Quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften

Grundlagen der quadratischen Funktionen

Die Normalparabel mit der Gleichung y = x² ist dein Ausgangspunkt für alle quadratischen Funktionen. Ihr Scheitelpunkt liegt bei (0|0) und sie öffnet sich nach oben.

Parabeln erkennst du an ihrer charakteristischen U-Form oder umgekehrten U-Form. Nicht jede gekrümmte Linie ist eine Parabel - achte auf die symmetrische Form!

Die Öffnungsrichtung einer Parabel hängt vom Vorzeichen ab: Steht ein Plus vor x² (wie bei y = 4,2x²), öffnet sich die Parabel nach oben. Bei einem Minus (wie bei y = -7x²) öffnet sie sich nach unten.

Merktipp: Plus = nach oben lächeln, Minus = nach unten traurig sein!

Streckung, Stauchung und Verschiebung von Parabeln

Der Streckfaktor vor x² verändert die Form der Parabel: Werte zwischen 0 und 1 (wie 0,75) stauchen die Parabel und machen sie breiter. Werte größer als 1 (wie 4) strecken sie und machen sie schmaler.

Vertikale Verschiebungen erkennst du an der Zahl am Ende: y = x² + 8 verschiebt die Parabel um 8 nach oben, y = x² - 4 um 4 nach unten.

Bei horizontalen Verschiebungen musst du aufpassen - die Vorzeichen sind umgekehrt! y = $x + 4$² verschiebt nach links, y = $x - 3$² nach rechts.

Die Scheitelpunktform y = $x - e$² + f zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(e|f). Aus y = $x + 1,5$² + 1 liest du ab: S$-1,5|1$.

Praxistipp: Bei horizontalen Verschiebungen immer das Vorzeichen umdrehen!

Quadratische Ergänzung und Nullstellen

Die quadratische Ergänzung wandelt jede quadratische Funktion in die praktische Scheitelpunktform um. Bei y = x² - 8x + 2 nimmst du die Hälfte von -8 $also -4$, quadrierst sie und ergänzt geschickt.

Das Ergebnis y = $x - 4$² - 14 zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S$4|-14$. Diese Methode funktioniert immer und macht Parabeln viel übersichtlicher.

Nullstellen findest du mit der Mitternachtsformel: x₁,₂ = $-b ± √(b² - 4ac)$ / 2a. Bei x² + 10x + 24 = 0 setzt du a = 1, b = 10, c = 24 ein und erhältst die Lösungen x₁ = -4 und x₂ = -6.

Erfolgstrick: Überprüfe deine Nullstellen, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt!