällt!
Der Steigungswinkel α ist der Winkel zwischen der x-Achse und deiner Geraden. Hier gilt: m = tan(α). Den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnest du mit: tan(γ) = |/|.
Quadratische Funktionen erkennst du am x² in der Gleichung - ihr Graph ist immer eine Parabel. Die einfachste ist f(x) = x², die Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt S(0|0).
Du kannst die Normalparabel verschieben: f(x) = x² + a verschiebt um a nach oben, f(x) = x² - b um b nach unten. f(x) = ² verschiebt um c nach rechts, f(x) = ² um d nach links.
Achtung: Bei Verschiebungen in x-Richtung drehst du das Vorzeichen um - das verwirrt oft!
Der Streckfaktor a vor dem x² bestimmt die Form deiner Parabel. Ist |a| > 1, wird sie gestreckt (schmaler). Ist |a| < 1, wird sie gestaucht (breiter). Negatives a bedeutet: Parabel öffnet nach unten.
Nullstellen findest du mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √. Eine Parabel kann null, eine oder zwei Nullstellen haben - je nachdem, ob sie die x-Achse schneidet.
Quadratische Funktionen gibt es in zwei Formen: Normalform f(x) = ax² + px + q und Scheitelpunktform f(x) = a² + e (Scheitelpunkt direkt ablesbar).
Um von der Normalform zur Scheitelpunktform zu kommen, machst du eine quadratische Ergänzung: Du teilst p durch 2, quadrierst das Ergebnis und addierst/subtrahierst es geschickt.
Praxistipp: Die Scheitelpunktform ist super praktisch zum Zeichnen, die Normalform zum Rechnen!
Um eine Parabel durch drei Punkte zu bestimmen, setzt du die Koordinaten in f(x) = ax² + bx + c ein. Das gibt dir drei Gleichungen mit drei Unbekannten (a, b, c), die du als Gleichungssystem löst.
Beim Schneiden von Parabeln und Geraden entstehen verschiedene Situationen: Eine Sekante schneidet die Parabel zweimal, eine Tangente berührt sie einmal, eine Passante verfehlt sie komplett.
Schnittpunkte findest du so: Setze Parabel- und Geradengleichung gleich , bringe alles auf eine Seite und löse die entstehende quadratische Gleichung mit der pq-Formel. Die x-Werte setzt du dann in die Geradengleichung ein, um die y-Werte zu bekommen.
Wichtig: Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung verrät dir, ob Gerade und Parabel sich schneiden!
Kubische Funktionen haben die Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d und können ziemlich wilde Kurven bilden. Anders als Parabeln können sie bis zu drei Nullstellen haben und zwei Wendepunkte.
Nullstellen findest du oft durch Ausklammern: Wenn d = 0 ist, klammerst du x aus und bekommst x = 0. Das gibt dir sofort eine Nullstelle und eine quadratische Gleichung für die anderen.
Biquadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax⁴ + bx² + c - sie enthalten nur gerade Potenzen von x. Deshalb sind sie symmetrisch zur y-Achse: f = f(x).
Für ihre Nullstellen machst du eine clevere Substitution: Setze z = x², dann wird aus ax⁴ + bx² + c = 0 die einfachere Gleichung az² + bz + c = 0. Nach dem Lösen mit der pq-Formel machst du die Resubstitution: Aus jedem positiven z-Wert werden zwei x-Werte (±√z).
Merkhilfe: Bei biquadratischen Funktionen denkst du einfach: "Ersetze x² durch z und rechne wie gewohnt!"
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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franzi
@franzii.sps
Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zum Benzinverbrauch deines Autos. Du lernst hier, wie du verschiedene Funktionstypen erkennst, ihre Graphen zeichnest und wichtige Eigenschaften berechnest.
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Die Steigung berechnest du mit der Formel m = /. Um eine Geradengleichung zu finden, brauchst du entweder einen Punkt und die Steigung oder zwei Punkte.
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Nullstellen findest du mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √. Eine Parabel kann null, eine oder zwei Nullstellen haben - je nachdem, ob sie die x-Achse schneidet.
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Biquadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax⁴ + bx² + c - sie enthalten nur gerade Potenzen von x. Deshalb sind sie symmetrisch zur y-Achse: f = f(x).
Für ihre Nullstellen machst du eine clevere Substitution: Setze z = x², dann wird aus ax⁴ + bx² + c = 0 die einfachere Gleichung az² + bz + c = 0. Nach dem Lösen mit der pq-Formel machst du die Resubstitution: Aus jedem positiven z-Wert werden zwei x-Werte (±√z).
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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