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16. Dez. 2025
•
Geli
@angelikarth
Die analytische Geometrie beschäftigt sich mit Geraden und Ebenen im... Mehr anzeigen
Vektoren sind wie Pfeile im Raum - sie haben eine Richtung und eine Länge. Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, während der Betrag die Länge eines Vektors angibt.
Eine Geradengleichung hat die Form g: x⃗ = p⃗ + t · u⃗, wobei p⃗ der Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden) und u⃗ der Richtungsvektor ist. Der Parameter t kann jeden beliebigen Wert annehmen.
Um herauszufinden, wie zwei Geraden zueinander liegen, prüft ihr zuerst: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Falls ja, macht ihr eine Punktprobe - liegt ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen? Falls nein, setzt ihr die Geraden gleich und löst das Gleichungssystem.
Merktipp: Windschief bedeutet, dass sich die Geraden nicht schneiden UND nicht parallel sind - das gibt's nur im 3D-Raum!
Mögliche Lagen: identisch (gleiche Gerade), echt parallel (parallel, aber verschieden), sich schneidend oder windschief.
Eine Ebene wird durch drei Punkte eindeutig bestimmt. Die Parametergleichung lautet E: x⃗ = p⃗ + t · u⃗ + s · v⃗, wobei u⃗ und v⃗ die Spannvektoren sind (dürfen keine Vielfachen sein!).
Es gibt vier Möglichkeiten, eine Ebene zu erstellen: durch drei Punkte, eine Gerade und einen Punkt, zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden. In jedem Fall braucht ihr einen Stützvektor und zwei Spannvektoren.
Das Skalarprodukt ist mega wichtig: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
Pro-Tipp: Das Skalarprodukt hilft euch, Normalenvektoren zu finden!
Die Normalenform E: · n⃗ = 0 nutzt den Normalenvektor n⃗, der senkrecht zur Ebene steht. Daraus könnt ihr die Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ableiten.
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist euer Werkzeug, um Normalenvektoren zu berechnen. Wenn ihr zwei Spannvektoren habt, gibt euch n⃗ = u⃗ × v⃗ einen Vektor, der senkrecht zu beiden steht.
Ihr könnt zwischen den drei Ebenenformen hin- und herwechseln: Parameterform ↔ Normalenform ↔ Koordinatenform. Vom Parameter zur Koordinatenform: Vektorprodukt der Spannvektoren bilden, dann d durch Skalarprodukt bestimmen.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Setzt zwei Koordinaten gleich null und löst nach der dritten auf. Diese Punkte helfen beim Zeichnen der Ebene.
Zeichentrick: Verbindet die Spurpunkte zu Spurgeraden - so visualisiert ihr die Ebene!
Wenn alle drei Spurpunkte existieren, schneidet die Ebene alle Achsen. Fehlen Spurpunkte, verläuft die Ebene parallel zu einer oder mehreren Achsen.
Um die Lage einer Gerade g zu einer Ebene E zu bestimmen, berechnet ihr das Skalarprodukt aus Richtungsvektor u⃗ und Normalenvektor n⃗.
Ist u⃗ · n⃗ ≠ 0, schneiden sich Gerade und Ebene. Setzt die Gerade in die Ebenengleichung ein und löst nach t auf. Dann setzt ihr t zurück in die Geradengleichung für den Durchstoßpunkt.
Ist u⃗ · n⃗ = 0, sind Gerade und Ebene parallel. Jetzt prüft ihr mit einer Punktprobe: Liegt der Stützvektor der Geraden in der Ebene? Falls ja, liegt die Gerade komplett in der Ebene. Falls nein, sind sie echt parallel.
Schnellcheck: Orthogonal stehen Gerade und Ebene, wenn u⃗ und n⃗ Vielfache sind!
Beim Zeichnen von Ebenen bestimmt ihr die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Achsen) und verbindet diese zu Spurgeraden. Das gibt euch ein Dreieck oder Parallelogramm als Ebenenausschnitt.
Zwei Ebenen können sich auf drei Arten verhalten: Sie schneiden sich, sind identisch oder echt parallel. Prüft zuerst: Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander?
Falls nein, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden. Löst das Gleichungssystem der beiden Ebenengleichungen mit einem Parameter .
Falls die Normalenvektoren Vielfache sind, prüft ihr die Äquivalenz der Gleichungen. Identische Ebenen haben äquivalente Gleichungen, echt parallele nicht.
Abstandsformel: d(E;P) = |ax₁ + bx₂ + cx₃ - d|/√
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet ihr mit der Hesse'schen Normalenform. Bei der Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d setzt ihr die Punktkoordinaten ein und teilt durch die Länge des Normalenvektors. Alternativ bestimmt ihr den Lotfußpunkt über die Lotgerade.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Geli
@angelikarth
Die analytische Geometrie beschäftigt sich mit Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum - und das ist viel weniger kompliziert, als es klingt! Mit Vektoren könnt ihr räumliche Objekte mathematisch beschreiben und ihre Beziehungen zueinander verstehen.
