Grundlagen gebrochen-rationaler Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen erkennst du sofort: Sie haben die Form f(x) = p(x)/q(x), wobei p(x) und q(x) Polynome sind. Das Wichtigste? Das x steht im Nenner!

Die allgemeine Form sieht so aus: f(x) = a/$x+b$ + c. Jeder Parameter hat eine klare Aufgabe: a streckt den Graphen in y-Richtung (bei negativem a wird zusätzlich gespiegelt), b verschiebt horizontal $Achtung: +b bedeutet Verschiebung nach links!$, und c verschiebt vertikal.

Bei der Untersuchung solcher Funktionen gehst du systematisch vor. Zuerst bestimmst du die Definitionsmenge: Setze den Nenner gleich null - diese Stellen sind tabu! Dann suchst du die Nullstellen, indem du den Zähler null setzt.

💡 Merktipp: Nenner = 0 → senkrechte Asymptote, Zähler = 0 → Nullstelle

Asymptoten und besondere Eigenschaften

Waagrechte Asymptoten findest du durch Vergleich der Exponenten von Zähler und Nenner. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad? Dann ist y = 0 deine waagrechte Asymptote. Bei gleichen Graden teilst du die Koeffizienten der höchsten Potenzen.

Schräge Asymptoten entstehen, wenn der Zählergrad um genau 1 größer ist als der Nennergrad. Hier machst du eine Polynomdivision und erhältst eine Funktion der Form f(x) = mx + t + Rest/Nenner.

Polstellen sind Definitionslücken, bei denen der Funktionswert gegen unendlich geht. Bei ungerader Ordnung wechselt das Vorzeichen, bei gerader nicht - das ist wichtig für den Graphenverlauf!

Vorsicht vor unecht gebrochen-rationalen Funktionen! Diese sehen aus wie normale gebrochen-rationale Funktionen, aber nach dem Kürzen verschwindet das x im Nenner komplett.

💡 Prüftipp: Immer erst kürzen! Manchmal entpuppt sich eine vermeintlich komplizierte Funktion als einfache Polynomfunktion.