Mathe Grundkurs Grundlagen leicht erklärt

Analysis Grundlagen

Definitionsbereich bestimmen ist oft der erste Schritt bei jeder Aufgabe. Bei Wurzelfunktionen muss der Ausdruck unter der Wurzel ≥ 0 sein, also bei f$x$ = √$x-3$ gilt x-3 ≥ 0, somit x ≥ 3.

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei Exponentialfunktionen wie h$x$ = e^(2x) - 4 löst du: 0 = e^(2x) - 4, also e^(2x) = 4, dann ln auf beide Seiten: x = $1/2$ln(4).

Die Achsenschnittpunkte kriegst du durch Nullstellen (x-Achse) und f(0) (y-Achse). Bei Grenzwerten für x → ∞ dominiert meist der stärkste Term - bei g$x$ = x·e^x geht's gegen ∞, bei x → -∞ gegen 0.

Merkregel: Bei rationalen Funktionen entscheidet der höchste Exponent über das Grenzverhalten!

Symmetrie erkennst du schnell: f$-x$ = f$x$ bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse (alle Exponenten gerade), f$-x$ = -f$x$ bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung (alle Exponenten ungerade).

Für Tangenten brauchst du die erste Ableitung als Steigung m. Mit Punkt P(x₀|y₀) und m in y = mx + n einsetzen, um n zu finden. Extrempunkte findest du mit f'$x$ = 0, Wendepunkte mit f''$x$ = 0.

Integralrechnung

Integration ist das Gegenteil vom Ableiten - und viel einfacher als es aussieht. Es gibt zwei Arten: bestimmte und unbestimmte Integrale.

Unbestimmte Integrale ∫f$x$dx haben keine Grenzen und geben dir die Stammfunktion F$x$ + C zurück. Das C ist wichtig, weil beim Ableiten Konstanten verschwinden.

Bestimmte Integrale ∫[a bis b]f$x$dx haben Grenzen und geben dir eine konkrete Zahl - nämlich die Fläche unter der Kurve zwischen a und b. Der Hauptsatz verbindet beide: ∫[a bis b]f$x$dx = F$b$ - F$a$.

Tipp: Beim Aufleiten den Exponenten um 1 erhöhen und durch den neuen teilen!

Die wichtigsten Integrationsregeln sind simpel: Potenzregel x^n → x^$n+1$/$n+1$, Summenregel (Integrale addieren), Faktorregel (Konstanten vorziehen). Spezialfälle: ∫1/x dx = ln|x| + C und ∫a^x dx = a^x/ln$a$ + C.

Diese Regeln reichen für fast alle Schulaufgaben. Einfach Schritt für Schritt anwenden und bei bestimmten Integralen die Grenzen einsetzen.

Geraden im Raum

Geraden im 3D-Raum beschreibst du mit Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und Richtungsvektor (zeigt die Richtung). Die Gleichung sieht aus wie g: x⃗ = A⃗ + t·r⃗.

Um zu prüfen, ob ein Punkt P auf der Geraden liegt, setzt du die Koordinaten ein und löst nach t auf. Wenn du für alle drei Koordinaten dasselbe t bekommst, liegt P auf g.

Lagebeziehungen von Geraden sind überschaubar: identisch (gleiche Gerade), parallel (gleiche Richtung, aber nicht identisch), schneidend (einen gemeinsamen Punkt) oder windschief (weder parallel noch schneidend).

Strategie: Erst Richtungsvektoren vergleichen, dann Gleichungssystem lösen!

Spurpunkte sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen. Für die x-y-Ebene setzt du z = 0 und löst nach den anderen Koordinaten auf.

Zur schnellen Entscheidung: Sind die Richtungsvektoren parallel? Falls ja, liegt ein Aufpunkt auf der anderen Geraden? Falls nein → parallel. Falls ja → identisch. Sind sie nicht parallel? Gleichungssystem lösbar → schneidend, nicht lösbar → windschief.

Ebenen im Raum

Ebenen kannst du auf verschiedene Arten darstellen. Die Normalengleichung $x⃗ - p⃗$·n⃗ = 0 nutzt einen Punkt P und den Normalenvektor n⃗. Die Koordinatenform ax + by + cz = d ist oft praktischer zum Rechnen.

Lagebeziehungen bei Ebenen funktionieren ähnlich wie bei Geraden: identisch, parallel oder schneidend in einer Geraden. Du prüfst die Normalenvektoren auf Parallelität und testest, ob ein Aufpunkt in der anderen Ebene liegt.

