Teil I-Hilfsmittelfreier Teil
Zeit: 30 Minuten
Hilfsmittel: keine
Achten Sie auf eine nachvollziehbare Ausführung Ihrer Antworten und Lösungswege!
Graphen einer Funktion im Sachkontext interpretieren
Der Graph der Funktion f in Abb.1 gibt die Vertikalgeschwindigkeit eines Heißluftballons in Meter pro Minute an. Die Zeitachse t gibt die Zeit in Minuten an. Zu Beginn der Aufzeichnung ist der Heißluftballon 100 Meter hoch. Bestimme die Zeitpunkte t bzw. die Zeitintervalle, in denen:
a) der Ballon weder steigt noch sinkt.
b) der Ballon am schnellsten steigt. Geben Sie die Geschwindigkeit an.
Integralrechnung
Gegeben sei die Funktion f(x)=x²-₁
c) der Ballon am niedrigsten und am höchsten ist für t € [0; 12]. Ermitteln Sie außerdem,
d) die maximal erreichte Höhe,
e) den Wert für t, wann der Ballon 100,5 Meter gesunken ist, wenn man davon ausgeht, dass die Sinkgeschwindigkeit des Ballons für t≥ 10 nicht mehr ändert.
Graph einer Funktion f
Gegeben ist der nebenstehende Graph f.
a) Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung des nebenstehenden Graphen f auf.
b) Skizzieren Sie den Graphen einer zu f zugehörigen Stammfunktion F in die nebenstehende Abbildung.
c) Skizzieren Sie den Graphen g eines zweiten Ballons, mit der Funktionsgleichung g(x)=konstant, sodass der Ballon g auf [0;12] genau 24 Meter steigt.
A₂
a) Geben Sie eine Stammfunktion von f an, sodass F(1)=2.
b) Berechnen Sie das folgende Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung: f(x) dx
(3+3=6 Punkte)
(4+3=7 Punkte)
Teil II-Teil mit Hilfsmittel
Zeit: 90 Minuten minus Zeit für Teil I
Achten Sie auf eine nachvollziehbare Ausführung Ihrer Antworten und Lösungswege!
Untersuchung einer Funktionenschar
Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = x³ - x²
f(t) = ²/³-²/t² + 6,0 ≤ t ≤ 4,
2
,a # 0.
a) Berechne die Nullstellen von fa in Abhängigkeit von a.
b) Bilde die ersten beiden Ableitungen f(x) und fa"(x).
c) Bestimme rechnerisch die Extrempunkte in Abhängigkeit von a.
Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung
вагद
Name: Husn Khage
Kontextbezogene Aufgabe
An einer Autobahnbaustelle wird die Stauentwicklung im Berufsverkehr untersucht. Aus den einem bestimmten Tag erhobenen Messdaten wird die momentane Änderungsrate der Staulänge (stark vereinfacht) durch die Funktion f mit der Gleichung *f(t) modelliert (t in Stunden, f(t) in km pro Stunde) Um 6.00 Uhr (t=0) beginnen sich die Fahrzeuge zu stauen. Der Graph von f ist in Abbildung 1 abgebildet.
a) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate der Staulänge um 7:00 Uhr und um 8:30
b) Erklären Sie die Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte und der Nullstellen im Sachkontext.
c) Bestimmen Sie rechnerisch die Zeitpunkte, zu denen die Staulänge am stärksten zu- bzw. abnimmt. HP (112) NS (210) T(31-42)
d) (1) Geben Sie eine Stammfunktion von f an und berechnen Sie ff(t) dt. Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. 1,6
(2) Bestimmen Sie, um wie viele Kilometer die Staulänge zwischen 6:30 Uhr und 7:00 Uhr zunimmt.
(3) Bestimmen Sie den Zeitpunkt to, an dem der Stau am längsten ist und ermitteln Sie die Staulänge.
(4) Ermitteln Sie die Zeitpunkt(e), wann der Stau eine Länge von 2 km hat. 2= $(x) .x
Viel Erfolg!! Integral f(t)dt
e) Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung f(t)dt = 0,75. Ermitteln Sie die beiden Zeitpunkte t₁ und t2, welche die Gleichung lösen (mit t₁, t₂ > 0) und erläutern Sie jeweils deren Bedeutung im Sachkontext.
