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celine
28.11.2025
Mathe
Ganzrationale Funktionen
541
•
28. Nov. 2025
•
celine
@celine.mai
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Oberstufe -... Mehr anzeigen
Das Ableiten ganzrationaler Funktionen funktioniert mit ein paar einfachen Regeln, die du schnell draufhast. Konstanten werden zu null, Faktoren bleiben stehen, und bei der Potenzregel wandert der Exponent nach vorn und wird um eins kleiner.
Die wichtigsten Regeln im Überblick: f(x) = C → f'(x) = 0, f(x) = c·g(x) → f'(x) = c·g'(x), und f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.
Extremstellen findest du in zwei Schritten: Erst setzt du f'(x) = 0 (notwendige Bedingung), dann prüfst du mit f''(x₀) ≠ 0 (hinreichende Bedingung). Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt; ist f''(x₀) < 0, einen Hochpunkt.
Falls die zweite Ableitung auch null wird, nutzt du das Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f'(x) das Vorzeichen um x₀, liegt eine Extremstelle vor.
Tipp: Dein Taschenrechner kann Nullstellen und Extremstellen direkt berechnen - nutze das zur Kontrolle!
Wendepunkte sind die Stellen, wo eine Kurve von links- zu rechtsgekrümmt wechselt (oder umgekehrt). Du erkennst sie daran, dass dort f''(x) = 0 ist und die Krümmung ihr Vorzeichen ändert.
Die Berechnung läuft ähnlich wie bei Extremstellen: Setze f''(x) = 0 und prüfe mit f'''(x₀) ≠ 0. Die Wendetangente ist einfach die Tangente im Wendepunkt - ihre Steigung ist f'(x₀).
Extremwertaufgaben begegnest du oft im echten Leben: Wie groß muss ein Rechteck sein, damit seine Fläche maximal wird? Der Trick ist, eine Hauptbedingung (was soll optimal werden?) und Nebenbedingungen (welche Einschränkungen gibt es?) aufzustellen.
Dann formst du alles zu einer Zielfunktion mit nur einer Variable um und suchst deren Extremstellen. Vergiss nicht, auch die Randwerte zu prüfen!
Merke: Bei Kontextaufgaben entspricht die erste Ableitung oft einer Geschwindigkeit, die zweite einer Beschleunigung.
Bei Steckbriefaufgaben ist die Funktion unbekannt, aber du bekommst Hinweise wie "geht durch Punkt (2|5)" oder "hat bei x = 1 eine Extremstelle". Daraus musst du die komplette Funktionsgleichung basteln.
Der Fahrplan ist simpel: Überlege dir den Grad der Funktion, stelle eine allgemeine Gleichung auf , und übersetze alle gegebenen Informationen in Gleichungen. Für eine Funktion n-ten Grades brauchst du n+1 Gleichungen.
Dann löst du das lineare Gleichungssystem - entweder von Hand oder mit dem Taschenrechner. Dein TR kann das mit der Matrix-Funktion und "Rref" automatisch machen.
Sprung- und knickfreie Übergänge sind wichtig, wenn zwei Funktionen nahtlos ineinander übergehen sollen (wie bei Straßenplanungen). Sprungfrei bedeutet f(xₚ) = g(xₚ), knickfrei zusätzlich f'(xₚ) = g'(xₚ).
Praxis-Tipp: Nutze Symmetrie-Eigenschaften! Wenn eine Funktion nur durch den Ursprung geht, kannst du oft Parameter direkt bestimmen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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celine
@celine.mai
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Oberstufe - du lernst hier, wie du sie ableitest, ihre besonderen Punkte findest und sogar komplett unbekannte Funktionen durch gegebene Informationen bestimmst. Diese Werkzeuge brauchst du nicht nur für Klausuren, sondern auch... Mehr anzeigen
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Das Ableiten ganzrationaler Funktionen funktioniert mit ein paar einfachen Regeln, die du schnell draufhast. Konstanten werden zu null, Faktoren bleiben stehen, und bei der Potenzregel wandert der Exponent nach vorn und wird um eins kleiner.
Die wichtigsten Regeln im Überblick: f(x) = C → f'(x) = 0, f(x) = c·g(x) → f'(x) = c·g'(x), und f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Bei Summen leitest du jeden Term einzeln ab.
Extremstellen findest du in zwei Schritten: Erst setzt du f'(x) = 0 (notwendige Bedingung), dann prüfst du mit f''(x₀) ≠ 0 (hinreichende Bedingung). Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt; ist f''(x₀) < 0, einen Hochpunkt.
Falls die zweite Ableitung auch null wird, nutzt du das Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f'(x) das Vorzeichen um x₀, liegt eine Extremstelle vor.
Tipp: Dein Taschenrechner kann Nullstellen und Extremstellen direkt berechnen - nutze das zur Kontrolle!
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Wendepunkte sind die Stellen, wo eine Kurve von links- zu rechtsgekrümmt wechselt (oder umgekehrt). Du erkennst sie daran, dass dort f''(x) = 0 ist und die Krümmung ihr Vorzeichen ändert.
Die Berechnung läuft ähnlich wie bei Extremstellen: Setze f''(x) = 0 und prüfe mit f'''(x₀) ≠ 0. Die Wendetangente ist einfach die Tangente im Wendepunkt - ihre Steigung ist f'(x₀).
Extremwertaufgaben begegnest du oft im echten Leben: Wie groß muss ein Rechteck sein, damit seine Fläche maximal wird? Der Trick ist, eine Hauptbedingung (was soll optimal werden?) und Nebenbedingungen (welche Einschränkungen gibt es?) aufzustellen.
Dann formst du alles zu einer Zielfunktion mit nur einer Variable um und suchst deren Extremstellen. Vergiss nicht, auch die Randwerte zu prüfen!
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Der Fahrplan ist simpel: Überlege dir den Grad der Funktion, stelle eine allgemeine Gleichung auf , und übersetze alle gegebenen Informationen in Gleichungen. Für eine Funktion n-ten Grades brauchst du n+1 Gleichungen.
Dann löst du das lineare Gleichungssystem - entweder von Hand oder mit dem Taschenrechner. Dein TR kann das mit der Matrix-Funktion und "Rref" automatisch machen.
Sprung- und knickfreie Übergänge sind wichtig, wenn zwei Funktionen nahtlos ineinander übergehen sollen (wie bei Straßenplanungen). Sprungfrei bedeutet f(xₚ) = g(xₚ), knickfrei zusätzlich f'(xₚ) = g'(xₚ).
Praxis-Tipp: Nutze Symmetrie-Eigenschaften! Wenn eine Funktion nur durch den Ursprung geht, kannst du oft Parameter direkt bestimmen.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen und Steckbriefaufgaben. Diese Zusammenfassung bietet Schritt-für-Schritt-Anleitungen, Beispielrechnungen und wichtige Konzepte wie Ableitungen, Wendepunkte und Gleichungssysteme. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheDiese zentrale Klausur aus dem Jahr 2019 behandelt Themen der Differentialrechnung, Graphen und Stochastik. Sie enthält Aufgaben zur Momentangeschwindigkeit, Ableitungen und Transformationen von Funktionen, sowie Lösungen und Modellantworten. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen in der Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe.
MatheDiese Klausur behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen, Ableitungen, Extrempunkten und Wendepunkten. Sie umfasst sowohl den hilfsmittelfreien als auch den mit Hilfsmitteln durchgeführten Teil. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen in Mathematik vorbereiten. Themen: Differentialquotient, Kurvenverhalten, Anwendung der Differenzierung, und Gleichungssysteme.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Aspekte der Funktionsanalyse, einschließlich Definitions- und Wertebereich, Symmetrie, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Monotonie, Asymptoten, Schnittpunkte, Tangenten und Normale. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht für die Vorbereitung auf das Abitur und ist ideal für Studierende, die sich auf die Analyse von Funktionen konzentrieren möchten.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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