Krümmung verstehen

Die zweite Ableitung zeigt dir das Krümmungsverhalten einer Funktion - und das ist viel einfacher als du denkst! Du musst dir nur zwei simple Regeln merken.

Bei Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung negativ: f''$x$ < 0. Stell dir vor, die Kurve formt ein umgedrehtes U. Bei Linkskrümmung ist die zweite Ableitung positiv: f''$x$ > 0 - hier formt die Kurve ein normales U.

Merktipp: Rechts = negativ, Links = positiv. Die erste Ableitung verrät dir die Steigung, die zweite die Krümmung!

Krümmungsintervalle ablesen

Wenn du Krümmungsintervalle aus einem Graphen abliest, suchst du nach den Bereichen zwischen den Wendepunkten. Diese Punkte trennen die verschiedenen Krümmungsbereiche voneinander.

In den Beispielaufgaben wechselt die Krümmung immer an bestimmten x-Werten. Du schreibst die Intervalle in eckigen Klammern auf, wobei die Wendepunkte selbst nicht in die Intervalle gehören.

Zur rechnerischen Überprüfung bildest du die zweite Ableitung und setzt Testwerte aus jedem Intervall ein. Bei f$x$ = $1/12$x⁴ - $9/8$x² findest du die Wendestellen bei x = ±3/2.

Praxis-Tipp: Zeichne dir kleine U's und umgedrehte U's über die Intervalle - so vergisst du nie, welche Krümmung wo ist!

Wendepunkte berechnen

Ein Wendepunkt ist der Ort, wo sich das Krümmungsverhalten ändert - und dort hat die erste Ableitung ihre extremste Steigung! Das macht die Berechnung ziemlich logisch.

Die Bedingungen sind klar: f''$x$ = 0 (notwendig) und f'''$x$ ≠ 0 (hinreichend). Du gehst systematisch vor: Erst alle drei Ableitungen bilden, dann die Nullstellen der zweiten Ableitung finden.

Beim Beispiel f$x$ = $1/3$x³ - 2x² + 3x erhältst du f''$x$ = 2x - 4. Aus 2x - 4 = 0 folgt x = 2. Da f'''(2) = 2 ≠ 0 ist, hast du einen Wendepunkt bei W(2|2⅔).

Schritt-für-Schritt: 1) Dreimal ableiten, 2) f''$x$ = 0 lösen, 3) In f'''$x$ einsetzen, 4) y-Wert berechnen!

Wendepunkt-Beispiel

Lass uns das mit f$x$ = 0,5x⁴ - 3x² + 1 durchrechnen! Die Ableitungen sind schnell gefunden: f'$x$ = 2x³ - 6x, f''$x$ = 6x² - 6 und f'''$x$ = 12x.

Aus der notwendigen Bedingung f''$x$ = 0 folgt: 6x² - 6 = 0, also x² = 1 und damit x = ±1. Beide Werte sind potentielle Wendestellen.

Die hinreichende Bedingung prüfst du mit der dritten Ableitung: f'''(1) = 12 ≠ 0 und f'''$-1$ = -12 ≠ 0. Beide sind ungleich null, also hast du zwei Wendepunkte: W₁$1|-1,5$ und W₂$-1|-1,5$.

Kontrolle: Beide Wendepunkte haben denselben y-Wert - das deutet auf Symmetrie hin!

Extremstellen mit der zweiten Ableitung

Die zweite Ableitung hilft dir zu entscheiden, ob eine Extremstelle ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Das ist viel schneller als das Vorzeichenwechsel-Verfahren!

Die Regel ist simpel: Ist f''(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt (Rechtskrümmung). Ist f''(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt (Linkskrümmung). Logisch, oder?

Bei f$x$ = -x² + 2x + 1 mit der Nullstelle x = 1 ist f''(1) = -2 < 0, also ein Hochpunkt. Bei g$x$ = x² + 2x + 1 mit x = -1 ist g''$-1$ = 2 > 0, also ein Tiefpunkt.

Eselsbrücke: Hochpunkt = rechtsgekrümmt = negativ, Tiefpunkt = linksgekrümmt = positiv!

Vollständige Extremstellenberechnung

Schauen wir uns f$x$ = x³ - 3x² komplett an! Nach dem Ableiten erhältst du f'$x$ = 3x² - 6x und f''$x$ = 6x - 6.

Die notwendige Bedingung f'$x$ = 0 führt zu 3x² - 6x = 0, also x$3x - 6$ = 0. Das ergibt die Lösungen x = 0 und x = 2.

Jetzt die hinreichende Bedingung: f''(0) = -6 < 0 bedeutet Hochpunkt bei H(0|0), und f''(2) = 6 > 0 bedeutet Tiefpunkt bei T$2|-4$. Die y-Werte berechnest du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.

Systematik: Erst alle Ableitungen, dann Nullstellen von f'$x$, dann Einordnung mit f''$x$, zuletzt y-Werte!

Randextrema erkennen

Randextrema sind die heimlichen Stars bei Aufgaben mit begrenzten Definitionsbereichen! Sie liegen an den Rändern und können höhere oder niedrigere Werte haben als die lokalen Extrema.

Bei der Temperaturaufgabe f$x$ = 1,5x² - 2x + 4 im Intervall [0;4] findest du zunächst das lokale Minimum bei x = 2/3 mit f$2/3$ = 3⅓. Dann prüfst du die Randwerte: f(0) = 4 und f(4) = 20.

Der Vergleich zeigt: f(4) = 20 ist der höchste Wert, gefolgt von f(0) = 4 und dem lokalen Minimum f$2/3$ = 3⅓. Die Antwort lautet: Die höchste Temperatur von 20° wird nach 4 Stunden erreicht.

Nie vergessen: Bei begrenzten Bereichen immer die Randwerte mit den lokalen Extrema vergleichen!

Gauß-Verfahren systematisch

Das Gauß-Verfahren löst Gleichungssysteme durch systematisches Eliminieren der Variablen. Dein Ziel ist eine Dreiecksmatrix, bei der du von unten nach oben auflösen kannst.

Du startest mit der erweiterten Matrix und erzeugst Nullen unter der Hauptdiagonale. Durch geschickte Zeilenoperationen (multiplizieren, addieren, subtrahieren) eliminierst du sukzessive die Variablen.

Im Beispiel führt das System zu x = 5, y = -6 und z = 3. Du arbeitest dich von der letzten Gleichung $-2z = -6, also z = 3$ nach oben durch und setzt die gefundenen Werte ein.

Struktur ist alles: Erst Tabellenform, dann systematisch Nullen erzeugen, zuletzt von unten nach oben auflösen!