Die Schnittgerade zweier Ebenen findest du, indem du eine Ebene in die andere einsetzt. Das ergibt eine Gerade als Lösung.

Trick: Spurgeraden entstehen, wenn Ebenen die Koordinatenebenen schneiden!

Bei Gerade-Ebene-Beziehungen kann die Gerade in der Ebene liegen (∞ viele Schnittpunkte), sie schneiden (1 Punkt) oder parallel sein (0 Punkte). Du setzt die Geradengleichung in die Ebene ein.

Spurgeraden erhältst du durch Schnitt der Ebene mit den Koordinatenebenen. Je nach Lage der Ebene entstehen 1, 2 oder 3 Spurgeraden. Das hilft dir, die Ebene zu visualisieren.

Abstandsberechnungen

Abstand Punkt-Punkt ist einfach: Differenzvektor bilden und Betrag berechnen. Bei A(3|1|2) und B(6|5|2) ist d = |AB⃗| = √$(6-3)² + (5-1)² + (2-2)²$ = 5.

Für Punkt-Ebene-Abstände nutzt du die Hessesche Normalform: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ - d|/√$a² + b² + c²$. Einfach Koordinaten einsetzen und rechnen.

Punkt-Gerade-Abstände sind aufwendiger: Hilfsebene H durch den Punkt P mit Normalenvektor = Richtungsvektor der Gerade aufstellen. Schnittpunkt von Gerade und H finden (= Lotfußpunkt). Abstand von P zum Lotfußpunkt berechnen.

Merke: Bei parallelen Geraden/Ebenen ist der Abstand überall gleich!

Gerade-Gerade-Abstände hängen von der Lage ab: identisch/schneidend = 0, parallel = Abstand eines Punktes zur anderen Gerade, windschief = aufwendigere Berechnung mit Hilfsebene.

Für Ebene-Ebene-Abstände gilt: schneidend = 0, parallel = Abstand eines Punktes zur anderen Ebene mit Hessescher Normalform.

Diese Abstandsformeln brauchst du in vielen Anwendungen - von Architektur bis Physik. Das Grundprinzip ist immer: kürzeste Verbindung finden.

Tangentenproblem & Symmetrie

Tangenten sind Geraden, die eine Kurve in genau einem Punkt berühren. Du brauchst die Steigung m = f'(x₀) am Berührungspunkt und setzt alles in y = mx + n ein.

Die drei Standard-Tangentenprobleme: 1) Tangente in gegebenem Punkt (f'(x₀) berechnen), 2) Tangente mit gegebenem Anstieg (f'$x$ = m setzen und x finden), 3) Tangente von außen an die Kurve (komplexere Rechnung).

Wendetangenten sind besonders: Sie berühren die Kurve am Wendepunkt. Erst Wendepunkt mit f''$x$ = 0 finden, dann normale Tangentengleichung aufstellen.

Wichtig: Senkrechte Tangenten haben m₁ · m₂ = -1!

Symmetrie erkennst du schnell: f$-x$ = f$x$ → Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Exponenten), f$-x$ = -f$x$ → Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Exponenten).

Achsenschnittpunkte: y-Achse durch f(0), x-Achse durch f$x$ = 0 lösen. Steigungswinkel α berechnest du mit α = arctan$m$, bei negativer Steigung nimmst du den Betrag.

Die Bogenlänge einer Kurve kriegst du durch ∫√$1+(f'(x))²$dx - das ist aber eher was für's Studium.

Asymptoten & Definitionsbereiche

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph beliebig nähert. Senkrechte Asymptoten entstehen bei Nullstellen des Nenners - da geht die Funktion gegen ±∞.

Waagerechte Asymptoten findest du durch Grenzwertbetrachtung: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad → y = 0. Sind sie gleich → y = (führender Koeffizient Zähler)/(führender Koeffizient Nenner).

Schiefe Asymptoten entstehen, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Dann Polynomdivision durchführen.

Faustregel: Bei gebrochenrationalen Funktionen immer erst Nenner = 0 setzen!

Der Definitionsbereich umfasst alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist. Bei Brüchen: Nenner ≠ 0, bei Wurzeln: Ausdruck ≥ 0, bei Logarithmus: Argument > 0.

Der Wertebereich zeigt alle möglichen y-Werte. Bei Sinus/Cosinus: $-1; 1$, bei f$x$ = 2sin$x$ + 3: [1; 5] (Amplitude ± Mittellage).

Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: Bei 2x² - 4x - 2 → 2$x-1$² - 4 mit Scheitelpunkt S$1|-4$. Das hilft beim Bestimmen von Extremwerten und Wertebereich.