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Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Funktion

Mathe3.314Aktualisiert 26. Sept. 20268 Seiten

Grundlagen der Funktionen und ihre Eigenschaften – Einfache Erklärungen für Schüler

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Hier sind alle wichtigen Funktionstypen, die du in der 10. Klasse kennst! Von linearen über quadratische bis hin zu trigonometrischen Funktionen - jede hat ihre eigenen Eigenschaften und Tricks.
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Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat die Form y = mx + n und zeichnet sich als gerade Linie. Das m ist die Steigung (wie steil die Linie ist) und n der y-Achsenabschnitt (wo die Linie die y-Achse schneidet).

Zum Zeichnen trägst du zuerst den n-Wert an der y-Achse ein. Dann bewegst du dich um den Nenner der Steigung nach rechts und um den Zähler nach oben oder unten.

Die Steigung berechnen geht so: m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁. Du brauchst dafür zwei Punkte. Wenn du noch n suchst, setzt du einen bekannten Punkt in die allgemeine Form ein.

Merktipp: Positive Steigung = Funktion steigt, negative Steigung = Funktion fällt!

Für Nullstellen setzt du fxx = 0 und löst nach x auf. Lineare Funktionen haben genau eine Nullstelle (außer bei waagerechten Linien).

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Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen ergeben immer eine Parabel und haben die Form y = ax² + bx + c. Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

Bei der Normalparabel y = x² liegt der Scheitelpunkt bei (0|0). Verschiebungen funktionieren so: y = x−dx-d² + e verschiebt um d nach rechts und um e nach oben.

Nullstellen berechnen geht mit der pq-Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q. Die Diskriminante D = p/2p/2² - q zeigt dir, wie viele Nullstellen es gibt: D > 0 = zwei Nullstellen, D = 0 = eine Nullstelle, D < 0 = keine Nullstellen.

Wichtig: Parabeln können gestreckt (|a| > 1), gestaucht (|a| < 1) oder gespiegelt (a < 0) werden!

Du kannst zwischen Allgemeinform fxx = ax² + bx + c und Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e umrechnen. Die Scheitelpunktform zeigt dir direkt den Scheitelpunkt: S(d|e).

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Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben die Form fxx = xⁿ und verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Der Trick: gerade und ungerade Exponenten haben verschiedene Eigenschaften!

Bei geraden Exponenten (x², x⁴, x⁶) ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ungeraden Exponenten (x³, x⁵) ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Negative Exponenten erzeugen Hyperbeln! Bei x⁻² oder x⁻⁴ entsteht eine U-förmige Hyperbel, bei x⁻³ oder x⁻⁵ eine durchgehende Kurve. Wichtig: Der Definitionsbereich schließt die Null aus!

Merkhilfe: Alle Potenzfunktionen gehen durch die Punkte (1|1) und −1∣1-1|1 bzw. −1∣−1-1|-1!

Asymptoten sind Linien, denen sich der Graph nähert, aber nie berührt. Bei negativen Exponenten sind das die x- und y-Achse.

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Logarithmus- und Umkehrfunktionen

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrung von Exponentialfunktionen. Wenn 10² = 100, dann ist log₁₀(100) = 2. Der Logarithmus fragt: "Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren?"

Die Umkehrfunktion f⁻¹xx erhältst du, indem du die ursprüngliche Funktion nach x auflöst und dann x und y vertauschst. Bedingung: Jeder y-Wert darf nur einen x-Wert haben!

Logarithmusfunktionen haben die Form y = log_axx und sind nur für positive x-Werte definiert. Sie sind die gespiegelte Version der entsprechenden Exponentialfunktion an der Geraden y = x.

Wichtig: Umkehrfunktionen entstehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x!

Der gemeinsame Punkt aller Logarithmusfunktionen ist P(1|0), weil jede Basis hoch 0 gleich 1 ergibt.

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Exponential- und Wurzelfunktionen

Exponentialfunktionen haben die Form fxx = aˣ und wachsen extrem schnell! Alle gehen durch den Punkt (0|1), weil jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist.

Bei a > 1 steigt die Funktion monoton, bei 0 < a < 1 fällt sie. Die x-Achse ist immer eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr, berührt sie aber nie.

Parametereinflüsse verändern den Graphen: y = aˣ + c verschiebt vertikal, y = c·aˣ streckt oder staucht, y = a^x+cx+c verschiebt horizontal.

Alltagsbezug: Exponentialfunktionen beschreiben Bakterienwachstum, Zinsen oder radioaktiven Zerfall!

Wurzelfunktionen wie fxx = √x sind nur für x ≥ 0 definiert und steigen monoton. Sie sind die Umkehrfunktion von quadratischen Funktionen und haben ihren Ursprung bei (0|0).

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Sinus- und Kosinusfunktionen

Trigonometrische Funktionen sind periodisch - sie wiederholen sich alle 2π! Die Sinusfunktion startet bei (0|0), die Kosinusfunktion bei (0|1).

Beide schwingen zwischen -1 und +1. Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Parametereinflüsse bei y = a·sinbx+cbx + c + e: a verändert die Amplitude (Höhe), b die Periode (Länge einer Schwingung), c die Phasenverschiebung (links/rechts) und e die vertikale Verschiebung.

Praktisch: Diese Funktionen beschreiben Schall- oder Lichtwellen!

Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei ..., -π, 0, π, 2π, ... Die der Kosinusfunktion bei ..., -π/2, π/2, 3π/2, ...

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Die e-Funktion

Die e-Funktion fxx = eˣ ist eine besondere Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl e ≈ 2,718 als Basis. Sie ist in der Mathematik und Naturwissenschaften extrem wichtig!

Potenzgesetze gelten auch hier: e⁰ = 1, e¹ = e, und eˣ · eʸ = e^x+yx+y. Diese Regeln machen das Rechnen mit e-Funktionen einfacher.

Die e-Funktion ist monoton steigend und hat keine Nullstelle. Die x-Achse ist eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr für negative x-Werte, berührt sie aber nie.

Besonderheit: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung - das macht sie in der Analysis einzigartig!

Sie kommt in der Natur überall vor: beim Wachstum von Populationen, beim radioaktiven Zerfall oder bei Zinsen mit kontinuierlicher Verzinsung.

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Umkehrfunktionen berechnen

Umkehrfunktionen f⁻¹xx findest du in drei Schritten: Funktion nach x auflösen, dann x und y vertauschen. Bedingung: Jeder y-Wert darf nur einen x-Wert haben (eindeutig umkehrbar)!

Bei fxx = 2x + 2 löst du erst auf: y = 2x + 2, dann y - 2 = 2x, also x = y−2y-2/2. Nach dem Vertauschen: f⁻¹xx = 0,5x - 1.

Bei quadratischen Funktionen musst du den Definitionsbereich einschränken! Für fxx = 3x² + 5 gilt die Umkehrfunktion nur für x ≥ 0 (rechte Parabelhälfte).

Grafisch: Umkehrfunktionen entstehen durch Spiegelung an der Geraden y = x!

Die ursprüngliche Funktion und ihre Umkehrfunktion schneiden sich immer auf der Winkelhalbierenden y = x.

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