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Einführung in Funktionsscharen: Parameter und Untersuchung

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Lernzettelby46

24.11.2025

Mathe

Funktionsschar

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

2.309

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24. Nov. 2025

•

1 Seite

Einführung in Funktionsscharen: Parameter und Untersuchung

L

Lernzettelby46

@46.46

Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die sich nur durch einen... Mehr anzeigen

Funktionen mit Parameter Ein Funktionensterm kann außer der Variablen x noch einen Parameter a enthalten Beispiel: fcx)=x²fa (x) = x²+ a Bei

Funktionsscharen - Der Grundbaustein

Funktionsscharen entstehen, wenn du zu einer normalen Funktion einen Parameter (meist $a$) hinzufügst. Stell dir vor: Aus f(x)=x2f(x) = x^2 wird fa(x)=x2+af_a(x) = x^2 + a - und schon hast du unendlich viele Parabeln, die nur vertikal verschoben sind!

Der Parameter aa bestimmt, wie sich die Funktionen unterscheiden. Bei fa(x)=x2+af_a(x) = x^2 + a bekommst du für a=2a = 2 eine um 2 Einheiten nach oben verschobene Parabel, für a=−1a = -1 eine um 1 Einheit nach unten verschobene.

Wichtiger Tipp: Im Taschenrechner gibst du Funktionsscharen so ein: fa(x)=x2+a∣1,3f_a(x) = x^2 + {a \mid 1, 3} - damit siehst du mehrere Funktionen gleichzeitig.

💡 Merke dir: Parameter verändern die Form oder Position der Grundfunktion - wie verschiedene Einstellungen am gleichen Gerät!

Untersuchung von Funktionsscharen

Die Nullstellen einer Funktionsschar findest du genauso wie bei normalen Funktionen - nur dass dein Ergebnis den Parameter aa enthält. Bei fa(x)=ax3−x2f_a(x) = ax^3 - x^2 ergeben sich die Nullstellen x=0x = 0 und x=1ax = \frac{1}{a}.

Für Extremstellen bildest du die erste Ableitung und setzt sie gleich null. Das Besondere: Deine Extrempunkte hängen vom Parameter ab! Der Tiefpunkt liegt dann bei (23a∣−427a2)(\frac{2}{3a} \mid -\frac{4}{27a^2}).

Je größer aa wird, desto näher rückt der Extrempunkt zum Ursprung - das ist die Dynamik von Funktionsscharen, die sie so spannend macht.

💡 Praxis-Tipp: Setze verschiedene aa-Werte ein, um ein Gefühl für die Veränderungen zu bekommen!

Gemeinsame Punkte finden

Gemeinsame Punkte verschiedener Funktionen einer Schar findest du durch den Ansatz fa1(x)=fa2(x)f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x). Das führt meist zu einer Gleichung, die entweder a1=a2a_1 = a_2 ergibt (uninteressant) oder zu konkreten xx-Werten.

Bei fa(x)=x3−ax2−x+af_a(x) = x^3 - ax^2 - x + a ergeben sich die gemeinsamen Punkte bei x=1x = 1 und x=−1x = -1 - egal welchen Parameter du wählst! Diese Punkte sind wie Fixsterne, um die sich alle Funktionen der Schar bewegen.

Mit dem Taschenrechner geht's schneller: Du verwendest den "Solve"-Befehl für f(1∣x)=f(2∣x)f(1 \mid x) = f(2 \mid x) und bekommst direkt die Lösungen.

💡 Aha-Moment: Gemeinsame Punkte zeigen dir, wo sich alle Funktionen einer Schar "treffen" - unabhängig vom Parameter!

Ortskurven - Die Spur der Extrempunkte

Eine Ortskurve verbindet alle gleichartigen besonderen Punkte einer Funktionsschar - wie eine Straße, auf der alle Tiefpunkte liegen. Du findest sie in drei Schritten:

Zuerst bestimmst du den besonderen Punkt in Abhängigkeit von aa, zum Beispiel TP(23a∣−427a2)TP(\frac{2}{3a} \mid -\frac{4}{27a^2}). Dann löst du die xx-Koordinate nach aa auf: a=2x3a = \frac{2x}{3}.

Schließlich setzt du diesen Ausdruck in die yy-Koordinate ein und erhältst die Ortskurve g(x)=−1627x2g(x) = -\frac{16}{27x^2}. Diese Funktion beschreibt den Weg aller Tiefpunkte!

💡 Visualisierung: Stell dir vor, du verfolgst den Tiefpunkt, während sich der Parameter ändert - die Ortskurve ist sein Pfad!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Einführung in Funktionsscharen: Parameter und Untersuchung

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Lernzettelby46

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Funktionsscharen sind Familien von Funktionen, die sich nur durch einen Parameter unterscheiden - wie eine Sammlung ähnlicher Funktionen mit kleinen Variationen. Du lernst hier, wie du diese systematisch untersuchst und ihre besonderen Eigenschaften findest.

Funktionen mit Parameter Ein Funktionensterm kann außer der Variablen x noch einen Parameter a enthalten Beispiel: fcx)=x²fa (x) = x²+ a Bei

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Funktionsscharen - Der Grundbaustein

Funktionsscharen entstehen, wenn du zu einer normalen Funktion einen Parameter (meist $a$) hinzufügst. Stell dir vor: Aus f(x)=x2f(x) = x^2 wird fa(x)=x2+af_a(x) = x^2 + a - und schon hast du unendlich viele Parabeln, die nur vertikal verschoben sind!

Der Parameter aa bestimmt, wie sich die Funktionen unterscheiden. Bei fa(x)=x2+af_a(x) = x^2 + a bekommst du für a=2a = 2 eine um 2 Einheiten nach oben verschobene Parabel, für a=−1a = -1 eine um 1 Einheit nach unten verschobene.

Wichtiger Tipp: Im Taschenrechner gibst du Funktionsscharen so ein: fa(x)=x2+a∣1,3f_a(x) = x^2 + {a \mid 1, 3} - damit siehst du mehrere Funktionen gleichzeitig.

💡 Merke dir: Parameter verändern die Form oder Position der Grundfunktion - wie verschiedene Einstellungen am gleichen Gerät!

Untersuchung von Funktionsscharen

Die Nullstellen einer Funktionsschar findest du genauso wie bei normalen Funktionen - nur dass dein Ergebnis den Parameter aa enthält. Bei fa(x)=ax3−x2f_a(x) = ax^3 - x^2 ergeben sich die Nullstellen x=0x = 0 und x=1ax = \frac{1}{a}.

Für Extremstellen bildest du die erste Ableitung und setzt sie gleich null. Das Besondere: Deine Extrempunkte hängen vom Parameter ab! Der Tiefpunkt liegt dann bei (23a∣−427a2)(\frac{2}{3a} \mid -\frac{4}{27a^2}).

Je größer aa wird, desto näher rückt der Extrempunkt zum Ursprung - das ist die Dynamik von Funktionsscharen, die sie so spannend macht.

💡 Praxis-Tipp: Setze verschiedene aa-Werte ein, um ein Gefühl für die Veränderungen zu bekommen!

Gemeinsame Punkte finden

Gemeinsame Punkte verschiedener Funktionen einer Schar findest du durch den Ansatz fa1(x)=fa2(x)f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x). Das führt meist zu einer Gleichung, die entweder a1=a2a_1 = a_2 ergibt (uninteressant) oder zu konkreten xx-Werten.

Bei fa(x)=x3−ax2−x+af_a(x) = x^3 - ax^2 - x + a ergeben sich die gemeinsamen Punkte bei x=1x = 1 und x=−1x = -1 - egal welchen Parameter du wählst! Diese Punkte sind wie Fixsterne, um die sich alle Funktionen der Schar bewegen.

Mit dem Taschenrechner geht's schneller: Du verwendest den "Solve"-Befehl für f(1∣x)=f(2∣x)f(1 \mid x) = f(2 \mid x) und bekommst direkt die Lösungen.

💡 Aha-Moment: Gemeinsame Punkte zeigen dir, wo sich alle Funktionen einer Schar "treffen" - unabhängig vom Parameter!

Ortskurven - Die Spur der Extrempunkte

Eine Ortskurve verbindet alle gleichartigen besonderen Punkte einer Funktionsschar - wie eine Straße, auf der alle Tiefpunkte liegen. Du findest sie in drei Schritten:

Zuerst bestimmst du den besonderen Punkt in Abhängigkeit von aa, zum Beispiel TP(23a∣−427a2)TP(\frac{2}{3a} \mid -\frac{4}{27a^2}). Dann löst du die xx-Koordinate nach aa auf: a=2x3a = \frac{2x}{3}.

Schließlich setzt du diesen Ausdruck in die yy-Koordinate ein und erhältst die Ortskurve g(x)=−1627x2g(x) = -\frac{16}{27x^2}. Diese Funktion beschreibt den Weg aller Tiefpunkte!

💡 Visualisierung: Stell dir vor, du verfolgst den Tiefpunkt, während sich der Parameter ändert - die Ortskurve ist sein Pfad!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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