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Mathematik

Methoden der Funktionsoptimierung

Zweite Ableitungstest

2.116

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8. Feb. 2026

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17 Seiten

Kurvendiskussion und Extremwertprobleme - Vorbereitung und Übungen

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Diese Mathematik-Notizen zeigen dir, wie du Kurvendiskussion und Extremwertaufgabenlöst... Mehr anzeigen

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Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Nullstellen und Achsenabschnitte bestimmen

Bei Nullstellen setzt du die Funktion gleich null und löst die Gleichung. Hier kannst du oft geschickt ausklammern: x3−6x2+9x=x(x2−6x+9)=0x^3 - 6x^2 + 9x = x(x^2 - 6x + 9) = 0.

Das gibt dir x=0x = 0 und durch die pq-Formel x=3x = 3 (doppelte Nullstelle). Den y-Achsenabschnitt findest du durch Einsetzen von x=0x = 0: f(0)=0f(0) = 0.

Beim Fernverhalten schaust du dir den höchsten Exponenten an: Bei x3x^3 geht die Funktion für x→+∞x \to +\infty nach +∞+\infty und für x→−∞x \to -\infty nach −∞-\infty.

Tipp: Bei ungeraden Exponenten haben die Funktionsäste unterschiedliche Richtungen!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Flächenoptimierung mit Parabeln

Diese Extremwertaufgabe zeigt dir, wie du die maximale Fläche eines Rechtecks unter einer Parabel findest. Die Parabel f(x)=16−x2f(x) = 16 - x^2 hat Nullstellen bei x=±4x = ±4 und Scheitelpunkt S(0∣16)S(0|16).

Die Zielfunktion für die Rechteckfläche lautet A(x)=2x⋅(16−x2)=−2x3+32xA(x) = 2x \cdot (16 - x^2) = -2x^3 + 32x. Durch Ableiten und Nullsetzen: A′(x)=−6x2+32=0A'(x) = -6x^2 + 32 = 0 erhältst du x=163≈2,31x = \sqrt{\frac{16}{3}} ≈ 2,31.

Die hinreichende Bedingung A′′(x)<0A''(x) < 0 bestätigt das Maximum. Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa 49,27 Flächeneinheiten.

Praxistipp: Vergiss nie die Randwertbetrachtung - manchmal liegt das Optimum am Rand des Definitionsbereichs!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Extremstellen bestimmen - Schritt für Schritt

Beim Finden von Hoch- und Tiefpunkten gehst du immer nach dem gleichen Schema vor. Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung, dann setzt du die erste Ableitung gleich null.

Bei der Funktion f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x erhältst du f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. Die notwendige Bedingung f′(x)=0f'(x) = 0 löst du mit der pq-Formel und bekommst x1=3x_1 = 3 und x2=1x_2 = 1.

Für die hinreichende Bedingung prüfst du das Vorzeichen der zweiten Ableitung: f′′(3)=12>0f''(3) = 12 > 0 bedeutet Tiefpunkt, f′′(1)=−6<0f''(1) = -6 < 0 bedeutet Hochpunkt.

Merktipp: Positives Vorzeichen bei f′′(x)f''(x) = Tiefpunkt, negatives Vorzeichen = Hochpunkt

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Wendepunkte finden

Wendepunkte findest du, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt. Das ist die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.

Aus f′′(x)=6x−12=0f''(x) = 6x - 12 = 0 erhältst du x=2x = 2. Die hinreichende Bedingung prüfst du mit der dritten Ableitung: Da f′′′(2)=6≠0f'''(2) = 6 \neq 0 ist, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor.

Wendepunkte zeigen dir, wo sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert - von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Volumenoptimierung - Nebenbedingungen nutzen

Bei Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen löst du zuerst die Nebenbedingung nach einer Variablen auf. Hier ist das Volumen V=45cm3V = 45cm³ gegeben, also h=455a=9ah = \frac{45}{5a} = \frac{9}{a}.

Diese Beziehung setzt du in die Hauptbedingung ein. So eliminierst du eine Variable und bekommst eine Funktion, die nur noch von aa abhängt.

Die Zielfunktion V(a)=5a⋅9a=45V(a) = 5a \cdot \frac{9}{a} = 45 scheint konstant zu sein - hier fehlt vermutlich die Oberflächenformel für die Materialoptimierung.

