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2.199
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8. Feb. 2026
•
laura
@laura_hivc
Du kennst das Gefühl: Du siehst eine Änderungsrate und fragst... Mehr anzeigen
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Def. Buch
Wenn Funktion f die Andecung einer Große (2.13km) in einem Intervall
[a, b] beschreibt, lässt sich](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FwezomkKpOiLTwVGDrfom_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Stell dir vor, du kennst nur die Änderungsrate einer Größe und willst die ursprüngliche Größe zurückgewinnen. Das ist wie wenn du die Geschwindigkeit deines Autos kennst und wissen willst, wie weit du gefahren bist.
Der Trick dabei: Du berechnest die Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche zeigt dir die Gesamtänderung der ursprünglichen Größe. Wenn dein Auto zum Beispiel 2 Stunden lang 100 km/h fährt, ist die Fläche 100 × 2 = 200 km.
Wichtig zu merken: Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, Flächen unterhalb negativ. Das macht Sinn - wenn sich ein Aufzug nach oben bewegt , kommst du höher. Bewegt er sich nach unten , gehst du tiefer.
💡 Merkhilfe: Änderungsrate × Zeit = Gesamtänderung. Genau das macht die Flächenberechnung!
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Wie berechnest du die Fläche unter einem krummen Graphen? Du teilst sie in kleine Rechtecke auf und addierst deren Flächen. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird's.
Bei der Obersumme nimmst du immer den höchsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Das überschätzt die echte Fläche etwas. Bei der Untersumme nimmst du den niedrigsten Wert - das unterschätzt die Fläche.
Der geniale Trick: Wenn du unendlich viele Rechtecke machst (n → ∞), werden beide Summen gleich. Das Ergebnis ist die exakte Fläche. Dafür brauchst du Summenformeln wie 1³ + 2³ + ... + n³ = ¼n²².
🎯 Klausur-Tipp: Die Summenformel wird immer angegeben. Du musst sie nur richtig einsetzen und dann den Grenzwert berechnen!
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Das Integral ist nichts anderes als die elegante Schreibweise für diese Flächenberechnung. Statt mühsam Ober- und Untersummen zu rechnen, gibt es einen direkten Weg.
Du brauchst die Stammfunktion F(x) - das ist die "rückwärts abgeleitete" Funktion von f(x). Wenn f(x) = x² ist, dann ist F(x) = ⅓x³, denn (⅓x³)' = x².
Der Hauptsatz besagt: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Du setzt also die Grenzen in die Stammfunktion ein und ziehst ab. Das war's!
⚡ Power-Regel: Für f(x) = xⁿ ist F(x) = 1/ · x^. Diese Regel löst 90% deiner Aufgaben!
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Jetzt wird's richtig praktisch! Du willst die Fläche zwischen zwei Funktionen oder zwischen Funktion und x-Achse berechnen.
Fall 1: Die Funktion wechselt das Vorzeichen. Dann berechnest du jedes Teilstück einzeln und setzt Betragsstriche um die negativen Teile. So wird aus -4/3 wieder +4/3.
Fall 2: Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkte. Du rechnest einfach ∫dx über das ganze Intervall.
Fall 3: Die Graphen schneiden sich. Bestimme die Schnittpunkte, prüfe welcher Graph wo oben liegt, und berechne jedes Teilstück einzeln.
🔍 Schnell-Check: Bei Vorzeichenwechseln immer Nullstellen bestimmen und Testpunkte einsetzen!
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Der Mittelwert einer Funktion ist super einfach: Du berechnest das normale Integral und teilst durch die Intervallänge. Formel: m̄ = 1/ · ∫[a bis b] f(x)dx.
Für Rotationsvolumen stellst du dir vor, wie der Graph um die x-Achse rotiert - wie ein Töpfer seine Vase dreht. Das entstehende Volumen berechnest du mit V = π · ∫[a bis b] [f(x)]²dx.
Diese Formel funktioniert für alle möglichen Formen: Weingläser, Vasen, oder technische Bauteile. Du quadrierst einfach die Funktion und multiplizierst mit π.
🍷 Anschaulich: Bei einem Sektglas berechnest du das Glasvolumen (äußere Funktion) minus Füllvolumen (innere Funktion)!
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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laura
@laura_hivc
Du kennst das Gefühl: Du siehst eine Änderungsrate und fragst dich, was das eigentlich für die ursprüngliche Größe bedeutet. Hier lernst du, wie du von der Geschwindigkeit zur zurückgelegten Strecke kommst oder von der Wasserzufuhr zur Gesamtwassermenge - und das... Mehr anzeigen
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Stell dir vor, du kennst nur die Änderungsrate einer Größe und willst die ursprüngliche Größe zurückgewinnen. Das ist wie wenn du die Geschwindigkeit deines Autos kennst und wissen willst, wie weit du gefahren bist.
Der Trick dabei: Du berechnest die Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche zeigt dir die Gesamtänderung der ursprünglichen Größe. Wenn dein Auto zum Beispiel 2 Stunden lang 100 km/h fährt, ist die Fläche 100 × 2 = 200 km.
Wichtig zu merken: Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, Flächen unterhalb negativ. Das macht Sinn - wenn sich ein Aufzug nach oben bewegt , kommst du höher. Bewegt er sich nach unten , gehst du tiefer.
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Wie berechnest du die Fläche unter einem krummen Graphen? Du teilst sie in kleine Rechtecke auf und addierst deren Flächen. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird's.
Bei der Obersumme nimmst du immer den höchsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Das überschätzt die echte Fläche etwas. Bei der Untersumme nimmst du den niedrigsten Wert - das unterschätzt die Fläche.
Der geniale Trick: Wenn du unendlich viele Rechtecke machst (n → ∞), werden beide Summen gleich. Das Ergebnis ist die exakte Fläche. Dafür brauchst du Summenformeln wie 1³ + 2³ + ... + n³ = ¼n²².
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Das Integral ist nichts anderes als die elegante Schreibweise für diese Flächenberechnung. Statt mühsam Ober- und Untersummen zu rechnen, gibt es einen direkten Weg.
Du brauchst die Stammfunktion F(x) - das ist die "rückwärts abgeleitete" Funktion von f(x). Wenn f(x) = x² ist, dann ist F(x) = ⅓x³, denn (⅓x³)' = x².
Der Hauptsatz besagt: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Du setzt also die Grenzen in die Stammfunktion ein und ziehst ab. Das war's!
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Jetzt wird's richtig praktisch! Du willst die Fläche zwischen zwei Funktionen oder zwischen Funktion und x-Achse berechnen.
Fall 1: Die Funktion wechselt das Vorzeichen. Dann berechnest du jedes Teilstück einzeln und setzt Betragsstriche um die negativen Teile. So wird aus -4/3 wieder +4/3.
Fall 2: Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkte. Du rechnest einfach ∫dx über das ganze Intervall.
Fall 3: Die Graphen schneiden sich. Bestimme die Schnittpunkte, prüfe welcher Graph wo oben liegt, und berechne jedes Teilstück einzeln.
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Der Mittelwert einer Funktion ist super einfach: Du berechnest das normale Integral und teilst durch die Intervallänge. Formel: m̄ = 1/ · ∫[a bis b] f(x)dx.
Für Rotationsvolumen stellst du dir vor, wie der Graph um die x-Achse rotiert - wie ein Töpfer seine Vase dreht. Das entstehende Volumen berechnest du mit V = π · ∫[a bis b] [f(x)]²dx.
Diese Formel funktioniert für alle möglichen Formen: Weingläser, Vasen, oder technische Bauteile. Du quadrierst einfach die Funktion und multiplizierst mit π.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch