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Mathe3.273 aufrufe·Aktualisiert 26. Juli 2026·8 SeitenGrundlagen der Funktionen und ihre Eigenschaften – Einfache Erklärungen für Schüler
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Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion hat die Form y = mx + n und zeichnet sich als gerade Linie. Das m ist die Steigung (wie steil die Linie ist) und n der y-Achsenabschnitt (wo die Linie die y-Achse schneidet).
Zum Zeichnen trägst du zuerst den n-Wert an der y-Achse ein. Dann bewegst du dich um den Nenner der Steigung nach rechts und um den Zähler nach oben oder unten.
Die Steigung berechnen geht so: m = /. Du brauchst dafür zwei Punkte. Wenn du noch n suchst, setzt du einen bekannten Punkt in die allgemeine Form ein.
Merktipp: Positive Steigung = Funktion steigt, negative Steigung = Funktion fällt!
Für Nullstellen setzt du f = 0 und löst nach x auf. Lineare Funktionen haben genau eine Nullstelle (außer bei waagerechten Linien).
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Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen ergeben immer eine Parabel und haben die Form y = ax² + bx + c. Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.
Bei der Normalparabel y = x² liegt der Scheitelpunkt bei (0|0). Verschiebungen funktionieren so: y = ² + e verschiebt um d nach rechts und um e nach oben.
Nullstellen berechnen geht mit der pq-Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √. Die Diskriminante D = ² - q zeigt dir, wie viele Nullstellen es gibt: D > 0 = zwei Nullstellen, D = 0 = eine Nullstelle, D < 0 = keine Nullstellen.
Wichtig: Parabeln können gestreckt (|a| > 1), gestaucht (|a| < 1) oder gespiegelt (a < 0) werden!
Du kannst zwischen Allgemeinform f = ax² + bx + c und Scheitelpunktform f = a² + e umrechnen. Die Scheitelpunktform zeigt dir direkt den Scheitelpunkt: S(d|e).
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Potenzfunktionen
Potenzfunktionen haben die Form f = xⁿ und verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Der Trick: gerade und ungerade Exponenten haben verschiedene Eigenschaften!
Bei geraden Exponenten (x², x⁴, x⁶) ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ungeraden Exponenten (x³, x⁵) ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.
Negative Exponenten erzeugen Hyperbeln! Bei x⁻² oder x⁻⁴ entsteht eine U-förmige Hyperbel, bei x⁻³ oder x⁻⁵ eine durchgehende Kurve. Wichtig: Der Definitionsbereich schließt die Null aus!
Merkhilfe: Alle Potenzfunktionen gehen durch die Punkte (1|1) und bzw. !
Asymptoten sind Linien, denen sich der Graph nähert, aber nie berührt. Bei negativen Exponenten sind das die x- und y-Achse.
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Logarithmus- und Umkehrfunktionen
Logarithmusfunktionen sind die Umkehrung von Exponentialfunktionen. Wenn 10² = 100, dann ist log₁₀(100) = 2. Der Logarithmus fragt: "Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren?"
Die Umkehrfunktion f⁻¹ erhältst du, indem du die ursprüngliche Funktion nach x auflöst und dann x und y vertauschst. Bedingung: Jeder y-Wert darf nur einen x-Wert haben!
Logarithmusfunktionen haben die Form y = log_a und sind nur für positive x-Werte definiert. Sie sind die gespiegelte Version der entsprechenden Exponentialfunktion an der Geraden y = x.
Wichtig: Umkehrfunktionen entstehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x!
Der gemeinsame Punkt aller Logarithmusfunktionen ist P(1|0), weil jede Basis hoch 0 gleich 1 ergibt.
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Exponential- und Wurzelfunktionen
Exponentialfunktionen haben die Form f = aˣ und wachsen extrem schnell! Alle gehen durch den Punkt (0|1), weil jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist.
Bei a > 1 steigt die Funktion monoton, bei 0 < a < 1 fällt sie. Die x-Achse ist immer eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr, berührt sie aber nie.