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Kurvendiskussion komplett durchrechnen

Das komplette Vorgehen bei der Kurvendiskussion siehst du hier nochmal zusammengefasst. Von f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x leitest du zweimal ab und findest systematisch alle charakteristischen Punkte.

Extremstellen: x1=1x_1 = 1 (Hochpunkt), x2=3x_2 = 3 (Tiefpunkt). Wendepunkt: x=2x = 2. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheiden über die Art der Extremstelle.

Diese Methode funktioniert bei allen ganzrationalen Funktionen gleich. Übung macht hier wirklich den Meister!

Erfolgsgarantie: Wenn du dieses Schema beherrschst, schaffst du jede Kurvendiskussion!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Optimierungsprobleme systematisch lösen

Extremwertaufgaben löst du immer nach dem gleichen Muster: Hauptbedingung aufstellen, Nebenbedingung formulieren, eine Variable eliminieren, Zielfunktion ableiten und Extremstelle finden.

Die Nebenbedingung V=b⋅a⋅h=5a⋅h=45cm3V = b \cdot a \cdot h = 5a \cdot h = 45cm³ gibt dir den Zusammenhang zwischen den Variablen. Daraus folgt h=9ah = \frac{9}{a}.

Für Materialoptimierung bräuchtest du die Oberflächenformel als Zielfunktion, nicht das Volumen.

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Temperaturverlauf modellieren

Anwendungsaufgaben wie dieser Temperaturverlauf f(t)=−1100t2(t−24)+6f(t) = -\frac{1}{100}t^2(t-24) + 6 zeigen dir, wie Mathematik die Realität beschreibt. Der Parameter tt steht für die Uhrzeit, f(t)f(t) für die Temperatur.

Eine Wertetabelle hilft dir beim Verstehen: Um 0 und 24 Uhr sind es 6°C, um 12 Uhr etwa 23°C. Das entspricht einem typischen Tagestemperaturverlauf.

Die erste Ableitung gibt dir die Änderungsgeschwindigkeit der Temperatur pro Stunde an.

Realitätsbezug: Solche Funktionen werden tatsächlich in der Meteorologie verwendet!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Wendepunkt als Wachstumsmaximum interpretieren

Der Wendepunkt bei t=8t = 8 (8 Uhr morgens) mit Temperatur 16,24°C zeigt dir, wann die Temperatur am schnellsten steigt. Die Steigung der Wendetangente beträgt f′(8)=1,92°C/hf'(8) = 1,92°C/h.

Um 25°C zu überschreiten, muss die Maximaltemperatur über diesem Wert liegen. Da das Maximum bei 26,48°C liegt, handelt es sich um einen Sommertag.

Die praktische Bedeutung: Der Wendepunkt zeigt, wann morgens die Erwärmung am stärksten ist - wichtig für Wetterprognosen!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

Rechteck unter Parabel - geometrische Optimierung

Bei dieser klassischen Optimierungsaufgabe suchst du das flächengrößte Rechteck unter der Parabel f(x)=16−x2f(x) = 16 - x^2. Die Symmetrie nutzt du geschickt aus: Ein Eckpunkt liegt bei (u,f(u))(u, f(u)).

Die Zielfunktion A(u)=u⋅(16−u2)=16u−u3A(u) = u \cdot (16 - u^2) = 16u - u^3 beschreibt die Rechteckfläche in Abhängigkeit von der halben Breite uu.

Durch Ableiten und Nullsetzen findest du das optimale u. Diese Aufgabe ist ein Klassiker und kommt garantiert in deiner Klausur vor!

Klausurtipp: Zeichne dir immer eine Skizze - das hilft beim Aufstellen der Zielfunktion!



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Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Wendepunkte finden

Wendepunkte findest du, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt. Das ist die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.

Aus f′′(x)=6x−12=0f''(x) = 6x - 12 = 0 erhältst du x=2x = 2. Die hinreichende Bedingung prüfst du mit der dritten Ableitung: Da f′′′(2)=6≠0f'''(2) = 6 \neq 0 ist, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor.

Wendepunkte zeigen dir, wo sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert - von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

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Volumenoptimierung - Nebenbedingungen nutzen

Bei Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen löst du zuerst die Nebenbedingung nach einer Variablen auf. Hier ist das Volumen V=45cm3V = 45cm³ gegeben, also h=455a=9ah = \frac{45}{5a} = \frac{9}{a}.

