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•
26. Dez. 2025
•
Aulona Fazliu
@aulonaf
Mathe wird oft als schwer empfunden, aber Funktionsuntersuchungen, Rekonstruktionen und... Mehr anzeigen
Kurvendiskussionen sehen kompliziert aus, folgen aber immer dem gleichen Schema. Du bildest einfach f(x), f'(x) und f''(x) und arbeitest dann systematisch alle Punkte ab.
Die wichtigsten Schritte sind: Nullstellen berechnen mit f(x) = 0, y-Achsenabschnitt bei f(0), Extremwerte finden und Wendepunkte bestimmen. Für jeden Schritt gibt es klare Regeln.
Extremwerte findest du über die erste Ableitung: notwendige Bedingung ist f'(x) = 0, hinreichende Bedingung prüfst du mit dem f''-Kriterium . Wendepunkte sind die Extremwerte der ersten Ableitung - deshalb setzt du f''(x) = 0.
💡 Merktipp: Die erste Ableitung zeigt dir die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion!
Am Beispiel f(x) = x⁴ - 2x³ siehst du, wie's funktioniert. Zuerst bildest du die Ableitungen: f'(x) = 4x³ - 6x², f''(x) = 12x² - 12x, f'''(x) = 24x - 12.
Nullstellen findest du durch Ausklammern: x³ = 0, also x₁ = 0 und x₂ = 2. Für Extremwerte setzt du f'(x) = 0: x² = 0 gibt x₁ = 0 und x₂ = 1,5.
Beim f''-Kriterium für x₁ = 0 kommt f''(0) = 0 raus - das bedeutet Sattelpunkt (musst du mit f'''(x) ≠ 0 prüfen). Für x₂ = 1,5 ist f''(1,5) = 9 > 0, also Tiefpunkt bei (1,5|-1,69).
Wendepunkte berechnest du mit f''(x) = 0: x = 0 ergibt x₁ = 0 und x₂ = 1. Die y-Koordinaten kriegst du durch Einsetzen in f(x).
Bei Steckbriefaufgaben kennst du bestimmte Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Das machst du mit einem Gleichungssystem - entweder per Hand oder mit dem Taschenrechner (Menü → A → 1).
Verschiedene Infos ergeben verschiedene Gleichungen: Ein Punkt P(1|3) bedeutet f(1) = 3. Ein Extremum bei P(1|3) bedeutet f'(1) = 0 und f(1) = 3. Ein Wendepunkt bei P(1|3) bedeutet f''(1) = 0 und f(1) = 3.
Wenn du eine Tangente mit Steigung 4 bei P(1|3) hast, dann f(1) = 3 und f'(1) = 4. Bei punktsymmetrischen Funktionen fallen alle geraden Potenzen weg, bei achsensymmetrischen alle ungeraden.
💡 Tipp: Achte auf die Symmetrie-Hinweise in der Aufgabe - sie sparen dir viel Rechenarbeit!
Das Brückenbeispiel zeigt dir, wie Rekonstruktion praktisch läuft. Gegeben: f(10) = 7,5 (Punkt), f(0) = 0 und f'(10) = 0,5 .
Mit dem Einsetzungsverfahren kriegst du schnell c = 0. Dann setzt du die anderen Bedingungen ein und löst das Gleichungssystem. Das Ergebnis ist f(x) = -0,025x² + x.
Für die maximale Höhe berechnest du den Hochpunkt: f'(x) = 0 ergibt x = 20, eingesetzt in f(x) gibt y = 10. Die Brücke ist also 10m hoch.
Den Auftreffwinkel findest du über die Nullstellen und die Steigung dort: f'(0) = 1 und f'(40) = -1. Mit tan⁻¹(1) = 45° beträgt der Winkel 45°.
Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = c·aˣ, wobei c der Anfangswert und a die Basis ist. Ist a > 1, wächst die Funktion, ist 0 < a < 1, fällt sie.
Die wichtigsten Potenzregeln sind: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ und (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Diese brauchst du beim Umformen und Vereinfachen.
Zur Rekonstruktion nutzt du zwei Punkte. Mit P₁(-1|0,75) und P₂(2|48) stellst du zwei Gleichungen auf: 0,75 = c·a⁻¹ und 48 = c·a². Durch geschicktes Umformen findest du a = 4 und c = 3.
💡 Prüftrick: Der Quotiententest zeigt exponentielles Wachstum - wenn f/f(n) immer gleich ist, hast du eine Exponentialfunktion!
In Textaufgaben erkennst du Exponentialfunktionen an Begriffen wie "Wachstum" oder "Zerfall". Bei 10% Wachstum ist a = 1,10, bei 8% Abnahme ist a = 0,92. Die Formel ist immer a = 1 ± p (p als Dezimalzahl).
Gleichungen lösen geht mit Logarithmen: Aus aˣ = b wird x = log_a(b). Beispiel: 2ˣ = 6 ergibt x = log₂(6) = 2,58. Das rechnest du mit dem Taschenrechner.
Verdopplungszeit findest du mit 2 = aˣ, Halbwertszeit mit 0,5 = aˣ. Dann logarithmierst du beide Seiten. Bei Schnittpunkten zweier Exponentialfunktionen gleichsetzen und nach x auflösen.
💡 Zeitsparer: Nutze den Taschenrechner für Logarithmen - das geht viel schneller als die Umrechnungsformeln!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Aulona Fazliu
@aulonaf
Mathe wird oft als schwer empfunden, aber Funktionsuntersuchungen, Rekonstruktionen und Exponentialfunktionen sind eigentlich ziemlich logisch aufgebaut. Hier lernst du die wichtigsten Schritte und Tricks, die du für Klausuren brauchst.
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Kurvendiskussionen sehen kompliziert aus, folgen aber immer dem gleichen Schema. Du bildest einfach f(x), f'(x) und f''(x) und arbeitest dann systematisch alle Punkte ab.
Die wichtigsten Schritte sind: Nullstellen berechnen mit f(x) = 0, y-Achsenabschnitt bei f(0), Extremwerte finden und Wendepunkte bestimmen. Für jeden Schritt gibt es klare Regeln.
Extremwerte findest du über die erste Ableitung: notwendige Bedingung ist f'(x) = 0, hinreichende Bedingung prüfst du mit dem f''-Kriterium . Wendepunkte sind die Extremwerte der ersten Ableitung - deshalb setzt du f''(x) = 0.
💡 Merktipp: Die erste Ableitung zeigt dir die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion!
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Am Beispiel f(x) = x⁴ - 2x³ siehst du, wie's funktioniert. Zuerst bildest du die Ableitungen: f'(x) = 4x³ - 6x², f''(x) = 12x² - 12x, f'''(x) = 24x - 12.
Nullstellen findest du durch Ausklammern: x³ = 0, also x₁ = 0 und x₂ = 2. Für Extremwerte setzt du f'(x) = 0: x² = 0 gibt x₁ = 0 und x₂ = 1,5.
Beim f''-Kriterium für x₁ = 0 kommt f''(0) = 0 raus - das bedeutet Sattelpunkt (musst du mit f'''(x) ≠ 0 prüfen). Für x₂ = 1,5 ist f''(1,5) = 9 > 0, also Tiefpunkt bei (1,5|-1,69).
Wendepunkte berechnest du mit f''(x) = 0: x = 0 ergibt x₁ = 0 und x₂ = 1. Die y-Koordinaten kriegst du durch Einsetzen in f(x).
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Bei Steckbriefaufgaben kennst du bestimmte Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Das machst du mit einem Gleichungssystem - entweder per Hand oder mit dem Taschenrechner (Menü → A → 1).
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Wenn du eine Tangente mit Steigung 4 bei P(1|3) hast, dann f(1) = 3 und f'(1) = 4. Bei punktsymmetrischen Funktionen fallen alle geraden Potenzen weg, bei achsensymmetrischen alle ungeraden.
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Für die maximale Höhe berechnest du den Hochpunkt: f'(x) = 0 ergibt x = 20, eingesetzt in f(x) gibt y = 10. Die Brücke ist also 10m hoch.
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Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = c·aˣ, wobei c der Anfangswert und a die Basis ist. Ist a > 1, wächst die Funktion, ist 0 < a < 1, fällt sie.
Die wichtigsten Potenzregeln sind: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ und (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Diese brauchst du beim Umformen und Vereinfachen.
Zur Rekonstruktion nutzt du zwei Punkte. Mit P₁(-1|0,75) und P₂(2|48) stellst du zwei Gleichungen auf: 0,75 = c·a⁻¹ und 48 = c·a². Durch geschicktes Umformen findest du a = 4 und c = 3.
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Gleichungen lösen geht mit Logarithmen: Aus aˣ = b wird x = log_a(b). Beispiel: 2ˣ = 6 ergibt x = log₂(6) = 2,58. Das rechnest du mit dem Taschenrechner.
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Erfahren Sie, wie Sie Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen effektiv lösen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Formulierung der Zielgröße, das Aufsuchen von Nebenbedingungen, die Bestimmung der Zielfunktion und die Untersuchung auf Extremwerte. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Extremstellen einer Funktion identifiziert und welche Rolle die erste und zweite Ableitung dabei spielen. Diese Zusammenfassung behandelt lokale Maxima, Minima und Sattelpunkte sowie die notwendigen Kriterien zur Bestimmung dieser Punkte. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
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MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Erklärung zu Extremstellen, Krümmungsverhalten und Randextrema. Er behandelt die Berechnung von Ableitungen, das Auffinden von Wendepunkten und die Anwendung des zweiten Ableitungskriteriums. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen möchten.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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