Parametereinflüsse verändern den Graphen: y = aˣ + c verschiebt vertikal, y = c·aˣ streckt oder staucht, y = a^ verschiebt horizontal.
Alltagsbezug: Exponentialfunktionen beschreiben Bakterienwachstum, Zinsen oder radioaktiven Zerfall!
Wurzelfunktionen wie f = √x sind nur für x ≥ 0 definiert und steigen monoton. Sie sind die Umkehrfunktion von quadratischen Funktionen und haben ihren Ursprung bei (0|0).
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Sinus- und Kosinusfunktionen
Trigonometrische Funktionen sind periodisch - sie wiederholen sich alle 2π! Die Sinusfunktion startet bei (0|0), die Kosinusfunktion bei (0|1).
Beide schwingen zwischen -1 und +1. Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Parametereinflüsse bei y = a·sin + e: a verändert die Amplitude (Höhe), b die Periode (Länge einer Schwingung), c die Phasenverschiebung (links/rechts) und e die vertikale Verschiebung.
Praktisch: Diese Funktionen beschreiben Schall- oder Lichtwellen!
Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei ..., -π, 0, π, 2π, ... Die der Kosinusfunktion bei ..., -π/2, π/2, 3π/2, ...
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Die e-Funktion
Die e-Funktion f = eˣ ist eine besondere Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl e ≈ 2,718 als Basis. Sie ist in der Mathematik und Naturwissenschaften extrem wichtig!
Potenzgesetze gelten auch hier: e⁰ = 1, e¹ = e, und eˣ · eʸ = e^. Diese Regeln machen das Rechnen mit e-Funktionen einfacher.
Die e-Funktion ist monoton steigend und hat keine Nullstelle. Die x-Achse ist eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr für negative x-Werte, berührt sie aber nie.
Besonderheit: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung - das macht sie in der Analysis einzigartig!
Sie kommt in der Natur überall vor: beim Wachstum von Populationen, beim radioaktiven Zerfall oder bei Zinsen mit kontinuierlicher Verzinsung.
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Umkehrfunktionen berechnen
Umkehrfunktionen f⁻¹ findest du in drei Schritten: Funktion nach x auflösen, dann x und y vertauschen. Bedingung: Jeder y-Wert darf nur einen x-Wert haben (eindeutig umkehrbar)!
Bei f = 2x + 2 löst du erst auf: y = 2x + 2, dann y - 2 = 2x, also x = /2. Nach dem Vertauschen: f⁻¹ = 0,5x - 1.
Bei quadratischen Funktionen musst du den Definitionsbereich einschränken! Für f = 3x² + 5 gilt die Umkehrfunktion nur für x ≥ 0 (rechte Parabelhälfte).
Grafisch: Umkehrfunktionen entstehen durch Spiegelung an der Geraden y = x!
Die ursprüngliche Funktion und ihre Umkehrfunktion schneiden sich immer auf der Winkelhalbierenden y = x.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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AnnaiOS-Nutzerin
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Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion hat die Form y = mx + n und zeichnet sich als gerade Linie. Das m ist die Steigung (wie steil die Linie ist) und n der y-Achsenabschnitt (wo die Linie die y-Achse schneidet).
Zum Zeichnen trägst du zuerst den n-Wert an der y-Achse ein. Dann bewegst du dich um den Nenner der Steigung nach rechts und um den Zähler nach oben oder unten.
Die Steigung berechnen geht so: m = /. Du brauchst dafür zwei Punkte. Wenn du noch n suchst, setzt du einen bekannten Punkt in die allgemeine Form ein.
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Für Nullstellen setzt du f = 0 und löst nach x auf. Lineare Funktionen haben genau eine Nullstelle (außer bei waagerechten Linien).
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Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen ergeben immer eine Parabel und haben die Form y = ax² + bx + c. Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.
Bei der Normalparabel y = x² liegt der Scheitelpunkt bei (0|0). Verschiebungen funktionieren so: y = ² + e verschiebt um d nach rechts und um e nach oben.
