Geraden in der Mathematik

Parameterform von Geraden

Die Parameterform ist dein Werkzeug, um jede Gerade im Raum zu beschreiben: $\vec{x}$ = $\vec{p}$ + r $\cdot$ $\vec{u}$. Der Stützvektor $\vec{p}$ ist ein fester Punkt auf der Geraden, der Richtungsvektor $\vec{u}$ zeigt dir, wohin die Gerade läuft.

Um Punkte auf der Geraden zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für r ein. Bei r = 0 bekommst du den Stützpunkt zurück, bei r = 1 gehst du einmal den Richtungsvektor weiter.

Willst du überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, gleichst du die Koordinaten mit der Parameterform ab. Bekommst du für alle drei Gleichungen den gleichen r-Wert, liegt der Punkt auf der Geraden - sonst nicht!

Tipp: Der Parameter r kann auch negativ sein - dann gehst du in die entgegengesetzte Richtung!

Parametergleichung aufstellen und Geradenlage

Aus zwei Punkten A und B erstellst du eine Parametergleichung: Nimm einen Punkt als Stützvektor und berechne den Richtungsvektor durch $\vec{AB}$ = $\vec{b}$ - $\vec{a}$.

Bei der Lage von Geraden gibt es vier Möglichkeiten: identisch (gleiche Punkte), parallel (verschoben), schneidend (ein gemeinsamer Punkt) oder windschief (keine Gemeinsamkeiten).

Der Trick: Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Falls ja, mache eine Punktprobe - liegt ein Punkt der einen Geraden auf der anderen? Dann sind sie identisch, sonst parallel.

Falls die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind, gleichsetzen: Gibt's eine Lösung, schneiden sie sich. Keine Lösung bedeutet windschief.

Merkhilfe: Windschief gibt's nur im 3D-Raum - in der Ebene sind Geraden entweder parallel oder schneidend!

Orthogonale Geraden und Winkel

Orthogonale Geraden schneiden sich im rechten Winkel (90°). Um das zu prüfen, rechnest du das Skalarprodukt der Richtungsvektoren aus - ist es null, sind die Geraden orthogonal.

Für beliebige Winkel zwischen Geraden nutzt du die Formel: cos(α) = $\frac{\vec{u₁} \cdot \vec{u₂}}{|\vec{u₁}| \cdot |\vec{u₂}|}$. Dann rechnest du mit arccos den Winkel aus.

Den Abstand zwischen zwei Punkten auf verschiedenen Geraden berechnest du mit der bekannten Abstandsformel: d = $\sqrt{(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²}$.

Achtung: Die Winkelformel gibt dir immer einen Wert zwischen 0° und 180° - das ist der kleinere der beiden möglichen Winkel!

Geradenlage systematisch bestimmen

Hier wird's systematisch: Zuerst checkst du die Richtungsvektoren - sind sie Vielfache voneinander? Falls ja, Punktprobe machen: Setze einen beliebigen Punkt der ersten Geraden in die zweite ein.

Bei der Punktprobe musst du für alle Koordinaten den gleichen Parameter-Wert bekommen. Klappt das, sind die Geraden identisch - sonst parallel.

Sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen, gleichst du die beiden Parametergleichungen. Das ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Hat das System eine eindeutige Lösung, schneiden sich die Geraden in einem Punkt. Keine Lösung bedeutet, sie sind windschief und haben überhaupt nichts gemeinsam.

Pro-Tipp: Nutze deinen GTR für das Gleichungssystem - das spart Zeit und Rechenfehler!