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Mathe
7. Dez. 2025
2.959
8 Seiten
Hannah @hannah_vnke
Die zweite Ableitung ist dein Schlüssel zum Verständnis von Krümmung und Wendepunkten! Sie verrät dir, ob eine Kurve... Mehr anzeigen
Die zweite Ableitung zeigt dir das Krümmungsverhalten einer Funktion - und das ist viel einfacher als du denkst! Du musst dir nur zwei simple Regeln merken.
Bei Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung negativ f''(x) < 0. Stell dir vor, die Kurve formt ein umgedrehtes U. Bei Linkskrümmung ist die zweite Ableitung positiv f''(x) > 0 - hier formt die Kurve ein normales U.
Merktipp Rechts = negativ, Links = positiv. Die erste Ableitung verrät dir die Steigung, die zweite die Krümmung!
Wenn du Krümmungsintervalle aus einem Graphen abliest, suchst du nach den Bereichen zwischen den Wendepunkten. Diese Punkte trennen die verschiedenen Krümmungsbereiche voneinander.
In den Beispielaufgaben wechselt die Krümmung immer an bestimmten x-Werten. Du schreibst die Intervalle in eckigen Klammern auf, wobei die Wendepunkte selbst nicht in die Intervalle gehören.
Zur rechnerischen Überprüfung bildest du die zweite Ableitung und setzt Testwerte aus jedem Intervall ein. Bei f(x) = (1/12)x⁴ - (9/8)x² findest du die Wendestellen bei x = ±3/2.
Praxis-Tipp Zeichne dir kleine U's und umgedrehte U's über die Intervalle - so vergisst du nie, welche Krümmung wo ist!
Ein Wendepunkt ist der Ort, wo sich das Krümmungsverhalten ändert - und dort hat die erste Ableitung ihre extremste Steigung! Das macht die Berechnung ziemlich logisch.
Die Bedingungen sind klar f''(x) = 0 (notwendig) und f'''(x) ≠ 0 (hinreichend). Du gehst systematisch vor Erst alle drei Ableitungen bilden, dann die Nullstellen der zweiten Ableitung finden.
Beim Beispiel f(x) = (1/3)x³ - 2x² + 3x erhältst du f''(x) = 2x - 4. Aus 2x - 4 = 0 folgt x = 2. Da f'''(2) = 2 ≠ 0 ist, hast du einen Wendepunkt bei W(2|2⅔).
Schritt-für-Schritt 1) Dreimal ableiten, 2) f''(x) = 0 lösen, 3) In f'''(x) einsetzen, 4) y-Wert berechnen!
Lass uns das mit f(x) = 0,5x⁴ - 3x² + 1 durchrechnen! Die Ableitungen sind schnell gefunden f'(x) = 2x³ - 6x, f''(x) = 6x² - 6 und f'''(x) = 12x.
Aus der notwendigen Bedingung f''(x) = 0 folgt 6x² - 6 = 0, also x² = 1 und damit x = ±1. Beide Werte sind potentielle Wendestellen.
Die hinreichende Bedingung prüfst du mit der dritten Ableitung f'''(1) = 12 ≠ 0 und f'''(-1) = -12 ≠ 0. Beide sind ungleich null, also hast du zwei Wendepunkte W₁(1|-1,5) und W₂(-1|-1,5).
Kontrolle Beide Wendepunkte haben denselben y-Wert - das deutet auf Symmetrie hin!
Die zweite Ableitung hilft dir zu entscheiden, ob eine Extremstelle ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Das ist viel schneller als das Vorzeichenwechsel-Verfahren!
Die Regel ist simpel Ist f''(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt (Rechtskrümmung). Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt (Linkskrümmung). Logisch, oder?
Bei f(x) = -x² + 2x + 1 mit der Nullstelle x = 1 ist f''(1) = -2 < 0, also ein Hochpunkt. Bei g(x) = x² + 2x + 1 mit x = -1 ist g''(-1) = 2 > 0, also ein Tiefpunkt.