Diese Beziehung setzt du in die Hauptbedingung ein. So eliminierst du eine Variable und bekommst eine Funktion, die nur noch von aa abhängt.

Die Zielfunktion V(a)=5a⋅9a=45V(a) = 5a \cdot \frac{9}{a} = 45 scheint konstant zu sein - hier fehlt vermutlich die Oberflächenformel für die Materialoptimierung.

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

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Kurvendiskussion komplett durchrechnen

Das komplette Vorgehen bei der Kurvendiskussion siehst du hier nochmal zusammengefasst. Von f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x leitest du zweimal ab und findest systematisch alle charakteristischen Punkte.

Extremstellen: x1=1x_1 = 1 (Hochpunkt), x2=3x_2 = 3 (Tiefpunkt). Wendepunkt: x=2x = 2. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheiden über die Art der Extremstelle.

Diese Methode funktioniert bei allen ganzrationalen Funktionen gleich. Übung macht hier wirklich den Meister!

Erfolgsgarantie: Wenn du dieses Schema beherrschst, schaffst du jede Kurvendiskussion!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

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Optimierungsprobleme systematisch lösen

Extremwertaufgaben löst du immer nach dem gleichen Muster: Hauptbedingung aufstellen, Nebenbedingung formulieren, eine Variable eliminieren, Zielfunktion ableiten und Extremstelle finden.

Die Nebenbedingung V=b⋅a⋅h=5a⋅h=45cm3V = b \cdot a \cdot h = 5a \cdot h = 45cm³ gibt dir den Zusammenhang zwischen den Variablen. Daraus folgt h=9ah = \frac{9}{a}.

Für Materialoptimierung bräuchtest du die Oberflächenformel als Zielfunktion, nicht das Volumen.

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

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Temperaturverlauf modellieren

Anwendungsaufgaben wie dieser Temperaturverlauf f(t)=−1100t2(t−24)+6f(t) = -\frac{1}{100}t^2(t-24) + 6 zeigen dir, wie Mathematik die Realität beschreibt. Der Parameter tt steht für die Uhrzeit, f(t)f(t) für die Temperatur.

Eine Wertetabelle hilft dir beim Verstehen: Um 0 und 24 Uhr sind es 6°C, um 12 Uhr etwa 23°C. Das entspricht einem typischen Tagestemperaturverlauf.

Die erste Ableitung gibt dir die Änderungsgeschwindigkeit der Temperatur pro Stunde an.

Realitätsbezug: Solche Funktionen werden tatsächlich in der Meteorologie verwendet!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

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Wendepunkt als Wachstumsmaximum interpretieren

Der Wendepunkt bei t=8t = 8 (8 Uhr morgens) mit Temperatur 16,24°C zeigt dir, wann die Temperatur am schnellsten steigt. Die Steigung der Wendetangente beträgt f′(8)=1,92°C/hf'(8) = 1,92°C/h.

Um 25°C zu überschreiten, muss die Maximaltemperatur über diesem Wert liegen. Da das Maximum bei 26,48°C liegt, handelt es sich um einen Sommertag.

Die praktische Bedeutung: Der Wendepunkt zeigt, wann morgens die Erwärmung am stärksten ist - wichtig für Wetterprognosen!

Aufgabe 4 (ausführlicher Lösungsweg) Bestimmt die Nullstellen der Funktion Für NST gilt f(x) = 0⇒16-x² = 0⇒x=14 Gibt den Scheitelpunkt an S(

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Rechteck unter Parabel - geometrische Optimierung

Bei dieser klassischen Optimierungsaufgabe suchst du das flächengrößte Rechteck unter der Parabel f(x)=16−x2f(x) = 16 - x^2. Die Symmetrie nutzt du geschickt aus: Ein Eckpunkt liegt bei (u,f(u))(u, f(u)).

Die Zielfunktion A(u)=u⋅(16−u2)=16u−u3A(u) = u \cdot (16 - u^2) = 16u - u^3 beschreibt die Rechteckfläche in Abhängigkeit von der halben Breite uu.

Durch Ableiten und Nullsetzen findest du das optimale u. Diese Aufgabe ist ein Klassiker und kommt garantiert in deiner Klausur vor!

Klausurtipp: Zeichne dir immer eine Skizze - das hilft beim Aufstellen der Zielfunktion!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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