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3.733
•
1. Dez. 2025
•
Victoria 💞
@victoria.22
Grenzwerte und Stetigkeit sind wichtige Konzepte in der Analysis, die... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst wissen, wohin eine Funktion "läuft", wenn x immer größer wird oder sich einer bestimmten Stelle nähert. Genau das zeigen dir Grenzwerte!
Bei ganzrationalen Funktionen ist es super einfach: Das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt, wohin die Funktion für x → ∞ geht. Das Vorzeichen dieses Glieds entscheidet, ob es nach +∞ oder -∞ geht.
Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = u(x)/v(x), also einen Bruch aus zwei Polynomen. Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden! Deshalb musst du immer zuerst den Definitionsbereich bestimmen: D_f = ℝ \ {Nullstellen des Nenners}.
Merktipp: Bei ganzrationalen Funktionen schaue nur auf das Glied mit der höchsten Potenz - der Rest wird für große x-Werte unwichtig!
Hier kommt's auf das Verhältnis der Potenzen an! Vergleiche den Grad n der Zählerfunktion mit dem Grad m der Nennerfunktion.
Fall 1: m > n (Nenner hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist 0, und y = 0 ist eine waagerechte Asymptote. Beispiel: f(x) = x⁴/.
Fall 2: m = n (gleiche Potenzen): Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: lim = aₙ/bₘ. Die Gerade y = aₙ/bₘ ist eine waagerechte Asymptote.
Fall 3: m < n (Zähler hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist ±∞, und es gibt eine schräge Asymptote. Mit dem CAS-Befehl "propfrac" findest du sie.
Pro-Tipp: Schreibe dir die drei Fälle als Merkzettel auf - das spart dir in Klausuren viel Zeit!
An Definitionslücken wird's richtig spannend! Das sind Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist - meist weil der Nenner null wird.
Es gibt zwei Arten: Hebbare Definitionslücken (die Funktion hat nur ein "Loch") und Polstellen (die Funktion schießt gegen ±∞).
So findest du Polstellen: 1) Nullstellen der Zählerfunktion u(x) bestimmen, 2) Nullstellen der Nennerfunktion v(x) bestimmen (mögliche Polstellen), 3) Mögliche Polstellen in u(x) einsetzen. Ist u(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Polstelle. Ist u(x₀) = 0, dann ist es eine hebbare Definitionslücke.
An Polstellen entstehen senkrechte Asymptoten der Form x = x₀. Die Funktion wird dort unendlich groß oder klein.
Achtung: Eine Nullstelle des Nenners ist nur dann eine Polstelle, wenn der Zähler an dieser Stelle nicht auch null wird!
Polstellen mit Vorzeichenwechsel: Die Funktion springt von +∞ zu -∞ (oder umgekehrt). Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0. Links der Polstelle geht's nach -∞, rechts nach +∞.
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel: Die Funktion geht auf beiden Seiten in die gleiche Richtung. Beispiel: f(x) = -1/x² bei x = 0. Sowohl von links als auch von rechts geht's nach -∞.
Die Art der Polstelle hängt davon ab, ob der Faktor eine gerade oder ungerade Potenz hat. Ungerade Potenzen → Vorzeichenwechsel, gerade Potenzen → kein Vorzeichenwechsel.
Bei hebbaren Definitionslücken kannst du den gemeinsamen Faktor wegkürzen. Die Funktion verhält sich fast "normal", hat nur ein kleines Loch im Graphen.
Visualisierungstipp: Zeichne dir kleine Pfeile an Polstellen - das hilft dir beim Verstehen der Richtungen!
Eine Funktion ist stetig an einer Stelle x₀, wenn du ihren Graphen dort "ohne Absetzen" zeichnen kannst. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
Ganzrationale Funktionen sind immer stetig - super praktisch! Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du genauer hinschauen.
Für Stetigkeit müssen drei Bedingungen erfüllt sein: 1) Der linksseitige Grenzwert gₗ existiert, 2) Der rechtsseitige Grenzwert gᵣ existiert, 3) Beide sind gleich dem Funktionswert: gₗ = gᵣ = f(x₀).