Eselsbrücke Hochpunkt = rechtsgekrümmt = negativ, Tiefpunkt = linksgekrümmt = positiv!
Schauen wir uns f(x) = x³ - 3x² komplett an! Nach dem Ableiten erhältst du f'(x) = 3x² - 6x und f''(x) = 6x - 6.
Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 führt zu 3x² - 6x = 0, also x = 0. Das ergibt die Lösungen x = 0 und x = 2.
Jetzt die hinreichende Bedingung f''(0) = -6 < 0 bedeutet Hochpunkt bei H(0|0), und f''(2) = 6 > 0 bedeutet Tiefpunkt bei T(2|-4). Die y-Werte berechnest du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
Systematik Erst alle Ableitungen, dann Nullstellen von f'(x), dann Einordnung mit f''(x), zuletzt y-Werte!
Randextrema sind die heimlichen Stars bei Aufgaben mit begrenzten Definitionsbereichen! Sie liegen an den Rändern und können höhere oder niedrigere Werte haben als die lokalen Extrema.
Bei der Temperaturaufgabe f(x) = 1,5x² - 2x + 4 im Intervall findest du zunächst das lokale Minimum bei x = 2/3 mit f(2/3) = 3⅓. Dann prüfst du die Randwerte f(0) = 4 und f(4) = 20.
Der Vergleich zeigt f(4) = 20 ist der höchste Wert, gefolgt von f(0) = 4 und dem lokalen Minimum f(2/3) = 3⅓. Die Antwort lautet Die höchste Temperatur von 20° wird nach 4 Stunden erreicht.
Nie vergessen Bei begrenzten Bereichen immer die Randwerte mit den lokalen Extrema vergleichen!
Das Gauß-Verfahren löst Gleichungssysteme durch systematisches Eliminieren der Variablen. Dein Ziel ist eine Dreiecksmatrix, bei der du von unten nach oben auflösen kannst.
Du startest mit der erweiterten Matrix und erzeugst Nullen unter der Hauptdiagonale. Durch geschickte Zeilenoperationen (multiplizieren, addieren, subtrahieren) eliminierst du sukzessive die Variablen.
Im Beispiel führt das System zu x = 5, y = -6 und z = 3. Du arbeitest dich von der letzten Gleichung nach oben durch und setzt die gefundenen Werte ein.
Struktur ist alles Erst Tabellenform, dann systematisch Nullen erzeugen, zuletzt von unten nach oben auflösen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Diese Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion, einschließlich der Berechnung von Ableitungen, Extremwerten und Wendepunkten. Ideal für Schüler des Wirtschafts-Gymnasiums, die sich auf ihre Mathematik-Klausur vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Nullstellen, Symmetrie und die Anwendung der Ableitungen zur Analyse von Funktionen.
MatheDiese Übungsklausur behandelt die Ableitung von Funktionen und die Analyse von Extremstellen sowie Wendepunkten. Sie umfasst Aufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten, Monotonie und die Bedeutung der Ableitungen im Kontext von Funktionengraphen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Fach Mathematik.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Berechnung des maximalen Volumens von Pyramiden in Extremwertaufgaben. Diese Zusammenfassung behandelt die geometrischen Grundlagen, die Ableitungen zur Bestimmung von Extremwerten und die Abhängigkeiten zwischen Variablen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Pyramidenberechnungen vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von Funktionen bestimmt. Diese Präsentation behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Identifizierung lokaler und globaler Extrema sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionsuntersuchung vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über wichtige Themen für das Mathematik-Abitur 2022, einschließlich Kurvenverhalten, Ableitungen, Integrationsregeln, Vektoren und grundlegende Statistik. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen, behandelt er Konzepte wie Monotonie, Extremstellen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und geometrische Eigenschaften von Linien und Ebenen. Perfekt für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte einer Funktion bestimmt. Diese umfassende Anleitung umfasst wichtige Merksätze, Beispiele und drei Aufgaben mit Lösungen zur Vertiefung des Themas. Ideal für Studierende, die die Konzepte der Ableitung und deren Anwendungen verstehen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Samantha Klich
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hannah
@hannah_vnke
Die zweite Ableitung ist dein Schlüssel zum Verständnis von Krümmung und Wendepunkten! Sie verrät dir, ob eine Kurve nach links oder rechts gekrümmt ist und wo sich das Krümmungsverhalten ändert.
