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Ava
21.11.2025
Mathe
Ganzrationale Funktionen untersuchen
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•
21. Nov. 2025
•
Ava
@ava_foerster
Ganzrationale Funktionen zu untersuchen ist ein zentrales Thema in der... Mehr anzeigen
Du fragst dich, wo eine Funktion ihre Hoch- und Tiefpunkte hat? Das findest du mit einem klaren 5-Schritte-Plan heraus! Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung f'(x) und f''(x).
Der entscheidende Schritt: Berechne die Nullstellen von f'(x) - dort wo die Steigung null ist, können Extremstellen liegen. Nutze dafür die pq-Formel oder klammere aus, je nachdem was einfacher ist.
Jetzt kommt der Vorzeichentest mit f''(x): Setze deine x-Werte ein. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, einen Hochpunkt. Bei f''(x) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor - das ist keine Extremstelle!
Wichtig: Für Extrempunkte brauchst du noch den y-Wert! Setze die x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
Am Beispiel f(x) = x³ + 6x² + 9x siehst du: f'(x) = 3x² + 12x + 9 führt zu den Nullstellen x₁ = -1 und x₂ = -3. Mit f''(x) = 6x + 12 erhältst du TP(-1|-4) und HP(-3|0).
Wendepunkte findest du über die zweite Ableitung: Bilde f''(x) und bestimme deren Nullstellen. Diese x-Werte setzt du dann in die ursprüngliche Funktion f(x) ein, um den vollständigen Wendepunkt zu erhalten.
Das Monotonieverhalten beschreibt, wo deine Funktion steigt oder fällt. Nimm deine bereits berechneten Extremstellen und teste Werte drumherum in f'(x). Positive Werte bedeuten: Funktion steigt. Negative Werte: Funktion fällt.
Bei unserem Beispiel f(x) = x³ + 6x² + 9x ergibt sich der Wendepunkt W(-2|-2) aus f''(x) = 6x + 12 = 0. Teste verschiedene x-Werte in f'(x), um das Steigungsverhalten zu ermitteln.
Tipp: Zeichne dir die Punkte in ein Koordinatensystem ein - so siehst du den Funktionsverlauf sofort!
Die systematische Herangehensweise macht diese Aufgaben zu einer reinen Fleißarbeit. Mit etwas Übung wirst du schnell sehen: Es ist nur Rechnen nach Schema!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Ava
@ava_foerster
Ganzrationale Funktionen zu untersuchen ist ein zentrales Thema in der Oberstufe - und es ist definitiv machbar! Du lernst hier, wie du systematisch Extremstellen, Wendepunkte und das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmst.
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Du fragst dich, wo eine Funktion ihre Hoch- und Tiefpunkte hat? Das findest du mit einem klaren 5-Schritte-Plan heraus! Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung f'(x) und f''(x).
Der entscheidende Schritt: Berechne die Nullstellen von f'(x) - dort wo die Steigung null ist, können Extremstellen liegen. Nutze dafür die pq-Formel oder klammere aus, je nachdem was einfacher ist.
Jetzt kommt der Vorzeichentest mit f''(x): Setze deine x-Werte ein. Ist f''(x) > 0, hast du einen Tiefpunkt. Ist f''(x) < 0, einen Hochpunkt. Bei f''(x) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor - das ist keine Extremstelle!
Wichtig: Für Extrempunkte brauchst du noch den y-Wert! Setze die x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
Am Beispiel f(x) = x³ + 6x² + 9x siehst du: f'(x) = 3x² + 12x + 9 führt zu den Nullstellen x₁ = -1 und x₂ = -3. Mit f''(x) = 6x + 12 erhältst du TP(-1|-4) und HP(-3|0).
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Wendepunkte findest du über die zweite Ableitung: Bilde f''(x) und bestimme deren Nullstellen. Diese x-Werte setzt du dann in die ursprüngliche Funktion f(x) ein, um den vollständigen Wendepunkt zu erhalten.
Das Monotonieverhalten beschreibt, wo deine Funktion steigt oder fällt. Nimm deine bereits berechneten Extremstellen und teste Werte drumherum in f'(x). Positive Werte bedeuten: Funktion steigt. Negative Werte: Funktion fällt.
Bei unserem Beispiel f(x) = x³ + 6x² + 9x ergibt sich der Wendepunkt W(-2|-2) aus f''(x) = 6x + 12 = 0. Teste verschiedene x-Werte in f'(x), um das Steigungsverhalten zu ermitteln.
Tipp: Zeichne dir die Punkte in ein Koordinatensystem ein - so siehst du den Funktionsverlauf sofort!
Die systematische Herangehensweise macht diese Aufgaben zu einer reinen Fleißarbeit. Mit etwas Übung wirst du schnell sehen: Es ist nur Rechnen nach Schema!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Dieser Lernzettel behandelt die Extremwertanalyse mit Nebenbedingungen und die Berechnung von Funktionen mit Parametern. Er umfasst wichtige Konzepte wie Ableitungen, Wendepunkte, und charakteristische Punkte. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Kurvenanpassung und Funktionsscharen, einschließlich: 1) Lösen von Gleichungssystemen, 2) Bestimmung ganzrationaler Funktionen, 3) Trassierung von Graphen, 4) Abschnittsweise definierte Funktionen und 5) Analyse von Funktionenscharen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur.
MatheErfahren Sie, wie man Extremwertaufgaben effektiv löst. Dieser Leitfaden behandelt die Ableitung zur Bestimmung von Extremstellen, die Überprüfung von Randwerten, die Formulierung von Extremal- und Nebenbedingungen sowie die Ermittlung des Definitionsbereichs. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über wichtige Themen für das Mathematik-Abitur 2022, einschließlich Kurvenverhalten, Ableitungen, Integrationsregeln, Vektoren und grundlegende Statistik. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen, behandelt er Konzepte wie Monotonie, Extremstellen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und geometrische Eigenschaften von Linien und Ebenen. Perfekt für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Konzepte von Funktionsscharen und Integralen in der Analysis. Diese Zusammenfassung behandelt Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, die Flächeninhaltsfunktion und den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
MatheDiese Übungsklausur behandelt die Ableitung von Funktionen und die Analyse von Extremstellen sowie Wendepunkten. Sie umfasst Aufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten, Monotonie und die Bedeutung der Ableitungen im Kontext von Funktionengraphen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Fach Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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