Bei hebbaren Definitionslücken existiert zwar der Grenzwert, aber die Funktion ist trotzdem nicht stetig, weil f(x₀) nicht definiert ist.
Merkregel: Stetig = "ohne Absetzen zeichenbar". Wenn du den Stift abheben musst, ist die Funktion nicht stetig!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Lena M
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Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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@victoria.22
Grenzwerte und Stetigkeit sind wichtige Konzepte in der Analysis, die dir helfen zu verstehen, wie sich Funktionen verhalten - besonders an "kritischen" Stellen. Du lernst hier, wie sich Funktionen im Unendlichen verhalten und was an Definitionslücken passiert.
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Stell dir vor, du willst wissen, wohin eine Funktion "läuft", wenn x immer größer wird oder sich einer bestimmten Stelle nähert. Genau das zeigen dir Grenzwerte!
Bei ganzrationalen Funktionen ist es super einfach: Das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt, wohin die Funktion für x → ∞ geht. Das Vorzeichen dieses Glieds entscheidet, ob es nach +∞ oder -∞ geht.
Gebrochenrationale Funktionen haben die Form f(x) = u(x)/v(x), also einen Bruch aus zwei Polynomen. Wichtig: Der Nenner darf niemals null werden! Deshalb musst du immer zuerst den Definitionsbereich bestimmen: D_f = ℝ \ {Nullstellen des Nenners}.
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Fall 1: m > n (Nenner hat höhere Potenz): Der Grenzwert ist 0, und y = 0 ist eine waagerechte Asymptote. Beispiel: f(x) = x⁴/.
Fall 2: m = n (gleiche Potenzen): Der Grenzwert ist das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: lim = aₙ/bₘ. Die Gerade y = aₙ/bₘ ist eine waagerechte Asymptote.
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So findest du Polstellen: 1) Nullstellen der Zählerfunktion u(x) bestimmen, 2) Nullstellen der Nennerfunktion v(x) bestimmen (mögliche Polstellen), 3) Mögliche Polstellen in u(x) einsetzen. Ist u(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Polstelle. Ist u(x₀) = 0, dann ist es eine hebbare Definitionslücke.
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Polstellen mit Vorzeichenwechsel: Die Funktion springt von +∞ zu -∞ (oder umgekehrt). Beispiel: f(x) = 4/x bei x = 0. Links der Polstelle geht's nach -∞, rechts nach +∞.
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel: Die Funktion geht auf beiden Seiten in die gleiche Richtung. Beispiel: f(x) = -1/x² bei x = 0. Sowohl von links als auch von rechts geht's nach -∞.
Die Art der Polstelle hängt davon ab, ob der Faktor eine gerade oder ungerade Potenz hat. Ungerade Potenzen → Vorzeichenwechsel, gerade Potenzen → kein Vorzeichenwechsel.
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Eine Funktion ist stetig an einer Stelle x₀, wenn du ihren Graphen dort "ohne Absetzen" zeichnen kannst. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
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Für Stetigkeit müssen drei Bedingungen erfüllt sein: 1) Der linksseitige Grenzwert gₗ existiert, 2) Der rechtsseitige Grenzwert gᵣ existiert, 3) Beide sind gleich dem Funktionswert: gₗ = gᵣ = f(x₀).
Bei hebbaren Definitionslücken existiert zwar der Grenzwert, aber die Funktion ist trotzdem nicht stetig, weil f(x₀) nicht definiert ist.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheDiese Klausur behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen, Ableitungen, Extrempunkten und Wendepunkten. Sie umfasst sowohl den hilfsmittelfreien als auch den mit Hilfsmitteln durchgeführten Teil. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen in Mathematik vorbereiten. Themen: Differentialquotient, Kurvenverhalten, Anwendung der Differenzierung, und Gleichungssysteme.
MatheErforschen Sie die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik mit Fokus auf Kostenfunktionen, variable und fixe Kosten, sowie Gewinn- und Verlustrechnung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Kostenstruktur, Grenzkosten, Break-even-Point und Betriebsoptimum. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Kostenanalyse vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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