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Denise ^^
11.12.2025
Mathe
Lernzettel e-Funktion
485
•
11. Dez. 2025
•
Denise ^^
@dd.bruck
Die e-Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik... Mehr anzeigen
Die e-Funktion hat einige coole Eigenschaften, die du dir unbedingt merken solltest. Die Eulersche Zahl e = 2,71828... ist wie π eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Das Wichtigste: Die e-Funktion ist immer positiv! Sie liegt komplett oberhalb der x-Achse und hat deshalb keine Nullstellen. Links nähert sie sich der x-Achse zwar unendlich an, berührt sie aber nie.
Beim Ableiten wird's richtig praktisch. Wenn du eine reine e-Funktion wie f(x) = e^ ableitest, bleibt das e komplett unverändert. Du leitest nur den Exponenten ab und multiplizierst das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion: f'(x) = · e^.
Merktipp: Bei e-Funktionen bleibt der Exponent beim Ableiten immer gleich - du rechnest nur mit der Ableitung des Exponenten weiter!
Wenn vor dem e noch eine andere Funktion steht, brauchst du die Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Du teilst einfach den Teil vor dem e und den e-Teil auf, leitest beide getrennt ab und setzt in die Formel ein.
Bei der Kurvendiskussion wird's easy: Wenn du e-Funktionen gleich null setzt, kannst du das e einfach wegstreichen! Da e nie null wird, musst du nur den anderen Teil der Funktion betrachten.
Tangenten berechnen funktioniert wie immer: Du brauchst einen Punkt und die Steigung (erste Ableitung). Mit y = mx + b findest du dann deine Tangentengleichung.
Praxistipp: Bei Kurvendiskussionen von e-Funktionen ignorierst du das e beim Nullsetzen - es kann eh nicht null werden!
Beschränktes Wachstum siehst du überall im Alltag! Deine Cola aus dem Kühlschrank erwärmt sich bis zur Raumtemperatur, aber nicht darüber hinaus - das ist die Schranke. Die Formel dafür: f(t) = Schranke ± c·e^.
Bei Wachstum steht ein Minus vor dem c, bei Abnahme ein Plus. Die Schranke ist der Wert, dem sich die Funktion immer weiter annähert, aber nie überschreitet.
Für die Integration gibt's zwei wichtige Methoden. Bei linearen Exponenten verwendest du die Formel ∫ b·e^(ax) dx = ·e^(ax) + C. Bei komplizierteren Exponenten brauchst du die partielle Integration: ∫ u·v' = u·v - ∫ u'·v.
Alltagsbezug: Beschränktes Wachstum erklärt, warum dein Handy-Akku am Anfang schnell lädt und zum Ende hin immer langsamer wird!
Substitutionsmethode verwendest du, wenn im Exponenten kein linearer Term steht. Der Trick: Du suchst die Ableitung des Exponenten in der Funktion und teilst entsprechend. Bei ∫ 2x·e^(x²) dx ist die Ableitung von x² genau 2x - perfekt!
Falls der Faktor nicht passt, rechnest du ihn einfach raus: ∫ 20x·e^(x²) dx = 10·∫ 2x·e^(x²) dx = 10·e^(x²) + C.
Logistisches Wachstum beschreibt realistisches Wachstum mit Grenzen: f(t) = G/. Dabei ist G der Maximalwert und k die Wachstumsrate.
Die Kurve sieht aus wie ein liegendes S: erst langsames Wachstum, dann schneller Anstieg, schließlich wieder Verlangsamung bis zum Maximum. Das erklärt Bevölkerungswachstum, Virenausbreitung oder Marktdurchdringung neuer Produkte.
Realitätsbezug: Logistisches Wachstum zeigt, warum TikTok-Trends erst langsam starten, dann explodieren und schließlich wieder abflachen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Denise ^^
@dd.bruck
Die e-Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik und taucht überall auf - vom Bevölkerungswachstum bis zur Abkühlung deines Kaffees. Mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 als Basis hat sie besondere Eigenschaften, die sie perfekt für viele... Mehr anzeigen
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Die e-Funktion hat einige coole Eigenschaften, die du dir unbedingt merken solltest. Die Eulersche Zahl e = 2,71828... ist wie π eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Das Wichtigste: Die e-Funktion ist immer positiv! Sie liegt komplett oberhalb der x-Achse und hat deshalb keine Nullstellen. Links nähert sie sich der x-Achse zwar unendlich an, berührt sie aber nie.
Beim Ableiten wird's richtig praktisch. Wenn du eine reine e-Funktion wie f(x) = e^ ableitest, bleibt das e komplett unverändert. Du leitest nur den Exponenten ab und multiplizierst das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion: f'(x) = · e^.
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Wenn vor dem e noch eine andere Funktion steht, brauchst du die Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Du teilst einfach den Teil vor dem e und den e-Teil auf, leitest beide getrennt ab und setzt in die Formel ein.
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Beschränktes Wachstum siehst du überall im Alltag! Deine Cola aus dem Kühlschrank erwärmt sich bis zur Raumtemperatur, aber nicht darüber hinaus - das ist die Schranke. Die Formel dafür: f(t) = Schranke ± c·e^.
Bei Wachstum steht ein Minus vor dem c, bei Abnahme ein Plus. Die Schranke ist der Wert, dem sich die Funktion immer weiter annähert, aber nie überschreitet.
Für die Integration gibt's zwei wichtige Methoden. Bei linearen Exponenten verwendest du die Formel ∫ b·e^(ax) dx = ·e^(ax) + C. Bei komplizierteren Exponenten brauchst du die partielle Integration: ∫ u·v' = u·v - ∫ u'·v.
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Falls der Faktor nicht passt, rechnest du ihn einfach raus: ∫ 20x·e^(x²) dx = 10·∫ 2x·e^(x²) dx = 10·e^(x²) + C.
Logistisches Wachstum beschreibt realistisches Wachstum mit Grenzen: f(t) = G/. Dabei ist G der Maximalwert und k die Wachstumsrate.
Die Kurve sieht aus wie ein liegendes S: erst langsames Wachstum, dann schneller Anstieg, schließlich wieder Verlangsamung bis zum Maximum. Das erklärt Bevölkerungswachstum, Virenausbreitung oder Marktdurchdringung neuer Produkte.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Dieser Lernzettel behandelt die zentralen Themen der Mathematik-Klausur 2023, einschließlich der Bestimmung von Extremstellen durch Ableitungen, grafisches Ableiten, sowie grundlegende Konzepte der Stochastik wie bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis von Funktionen und deren Eigenschaften.
MatheErfahren Sie, wie Sie zusammengesetzte Funktionen ableiten können, einschließlich der Anwendung der Kettenregel und Produktregel. Diese Zusammenfassung bietet klare Rechenwege und Beispiele zur Differenzierung von Funktionen, die aus mehreren Komponenten bestehen. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Kosten- und Erlösanalyse in der Wirtschaft, einschließlich der Grenzkostenfunktion, Gewinnmaximierung, Preisbildung und Marktformen. Erfahren Sie, wie sich Kosten und Erlöse in verschiedenen Marktbedingungen verhalten und welche Rolle die Nachfrage- und Kostenfunktionen dabei spielen. Ideal für Studierende der Wirtschaftsmathematik.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Differenzialrechnung, einschließlich der Ableitungsregeln (Faktorregel, Potenzregel, Summenregel), der Kettenregel und Produktregel. Zudem werden Monotonie, Krümmung sowie Extrem- und Wendepunkte erläutert. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Ableitungs- und Integrationsregeln in der Differential- und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt die Differentiation, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, sowie spezielle Ableitungen und Integrationsmethoden. Ideal für Schüler der Q1, die sich auf Prüfungen vorbereiten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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