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3.836
•
30. Jan. 2026
•
Victoria 💞
@victoria.22
Grenzwerte und Stetigkeit sind wichtige Konzepte in der Analysis, die... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst wissen, wohin eine Funktion "läuft", wenn x immer größer wird oder sich einer bestimmten Stelle nähert. Genau das zeigen dir Grenzwerte!
Bei ganzrationalen Funktionen ist es super einfach: Das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt, wohin die Funktion für x → ∞ geht. Das Vorzeichen dieses Glieds entscheidet, ob es nach +∞ oder -∞ geht.
Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = u(x)/v(x), also einen Bruch aus zwei Polynomen. Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden! Deshalb musst du immer zuerst den Definitionsbereich bestimmen: D_f = ℝ \ {Nullstellen des Nenners}.
Merktipp: Bei ganzrationalen Funktionen schaue nur auf das Glied mit der höchsten Potenz - der Rest wird für große x-Werte unwichtig!
Hier kommt's auf das Verhältnis der Potenzen an! Vergleiche den Grad n der Zählerfunktion mit dem Grad m der Nennerfunktion.
Fall 1: m > n (Nenner hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist 0, und y = 0 ist eine waagerechte Asymptote. Beispiel: f(x) = x⁴/.
Fall 2: m = n (gleiche Potenzen): Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: lim = aₙ/bₘ. Die Gerade y = aₙ/bₘ ist eine waagerechte Asymptote.
Fall 3: m < n (Zähler hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist ±∞, und es gibt eine schräge Asymptote. Mit dem CAS-Befehl "propfrac" findest du sie.
Pro-Tipp: Schreibe dir die drei Fälle als Merkzettel auf - das spart dir in Klausuren viel Zeit!
An Definitionslücken wird's richtig spannend! Das sind Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist - meist weil der Nenner null wird.
Es gibt zwei Arten: Hebbare Definitionslücken (die Funktion hat nur ein "Loch") und Polstellen (die Funktion schießt gegen ±∞).
So findest du Polstellen: 1) Nullstellen der Zählerfunktion u(x) bestimmen, 2) Nullstellen der Nennerfunktion v(x) bestimmen (mögliche Polstellen), 3) Mögliche Polstellen in u(x) einsetzen. Ist u(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Polstelle. Ist u(x₀) = 0, dann ist es eine hebbare Definitionslücke.
An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten der Form x = x₀. Die Funktion wird dort unendlich groß oder klein.
Achtung: Eine Nullstelle des Nenners ist nur dann eine Polstelle, wenn der Zähler an dieser Stelle nicht auch null wird!
Polstellen mit Vorzeichenwechsel: Die Funktion springt von +∞ zu -∞ (oder umgekehrt). Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0. Links der Polstelle geht's nach -∞, rechts nach +∞.
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel: Die Funktion geht auf beiden Seiten in die gleiche Richtung. Beispiel: f(x) = -1/x² bei x = 0. Sowohl von links als auch von rechts geht's nach -∞.
Die Art der Polstelle hängt davon ab, ob der Faktor eine gerade oder ungerade Potenz hat. Ungerade Potenzen → Vorzeichenwechsel, gerade Potenzen → kein Vorzeichenwechsel.
Bei hebbaren Definitionslücken kannst du den gemeinsamen Faktor wegkürzen. Die Funktion verhält sich fast "normal", hat nur ein kleines Loch im Graphen.
Visualisierungstipp: Zeichne dir kleine Pfeile an Polstellen - das hilft dir beim Verstehen der Richtungen!
Eine Funktion ist stetig an einer Stelle x₀, wenn du ihren Graphen dort "ohne Absetzen" zeichnen kannst. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
Ganzrationale Funktionen sind immer stetig - super praktisch! Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du genauer hinschauen.
Für Stetigkeit müssen drei Bedingungen erfüllt sein: 1) Der linksseitige Grenzwert gₗ existiert, 2) Der rechtsseitige Grenzwert gᵣ existiert, 3) Beide sind gleich dem Funktionswert: gₗ = gᵣ = f(x₀).
Bei hebbaren Definitionslücken existiert zwar der Grenzwert, aber die Funktion ist trotzdem nicht stetig, weil f(x₀) nicht definiert ist.
Merkregel: Stetig = "ohne Absetzen zeichenbar". Wenn du den Stift abheben musst, ist die Funktion nicht stetig!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Victoria 💞
@victoria.22
Grenzwerte und Stetigkeit sind wichtige Konzepte in der Analysis, die dir helfen zu verstehen, wie sich Funktionen verhalten - besonders an "kritischen" Stellen. Du lernst hier, wie sich Funktionen im Unendlichen verhalten und was an Definitionslücken passiert.
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Stell dir vor, du willst wissen, wohin eine Funktion "läuft", wenn x immer größer wird oder sich einer bestimmten Stelle nähert. Genau das zeigen dir Grenzwerte!
Bei ganzrationalen Funktionen ist es super einfach: Das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt, wohin die Funktion für x → ∞ geht. Das Vorzeichen dieses Glieds entscheidet, ob es nach +∞ oder -∞ geht.
Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = u(x)/v(x), also einen Bruch aus zwei Polynomen. Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden! Deshalb musst du immer zuerst den Definitionsbereich bestimmen: D_f = ℝ \ {Nullstellen des Nenners}.
Merktipp: Bei ganzrationalen Funktionen schaue nur auf das Glied mit der höchsten Potenz - der Rest wird für große x-Werte unwichtig!
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Hier kommt's auf das Verhältnis der Potenzen an! Vergleiche den Grad n der Zählerfunktion mit dem Grad m der Nennerfunktion.
Fall 1: m > n (Nenner hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist 0, und y = 0 ist eine waagerechte Asymptote. Beispiel: f(x) = x⁴/.
Fall 2: m = n (gleiche Potenzen): Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: lim = aₙ/bₘ. Die Gerade y = aₙ/bₘ ist eine waagerechte Asymptote.
Fall 3: m < n (Zähler hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist ±∞, und es gibt eine schräge Asymptote. Mit dem CAS-Befehl "propfrac" findest du sie.
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An Definitionslücken wird's richtig spannend! Das sind Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist - meist weil der Nenner null wird.
Es gibt zwei Arten: Hebbare Definitionslücken (die Funktion hat nur ein "Loch") und Polstellen (die Funktion schießt gegen ±∞).
So findest du Polstellen: 1) Nullstellen der Zählerfunktion u(x) bestimmen, 2) Nullstellen der Nennerfunktion v(x) bestimmen (mögliche Polstellen), 3) Mögliche Polstellen in u(x) einsetzen. Ist u(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Polstelle. Ist u(x₀) = 0, dann ist es eine hebbare Definitionslücke.
An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten der Form x = x₀. Die Funktion wird dort unendlich groß oder klein.
Achtung: Eine Nullstelle des Nenners ist nur dann eine Polstelle, wenn der Zähler an dieser Stelle nicht auch null wird!
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Polstellen mit Vorzeichenwechsel: Die Funktion springt von +∞ zu -∞ (oder umgekehrt). Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0. Links der Polstelle geht's nach -∞, rechts nach +∞.
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel: Die Funktion geht auf beiden Seiten in die gleiche Richtung. Beispiel: f(x) = -1/x² bei x = 0. Sowohl von links als auch von rechts geht's nach -∞.
Die Art der Polstelle hängt davon ab, ob der Faktor eine gerade oder ungerade Potenz hat. Ungerade Potenzen → Vorzeichenwechsel, gerade Potenzen → kein Vorzeichenwechsel.
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Eine Funktion ist stetig an einer Stelle x₀, wenn du ihren Graphen dort "ohne Absetzen" zeichnen kannst. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
Ganzrationale Funktionen sind immer stetig - super praktisch! Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du genauer hinschauen.
Für Stetigkeit müssen drei Bedingungen erfüllt sein: 1) Der linksseitige Grenzwert gₗ existiert, 2) Der rechtsseitige Grenzwert gᵣ existiert, 3) Beide sind gleich dem Funktionswert: gₗ = gᵣ = f(x₀).
Bei hebbaren Definitionslücken existiert zwar der Grenzwert, aber die Funktion ist trotzdem nicht stetig, weil f(x₀) nicht definiert ist.
Merkregel: Stetig = "ohne Absetzen zeichenbar". Wenn du den Stift abheben musst, ist die Funktion nicht stetig!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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