Effektive Funktionsuntersuchung: Lernzettel zum Verständnis

Funktionsuntersuchung einer kubischen Funktion

Stell dir vor, du musst die Funktion f$x$ = x³ - 7,5x² + 12x + 2,5 komplett untersuchen. Das klingt erstmal kompliziert, aber mit dem richtigen System kriegst du das easy hin!

Als erstes checkst du den Globalverlauf: Die Funktion hat keine Symmetrie und vier Nullstellen. Das ist schon mal wichtig für deine spätere Skizze.

Die Ableitungen sind dein Werkzeug: f'$x$ = 3x² - 15x + 12, f''$x$ = 6x - 15 und f'''$x$ = 6. Diese brauchst du für alle weiteren Berechnungen.

💡 Tipp: Rechne die Ableitungen gleich am Anfang aus - du brauchst sie für Extremstellen UND Wendestellen!

Für die Extremstellen setzt du f'$x$ = 0 und löst mit der pq-Formel: Du bekommst x₁ = 1 und x₂ = 4. Dann berechnest du die y-Koordinaten und checkst mit f''$x$, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind. Ergebnis: Hochpunkt H(1|8) und Tiefpunkt T$4|-5,5$.

Bei Wendestellen setzt du f''$x$ = 0: Das gibt dir x = 2,5. Da f'''$x$ ≠ 0 ist, hast du wirklich einen Wendepunkt bei W(2,5|1,25). Mit diesen Punkten kannst du jetzt eine saubere Skizze zeichnen!