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Vektoren sind wie Pfeile im Raum - sie haben eine Richtung und eine Länge. Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, während der Betrag die Länge eines Vektors angibt.
Eine Geradengleichung hat die Form g: x⃗ = p⃗ + t · u⃗, wobei p⃗ der Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden) und u⃗ der Richtungsvektor ist. Der Parameter t kann jeden beliebigen Wert annehmen.
Um herauszufinden, wie zwei Geraden zueinander liegen, prüft ihr zuerst: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Falls ja, macht ihr eine Punktprobe - liegt ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen? Falls nein, setzt ihr die Geraden gleich und löst das Gleichungssystem.
Merktipp: Windschief bedeutet, dass sich die Geraden nicht schneiden UND nicht parallel sind - das gibt's nur im 3D-Raum!
Mögliche Lagen: identisch (gleiche Gerade), echt parallel (parallel, aber verschieden), sich schneidend oder windschief.
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Eine Ebene wird durch drei Punkte eindeutig bestimmt. Die Parametergleichung lautet E: x⃗ = p⃗ + t · u⃗ + s · v⃗, wobei u⃗ und v⃗ die Spannvektoren sind (dürfen keine Vielfachen sein!).
Es gibt vier Möglichkeiten, eine Ebene zu erstellen: durch drei Punkte, eine Gerade und einen Punkt, zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden. In jedem Fall braucht ihr einen Stützvektor und zwei Spannvektoren.
Das Skalarprodukt ist mega wichtig: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
Pro-Tipp: Das Skalarprodukt hilft euch, Normalenvektoren zu finden!
Die Normalenform E: · n⃗ = 0 nutzt den Normalenvektor n⃗, der senkrecht zur Ebene steht. Daraus könnt ihr die Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ableiten.
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Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist euer Werkzeug, um Normalenvektoren zu berechnen. Wenn ihr zwei Spannvektoren habt, gibt euch n⃗ = u⃗ × v⃗ einen Vektor, der senkrecht zu beiden steht.
Ihr könnt zwischen den drei Ebenenformen hin- und herwechseln: Parameterform ↔ Normalenform ↔ Koordinatenform. Vom Parameter zur Koordinatenform: Vektorprodukt der Spannvektoren bilden, dann d durch Skalarprodukt bestimmen.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Setzt zwei Koordinaten gleich null und löst nach der dritten auf. Diese Punkte helfen beim Zeichnen der Ebene.
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Wenn alle drei Spurpunkte existieren, schneidet die Ebene alle Achsen. Fehlen Spurpunkte, verläuft die Ebene parallel zu einer oder mehreren Achsen.
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Um die Lage einer Gerade g zu einer Ebene E zu bestimmen, berechnet ihr das Skalarprodukt aus Richtungsvektor u⃗ und Normalenvektor n⃗.
Ist u⃗ · n⃗ ≠ 0, schneiden sich Gerade und Ebene. Setzt die Gerade in die Ebenengleichung ein und löst nach t auf. Dann setzt ihr t zurück in die Geradengleichung für den Durchstoßpunkt.
Ist u⃗ · n⃗ = 0, sind Gerade und Ebene parallel. Jetzt prüft ihr mit einer Punktprobe: Liegt der Stützvektor der Geraden in der Ebene? Falls ja, liegt die Gerade komplett in der Ebene. Falls nein, sind sie echt parallel.
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Zwei Ebenen können sich auf drei Arten verhalten: Sie schneiden sich, sind identisch oder echt parallel. Prüft zuerst: Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander?
Falls nein, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden. Löst das Gleichungssystem der beiden Ebenengleichungen mit einem Parameter .
Falls die Normalenvektoren Vielfache sind, prüft ihr die Äquivalenz der Gleichungen. Identische Ebenen haben äquivalente Gleichungen, echt parallele nicht.
Abstandsformel: d(E;P) = |ax₁ + bx₂ + cx₃ - d|/√
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet ihr mit der Hesse'schen Normalenform. Bei der Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d setzt ihr die Punktkoordinaten ein und teilt durch die Länge des Normalenvektors. Alternativ bestimmt ihr den Lotfußpunkt über die Lotgerade.
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Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der analytischen Geometrie, einschließlich der Eigenschaften von Vektoren, der Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen sowie der Berechnung von Abständen. Ideal für das Mathe-Abitur in der gymnasialen Oberstufe (NRW).
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MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, Geraden und Ebenen in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Vektoroperationen, Parametergleichungen, orthogonale Vektoren und die Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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