Funktionsuntersuchung - Der komplette Fahrplan

Kurvendiskussionen sehen kompliziert aus, folgen aber immer dem gleichen Schema. Du bildest einfach f(x), f'(x) und f''(x) und arbeitest dann systematisch alle Punkte ab.

Die wichtigsten Schritte sind: Nullstellen berechnen mit f(x) = 0, y-Achsenabschnitt bei f(0), Extremwerte finden und Wendepunkte bestimmen. Für jeden Schritt gibt es klare Regeln.

Extremwerte findest du über die erste Ableitung: notwendige Bedingung ist f'(x) = 0, hinreichende Bedingung prüfst du mit dem f''-Kriterium $f''(x) > 0 = Tiefpunkt, f''(x) < 0 = Hochpunkt$. Wendepunkte sind die Extremwerte der ersten Ableitung - deshalb setzt du f''(x) = 0.

💡 Merktipp: Die erste Ableitung zeigt dir die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion!

Funktionsuntersuchung - Praktisches Beispiel

Am Beispiel f(x) = x⁴ - 2x³ siehst du, wie's funktioniert. Zuerst bildest du die Ableitungen: f'(x) = 4x³ - 6x², f''(x) = 12x² - 12x, f'''(x) = 24x - 12.

Nullstellen findest du durch Ausklammern: x³$x-2$ = 0, also x₁ = 0 und x₂ = 2. Für Extremwerte setzt du f'(x) = 0: x²$4x-6$ = 0 gibt x₁ = 0 und x₂ = 1,5.

Beim f''-Kriterium für x₁ = 0 kommt f''(0) = 0 raus - das bedeutet Sattelpunkt (musst du mit f'''(x) ≠ 0 prüfen). Für x₂ = 1,5 ist f''(1,5) = 9 > 0, also Tiefpunkt bei (1,5|-1,69).

Wendepunkte berechnest du mit f''(x) = 0: x$12x-12$ = 0 ergibt x₁ = 0 und x₂ = 1. Die y-Koordinaten kriegst du durch Einsetzen in f(x).

Rekonstruktion - Funktionen rückwärts ermitteln

Bei Steckbriefaufgaben kennst du bestimmte Eigenschaften einer Funktion und musst die Gleichung finden. Das machst du mit einem Gleichungssystem - entweder per Hand oder mit dem Taschenrechner (Menü → A → 1).

Verschiedene Infos ergeben verschiedene Gleichungen: Ein Punkt P(1|3) bedeutet f(1) = 3. Ein Extremum bei P(1|3) bedeutet f'(1) = 0 und f(1) = 3. Ein Wendepunkt bei P(1|3) bedeutet f''(1) = 0 und f(1) = 3.

Wenn du eine Tangente mit Steigung 4 bei P(1|3) hast, dann f(1) = 3 und f'(1) = 4. Bei punktsymmetrischen Funktionen fallen alle geraden Potenzen weg, bei achsensymmetrischen alle ungeraden.

💡 Tipp: Achte auf die Symmetrie-Hinweise in der Aufgabe - sie sparen dir viel Rechenarbeit!

Rekonstruktion - Das Brückenbeispiel

Das Brückenbeispiel zeigt dir, wie Rekonstruktion praktisch läuft. Gegeben: f(10) = 7,5 (Punkt), f(0) = 0 $y-Achsenabschnitt$ und f'(10) = 0,5 $Steigung bei x = 10$.

Mit dem Einsetzungsverfahren kriegst du schnell c = 0. Dann setzt du die anderen Bedingungen ein und löst das Gleichungssystem. Das Ergebnis ist f(x) = -0,025x² + x.

Für die maximale Höhe berechnest du den Hochpunkt: f'(x) = 0 ergibt x = 20, eingesetzt in f(x) gibt y = 10. Die Brücke ist also 10m hoch.

Den Auftreffwinkel findest du über die Nullstellen $x = 0 und x = 40$ und die Steigung dort: f'(0) = 1 und f'(40) = -1. Mit tan⁻¹(1) = 45° beträgt der Winkel 45°.

Exponentialfunktionen - Grundlagen und Regeln

Exponentialfunktionen haben die Form f(x) = c·aˣ, wobei c der Anfangswert und a die Basis ist. Ist a > 1, wächst die Funktion, ist 0 < a < 1, fällt sie.

Die wichtigsten Potenzregeln sind: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ und (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Diese brauchst du beim Umformen und Vereinfachen.

Zur Rekonstruktion nutzt du zwei Punkte. Mit P₁(-1|0,75) und P₂(2|48) stellst du zwei Gleichungen auf: 0,75 = c·a⁻¹ und 48 = c·a². Durch geschicktes Umformen findest du a = 4 und c = 3.

💡 Prüftrick: Der Quotiententest zeigt exponentielles Wachstum - wenn f$n+1$/f(n) immer gleich ist, hast du eine Exponentialfunktion!

Exponentialfunktionen - Anwendungen und Tricks

In Textaufgaben erkennst du Exponentialfunktionen an Begriffen wie "Wachstum" oder "Zerfall". Bei 10% Wachstum ist a = 1,10, bei 8% Abnahme ist a = 0,92. Die Formel ist immer a = 1 ± p (p als Dezimalzahl).

Gleichungen lösen geht mit Logarithmen: Aus aˣ = b wird x = log_a(b). Beispiel: 2ˣ = 6 ergibt x = log₂(6) = 2,58. Das rechnest du mit dem Taschenrechner.

Verdopplungszeit findest du mit 2 = aˣ, Halbwertszeit mit 0,5 = aˣ. Dann logarithmierst du beide Seiten. Bei Schnittpunkten zweier Exponentialfunktionen gleichsetzen und nach x auflösen.

💡 Zeitsparer: Nutze den Taschenrechner für Logarithmen - das geht viel schneller als die Umrechnungsformeln!