Kurvendiskussion und Exponentialfunktion: Mathe Lernzettel E2

Funktionsuntersuchung - Der komplette Fahrplan

Kurvendiskussionen sehen kompliziert aus, folgen aber immer dem gleichen Schema. Du bildest einfach f$x$, f'$x$ und f''$x$ und arbeitest dann systematisch alle Punkte ab.

Die wichtigsten Schritte sind: Nullstellen berechnen mit f$x$ = 0, y-Achsenabschnitt bei f(0), Extremwerte finden und Wendepunkte bestimmen. Für jeden Schritt gibt es klare Regeln.

Extremwerte findest du über die erste Ableitung: notwendige Bedingung ist f'$x$ = 0, hinreichende Bedingung prüfst du mit dem f''-Kriterium (f''$x$ > 0 = Tiefpunkt, f''$x$ < 0 = Hochpunkt). Wendepunkte sind die Extremwerte der ersten Ableitung - deshalb setzt du f''$x$ = 0.

💡 Merktipp: Die erste Ableitung zeigt dir die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion!

Funktionsuntersuchung - Praktisches Beispiel

Am Beispiel f$x$ = x⁴ - 2x³ siehst du, wie's funktioniert. Zuerst bildest du die Ableitungen: f'$x$ = 4x³ - 6x², f''$x$ = 12x² - 12x, f'''$x$ = 24x - 12.

Nullstellen findest du durch Ausklammern: x³$x-2$ = 0, also x₁ = 0 und x₂ = 2. Für Extremwerte setzt du f'$x$ = 0: x²$4x-6$ = 0 gibt x₁ = 0 und x₂ = 1,5.

Beim f''-Kriterium für x₁ = 0 kommt f''(0) = 0 raus - das bedeutet Sattelpunkt (musst du mit f'''$x$ ≠ 0 prüfen). Für x₂ = 1,5 ist f''(1,5) = 9 > 0, also Tiefpunkt bei $1,5|-1,69$.

Wendepunkte berechnest du mit f''$x$ = 0: x$12x-12$ = 0 ergibt x₁ = 0 und x₂ = 1. Die y-Koordinaten kriegst du durch Einsetzen in f$x$.

Rekonstruktion - Funktionen rückwärts ermitteln

Bei Steckbriefaufgaben kennst du bestimmte Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Das machst du mit einem Gleichungssystem - entweder per Hand oder mit dem Taschenrechner (Menü → A → 1).

Verschiedene Infos ergeben verschiedene Gleichungen: Ein Punkt P(1|3) bedeutet f(1) = 3. Ein Extremum bei P(1|3) bedeutet f'(1) = 0 und f(1) = 3. Ein Wendepunkt bei P(1|3) bedeutet f''(1) = 0 und f(1) = 3.

Wenn du eine Tangente mit Steigung 4 bei P(1|3) hast, dann f(1) = 3 und f'(1) = 4. Bei punktsymmetrischen Funktionen fallen alle geraden Potenzen weg, bei achsensymmetrischen alle ungeraden.

💡 Tipp: Achte auf die Symmetrie-Hinweise in der Aufgabe - sie sparen dir viel Rechenarbeit!

Rekonstruktion - Das Brückenbeispiel

Das Brückenbeispiel zeigt dir, wie Rekonstruktion praktisch läuft. Gegeben: f(10) = 7,5 (Punkt), f(0) = 0 (y-Achsenabschnitt) und f'(10) = 0,5 (Steigung bei x = 10).

Mit dem Einsetzungsverfahren kriegst du schnell c = 0. Dann setzt du die anderen Bedingungen ein und löst das Gleichungssystem. Das Ergebnis ist f$x$ = -0,025x² + x.

Für die maximale Höhe berechnest du den Hochpunkt: f'$x$ = 0 ergibt x = 20, eingesetzt in f$x$ gibt y = 10. Die Brücke ist also 10m hoch.

Den Auftreffwinkel findest du über die Nullstellen $x = 0 und x = 40$ und die Steigung dort: f'(0) = 1 und f'(40) = -1. Mit tan⁻¹(1) = 45° beträgt der Winkel 45°.

Exponentialfunktionen - Grundlagen und Regeln

Exponentialfunktionen haben die Form f$x$ = c·aˣ, wobei c der Anfangswert und a die Basis ist. Ist a > 1, wächst die Funktion, ist 0 < a < 1, fällt sie.

Die wichtigsten Potenzregeln sind: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ und (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Diese brauchst du beim Umformen und Vereinfachen.

Zur Rekonstruktion nutzt du zwei Punkte. Mit P₁$-1|0,75$ und P₂(2|48) stellst du zwei Gleichungen auf: 0,75 = c·a⁻¹ und 48 = c·a². Durch geschicktes Umformen findest du a = 4 und c = 3.

💡 Prüftrick: Der Quotiententest zeigt exponentielles Wachstum - wenn f$n+1$/f$n$ immer gleich ist, hast du eine Exponentialfunktion!

Exponentialfunktionen - Anwendungen und Tricks

In Textaufgaben erkennst du Exponentialfunktionen an Begriffen wie "Wachstum" oder "Zerfall". Bei 10% Wachstum ist a = 1,10, bei 8% Abnahme ist a = 0,92. Die Formel ist immer a = 1 ± p (p als Dezimalzahl).

Gleichungen lösen geht mit Logarithmen: Aus aˣ = b wird x = log_a$b$. Beispiel: 2ˣ = 6 ergibt x = log₂(6) = 2,58. Das rechnest du mit dem Taschenrechner.

Verdopplungszeit findest du mit 2 = aˣ, Halbwertszeit mit 0,5 = aˣ. Dann logarithmierst du beide Seiten. Bei Schnittpunkten zweier Exponentialfunktionen gleichsetzen und nach x auflösen.

💡 Zeitsparer: Nutze den Taschenrechner für Logarithmen - das geht viel schneller als die Umrechnungsformeln!