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Mathe

5. Dez. 2025

1.048

4 Seiten

Kurvendiskussion leicht gemacht: Anleitung und Beispiele

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𝕸𝖎𝖈𝖍𝖊𝖑𝖑𝖊 @notesbymichelle

Die Kurvendiskussion ist dein Werkzeugkasten, um Funktionen komplett zu verstehen. Hier lernst du, wie du systematisch alle wichtigen... Mehr anzeigen

Kurverdiskussion
Verhalten im Unendlichen / Grenzwertverhalten
Für x→ +∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit

Grenzwertverhalten und Symmetrie

Das Grenzwertverhalten einer ganzrationalen Funktion wird vom Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 5x⁵ - 3x³ + 1500x verhält sich der Graph für x → ±∞ wie g(x) = 5x⁵.

Merke dir Bei geradem Grad gehen beide Äste in die gleiche Richtung, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidet, ob nach oben oder unten.

Für die Symmetrie checkst du fx-x = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse (nur gerade Exponenten). fx-x = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung (nur ungerade Exponenten).

Schnittpunkte mit der y-Achse findest du, indem du x = 0 einsetzt. Am GTR nutzt du G-Solve → Y-ICEPT.

💡 Tipp Das Grenzwertverhalten verrät dir schon viel über die Form des Graphen, bevor du rechnest!

Kurverdiskussion
Verhalten im Unendlichen / Grenzwertverhalten
Für x→ +∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit

Nullstellen und Extrempunkte

Nullstellen SchnittpunktemitderxAchseSchnittpunkte mit der x-Achse findest du, indem du f(x) = 0 setzt und löst. Am GTR G-Solve → ROOT macht's einfacher.

Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion. Unterscheide zwischen lokalen Extrema ho¨chster/tiefsterPunktineinemBereichhöchster/tiefster Punkt in einem Bereich und globalen Extrema absolutho¨chster/tiefsterPunktdesgesamtenGraphenabsolut höchster/tiefster Punkt des gesamten Graphen.

Wichtig Globale Extrema gibt es nicht immer! Das hängt vom Grenzwertverhalten ab - wenn der Graph ins Unendliche geht, gibt's kein absolutes Maximum oder Minimum.

Am GTR findest du Extrempunkte mit G-Solve → MAX oder MIN. Das spart Zeit und Nerven!

💡 Gut zu wissen Extremstellen sind die x-Werte, Extremwerte die y-Werte der Extrempunkte.

Kurverdiskussion
Verhalten im Unendlichen / Grenzwertverhalten
Für x→ +∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit

Extrempunkte berechnen

Die notwendige Bedingung für Extrempunkte f'(x) = 0. Extrempunkte haben immer die Steigung null!

So gehst du vor Erste Ableitung bilden → gleich null setzen → Extremstellen finden → in f(x) einsetzen für die y-Werte. Fertig sind deine Extrempunkte!

Aber Vorsicht Das reicht noch nicht! Die hinreichende Bedingung unterscheidet Hoch- und Tiefpunkte. Setze deine Extremstellen in f''(x) ein f''(x) > 0 = Tiefpunkt, f''(x) < 0 = Hochpunkt.

Falls f''(x) = 0 ergibt, nutze das Vorzeichenwechselkriterium Prüfe das Vorzeichen von f'(x) links und rechts der Extremstelle. Wechsel von + nach - = Hochpunkt, von - nach + = Tiefpunkt.

Wendepunkte erkennst du an der charakteristischen S-Form. Rechts-Links bedeutet erst nach rechts, dann nach links krümmen.

💡 Merkhilfe Bei der zweiten Ableitung denkst du an ein Lächeln f''(x) > 0 = lächeln = Tiefpunkt (konkav)!

Kurverdiskussion
Verhalten im Unendlichen / Grenzwertverhalten
Für x→ +∞ wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit

Wendepunkte und Monotonie

Für Wendepunkte brauchst du die notwendige Bedingung f''(x) = 0. Das gibt dir die Wendestellen.

Die hinreichende Bedingung nutzt die dritte Ableitung f'''(xw) ≠ 0 bestätigt den Wendepunkt. f'''(xw) > 0 = Links-Rechts-Wendung, f'''(xw) < 0 = Rechts-Links-Wendung.

Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte mit waagerechter Tangente f'(x) = 0 UND f''(x) = 0 müssen gelten.

Die Monotonie zeigt dir, wo der Graph steigt oder fällt. Bestimme alle Extrempunkte, teile den Definitionsbereich in Intervalle und teste mit f'(x) f'(x) > 0 = monoton steigend, f'(x) < 0 = monoton fallend.

💡 Praxis-Tipp Zeichne dir einen Zahlenstrahl mit allen wichtigen Punkten - das macht die Monotonie super übersichtlich!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Das Grenzwertverhalten einer ganzrationalen Funktion wird vom Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 5x⁵ - 3x³ + 1500x verhält sich der Graph für x → ±∞ wie g(x) = 5x⁵.

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Für die Symmetrie checkst du: fx-x = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse (nur gerade Exponenten). fx-x = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung (nur ungerade Exponenten).

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Nullstellen und Extrempunkte

Nullstellen SchnittpunktemitderxAchseSchnittpunkte mit der x-Achse findest du, indem du f(x) = 0 setzt und löst. Am GTR: G-Solve → ROOT macht's einfacher.

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Extrempunkte berechnen

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Wendepunkte und Monotonie

Für Wendepunkte brauchst du die notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Das gibt dir die Wendestellen.

Die hinreichende Bedingung nutzt die dritte Ableitung: f'''(xw) ≠ 0 bestätigt den Wendepunkt. f'''(xw) > 0 = Links-Rechts-Wendung, f'''(xw) < 0 = Rechts-Links-Wendung.

Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte mit waagerechter Tangente: f'(x) = 0 UND f''(x) = 0 müssen gelten.

Die Monotonie zeigt dir, wo der Graph steigt oder fällt. Bestimme alle Extrempunkte, teile den Definitionsbereich in Intervalle und teste mit f'(x): f'(x) > 0 = monoton steigend, f'(x) < 0 = monoton fallend.

💡 Praxis-Tipp: Zeichne dir einen Zahlenstrahl mit allen wichtigen Punkten - das macht die Monotonie super übersichtlich!

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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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