Nullstellen berechnen geht mit der pq-Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √. Die Diskriminante D = ² - q zeigt dir, wie viele Nullstellen es gibt: D > 0 = zwei Nullstellen, D = 0 = eine Nullstelle, D < 0 = keine Nullstellen.
Wichtig: Parabeln können gestreckt (|a| > 1), gestaucht (|a| < 1) oder gespiegelt (a < 0) werden!
Du kannst zwischen Allgemeinform f = ax² + bx + c und Scheitelpunktform f = a² + e umrechnen. Die Scheitelpunktform zeigt dir direkt den Scheitelpunkt: S(d|e).
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Potenzfunktionen
Potenzfunktionen haben die Form f = xⁿ und verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich. Der Trick: gerade und ungerade Exponenten haben verschiedene Eigenschaften!
Bei geraden Exponenten (x², x⁴, x⁶) ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ungeraden Exponenten (x³, x⁵) ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.
Negative Exponenten erzeugen Hyperbeln! Bei x⁻² oder x⁻⁴ entsteht eine U-förmige Hyperbel, bei x⁻³ oder x⁻⁵ eine durchgehende Kurve. Wichtig: Der Definitionsbereich schließt die Null aus!
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Asymptoten sind Linien, denen sich der Graph nähert, aber nie berührt. Bei negativen Exponenten sind das die x- und y-Achse.
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Logarithmus- und Umkehrfunktionen
Logarithmusfunktionen sind die Umkehrung von Exponentialfunktionen. Wenn 10² = 100, dann ist log₁₀(100) = 2. Der Logarithmus fragt: "Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren?"
Die Umkehrfunktion f⁻¹ erhältst du, indem du die ursprüngliche Funktion nach x auflöst und dann x und y vertauschst. Bedingung: Jeder y-Wert darf nur einen x-Wert haben!
Logarithmusfunktionen haben die Form y = log_a und sind nur für positive x-Werte definiert. Sie sind die gespiegelte Version der entsprechenden Exponentialfunktion an der Geraden y = x.
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Exponential- und Wurzelfunktionen
Exponentialfunktionen haben die Form f = aˣ und wachsen extrem schnell! Alle gehen durch den Punkt (0|1), weil jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist.
Bei a > 1 steigt die Funktion monoton, bei 0 < a < 1 fällt sie. Die x-Achse ist immer eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr, berührt sie aber nie.
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Wurzelfunktionen wie f = √x sind nur für x ≥ 0 definiert und steigen monoton. Sie sind die Umkehrfunktion von quadratischen Funktionen und haben ihren Ursprung bei (0|0).
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Sinus- und Kosinusfunktionen
Trigonometrische Funktionen sind periodisch - sie wiederholen sich alle 2π! Die Sinusfunktion startet bei (0|0), die Kosinusfunktion bei (0|1).
Beide schwingen zwischen -1 und +1. Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
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Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei ..., -π, 0, π, 2π, ... Die der Kosinusfunktion bei ..., -π/2, π/2, 3π/2, ...
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Die e-Funktion
Die e-Funktion f = eˣ ist eine besondere Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl e ≈ 2,718 als Basis. Sie ist in der Mathematik und Naturwissenschaften extrem wichtig!
Potenzgesetze gelten auch hier: e⁰ = 1, e¹ = e, und eˣ · eʸ = e^. Diese Regeln machen das Rechnen mit e-Funktionen einfacher.
Die e-Funktion ist monoton steigend und hat keine Nullstelle. Die x-Achse ist eine Asymptote - die Funktion nähert sich ihr für negative x-Werte, berührt sie aber nie.
Besonderheit: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung - das macht sie in der Analysis einzigartig!
Sie kommt in der Natur überall vor: beim Wachstum von Populationen, beim radioaktiven Zerfall oder bei Zinsen mit kontinuierlicher Verzinsung.
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Umkehrfunktionen berechnen
Umkehrfunktionen f⁻¹ findest du in drei Schritten: Funktion nach x auflösen, dann x und y vertauschen. Bedingung: Jeder y-Wert darf nur einen x-Wert haben (eindeutig umkehrbar)!
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Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin