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Mathematik

Polarkoordinaten und Kurven

parametrische Gleichungen

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25. Dez. 2025

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Geraden in der Mathematik

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nora

@nora_aqgn

Du kennst schon lineare Funktionen, aber jetzt wird's dreidimensional! Geraden... Mehr anzeigen

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# Geraden Geraden: parameterform: $\vec{X} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ Richtungsvektor $\vec{p}$: immer ein Ortsvektor ↳ Stützvektor ↳

Parameterform von Geraden

Die Parameterform ist dein Werkzeug, um jede Gerade im Raum zu beschreiben: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}. Der Stützvektor \vec{p} ist ein fester Punkt auf der Geraden, der Richtungsvektor \vec{u} zeigt dir, wohin die Gerade läuft.

Um Punkte auf der Geraden zu finden, setzt du einfach verschiedene Werte für r ein. Bei r = 0 bekommst du den Stützpunkt zurück, bei r = 1 gehst du einmal den Richtungsvektor weiter.

Willst du überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, gleichst du die Koordinaten mit der Parameterform ab. Bekommst du für alle drei Gleichungen den gleichen r-Wert, liegt der Punkt auf der Geraden - sonst nicht!

Tipp: Der Parameter r kann auch negativ sein - dann gehst du in die entgegengesetzte Richtung!

# Geraden Geraden: parameterform: $\vec{X} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ Richtungsvektor $\vec{p}$: immer ein Ortsvektor ↳ Stützvektor ↳

Parametergleichung aufstellen und Geradenlage

Aus zwei Punkten A und B erstellst du eine Parametergleichung: Nimm einen Punkt als Stützvektor und berechne den Richtungsvektor durch \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}.

Bei der Lage von Geraden gibt es vier Möglichkeiten: identisch (gleiche Punkte), parallel (verschoben), schneidend (ein gemeinsamer Punkt) oder windschief (keine Gemeinsamkeiten).

Der Trick: Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Falls ja, mache eine Punktprobe - liegt ein Punkt der einen Geraden auf der anderen? Dann sind sie identisch, sonst parallel.

Falls die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind, gleichsetzen: Gibt's eine Lösung, schneiden sie sich. Keine Lösung bedeutet windschief.

Merkhilfe: Windschief gibt's nur im 3D-Raum - in der Ebene sind Geraden entweder parallel oder schneidend!

# Geraden Geraden: parameterform: $\vec{X} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ Richtungsvektor $\vec{p}$: immer ein Ortsvektor ↳ Stützvektor ↳

Orthogonale Geraden und Winkel

Orthogonale Geraden schneiden sich im rechten Winkel (90°). Um das zu prüfen, rechnest du das Skalarprodukt der Richtungsvektoren aus - ist es null, sind die Geraden orthogonal.

Für beliebige Winkel zwischen Geraden nutzt du die Formel: cos(α) = \frac{\vec{u₁} \cdot \vec{u₂}}{|\vec{u₁}| \cdot |\vec{u₂}|}. Dann rechnest du mit arccos den Winkel aus.

Den Abstand zwischen zwei Punkten auf verschiedenen Geraden berechnest du mit der bekannten Abstandsformel: d = \sqrt{x2−x1x₂-x₁² + y2−y1y₂-y₁² + z2−z1z₂-z₁²}.

Achtung: Die Winkelformel gibt dir immer einen Wert zwischen 0° und 180° - das ist der kleinere der beiden möglichen Winkel!

# Geraden Geraden: parameterform: $\vec{X} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ Richtungsvektor $\vec{p}$: immer ein Ortsvektor ↳ Stützvektor ↳

Geradenlage systematisch bestimmen

Hier wird's systematisch: Zuerst checkst du die Richtungsvektoren - sind sie Vielfache voneinander? Falls ja, Punktprobe machen: Setze einen beliebigen Punkt der ersten Geraden in die zweite ein.

Bei der Punktprobe musst du für alle Koordinaten den gleichen Parameter-Wert bekommen. Klappt das, sind die Geraden identisch - sonst parallel.

Sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen, gleichst du die beiden Parametergleichungen. Das ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Hat das System eine eindeutige Lösung, schneiden sich die Geraden in einem Punkt. Keine Lösung bedeutet, sie sind windschief und haben überhaupt nichts gemeinsam.

Pro-Tipp: Nutze deinen GTR für das Gleichungssystem - das spart Zeit und Rechenfehler!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Geraden in der Mathematik

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Du kennst schon lineare Funktionen, aber jetzt wird's dreidimensional! Geraden im Raum funktionieren mit Vektoren und ermöglichen es dir, Linien in alle Richtungen zu beschreiben - nicht nur auf dem Papier, sondern auch durch den Raum hindurch.

# Geraden Geraden: parameterform: $\vec{X} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ Richtungsvektor $\vec{p}$: immer ein Ortsvektor ↳ Stützvektor ↳

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Parameterform von Geraden

Die Parameterform ist dein Werkzeug, um jede Gerade im Raum zu beschreiben: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}. Der Stützvektor \vec{p} ist ein fester Punkt auf der Geraden, der Richtungsvektor \vec{u} zeigt dir, wohin die Gerade läuft.

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Tipp: Der Parameter r kann auch negativ sein - dann gehst du in die entgegengesetzte Richtung!

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integralrechnung Grundlagen

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Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Lineare Funktionen verstehen

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Anna

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Lena M

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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