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Die zweite Ableitung zeigt dir das Krümmungsverhalten einer Funktion - und das ist viel einfacher als du denkst! Du musst dir nur zwei simple Regeln merken.
Bei Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung negativ: f''(x) < 0. Stell dir vor, die Kurve formt ein umgedrehtes U. Bei Linkskrümmung ist die zweite Ableitung positiv: f''(x) > 0 - hier formt die Kurve ein normales U.
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Ein Wendepunkt ist der Ort, wo sich das Krümmungsverhalten ändert - und dort hat die erste Ableitung ihre extremste Steigung! Das macht die Berechnung ziemlich logisch.
Die Bedingungen sind klar: f''(x) = 0 (notwendig) und f'''(x) ≠ 0 (hinreichend). Du gehst systematisch vor: Erst alle drei Ableitungen bilden, dann die Nullstellen der zweiten Ableitung finden.
Beim Beispiel f(x) = (1/3)x³ - 2x² + 3x erhältst du f''(x) = 2x - 4. Aus 2x - 4 = 0 folgt x = 2. Da f'''(2) = 2 ≠ 0 ist, hast du einen Wendepunkt bei W(2|2⅔).
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Aus der notwendigen Bedingung f''(x) = 0 folgt: 6x² - 6 = 0, also x² = 1 und damit x = ±1. Beide Werte sind potentielle Wendestellen.
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Die Regel ist simpel: Ist f''(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt (Rechtskrümmung). Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt (Linkskrümmung). Logisch, oder?
Bei f(x) = -x² + 2x + 1 mit der Nullstelle x = 1 ist f''(1) = -2 < 0, also ein Hochpunkt. Bei g(x) = x² + 2x + 1 mit x = -1 ist g''(-1) = 2 > 0, also ein Tiefpunkt.
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Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 führt zu 3x² - 6x = 0, also x = 0. Das ergibt die Lösungen x = 0 und x = 2.
Jetzt die hinreichende Bedingung: f''(0) = -6 < 0 bedeutet Hochpunkt bei H(0|0), und f''(2) = 6 > 0 bedeutet Tiefpunkt bei T(2|-4). Die y-Werte berechnest du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
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Randextrema sind die heimlichen Stars bei Aufgaben mit begrenzten Definitionsbereichen! Sie liegen an den Rändern und können höhere oder niedrigere Werte haben als die lokalen Extrema.
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Der Vergleich zeigt: f(4) = 20 ist der höchste Wert, gefolgt von f(0) = 4 und dem lokalen Minimum f(2/3) = 3⅓. Die Antwort lautet: Die höchste Temperatur von 20° wird nach 4 Stunden erreicht.
Nie vergessen: Bei begrenzten Bereichen immer die Randwerte mit den lokalen Extrema vergleichen!
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Das Gauß-Verfahren löst Gleichungssysteme durch systematisches Eliminieren der Variablen. Dein Ziel ist eine Dreiecksmatrix, bei der du von unten nach oben auflösen kannst.
Du startest mit der erweiterten Matrix und erzeugst Nullen unter der Hauptdiagonale. Durch geschickte Zeilenoperationen (multiplizieren, addieren, subtrahieren) eliminierst du sukzessive die Variablen.
Im Beispiel führt das System zu x = 5, y = -6 und z = 3. Du arbeitest dich von der letzten Gleichung nach oben durch und setzt die gefundenen Werte ein.
Struktur ist alles: Erst Tabellenform, dann systematisch Nullen erzeugen, zuletzt von unten nach oben auflösen!
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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