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22. Jan. 2026

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Exponentialfunktionen und E-Funktionen Lernhilfe

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Jenny

@jenny_brt

Exponentialfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum von... Mehr anzeigen

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# MATHE Klausur 3 22.02.2022

- Exponential funktionen:

  - allgemeine: $f(x) = c \cdot a^x$ $\rightarrow$ c = Anfangsbestand

  - a = Wach

Exponentialfunktionen verstehen und berechnen

Du kennst bestimmt schon lineare Funktionen - Exponentialfunktionen sind anders, weil die Variable im Exponenten steht. Die allgemeine Form ist f(x) = c · aˣ, wobei c dein Startbestand ist und a der Wachstumsfaktor.

Wenn a > 1 ist, hast du Wachstum (wie bei Zinsen). Wenn 0 < a < 1 ist, hast du Zerfall (wie bei radioaktiven Stoffen). Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = eˣ mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 ist besonders wichtig.

Um eine Exponentialfunktion aus zwei Punkten zu bestimmen, setzt du beide Punkte in die allgemeine Form ein. Das gibt dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - dann löst du das Gleichungssystem nach c und a auf.

Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ - das macht diese Funktion so besonders! Für andere Exponentialfunktionen gilt: f'(x) = c · ln(a) · aˣ. Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln(x).

💡 Merktipp: Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte ist immer der Wachstumsfaktor a!

# MATHE Klausur 3 22.02.2022

- Exponential funktionen:

  - allgemeine: $f(x) = c \cdot a^x$ $\rightarrow$ c = Anfangsbestand

  - a = Wach

Modellierung und erweiterte Ableitungsregeln

Beschränktes Wachstum funktioniert anders als normales exponentielles Wachstum - es gibt eine Obergrenze S (Sättigungswert). Die Formel lautet f(x) = S - d·aˣ, wobei S die maximale Grenze ist.

Bei verketteten Funktionen hast du eine äußere und eine innere Funktion: f(x) = u(v(x)). Die Kettenregel sagt: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) - also "äußere Ableitung mal innere Ableitung".

Für Produkte von Funktionen brauchst du die Produktregel: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Oft musst du beide Regeln kombinieren, besonders bei komplexeren Exponentialfunktionen.

Ein typisches Beispiel: f(x) = 3x·2x+42x+4⁵ brauchst du sowohl Produkt- als auch Kettenregel. Zuerst identifizierst du die Teile, dann wendest du systematisch beide Regeln an.

💡 Übungstipp: Schreib dir immer auf, welche Regel du wo anwendest - das verhindert Fehler bei komplexen Aufgaben!

# MATHE Klausur 3 22.02.2022

- Exponential funktionen:

  - allgemeine: $f(x) = c \cdot a^x$ $\rightarrow$ c = Anfangsbestand

  - a = Wach

Vollständige Funktionsuntersuchung meistern

Eine vollständige Funktionsuntersuchung läuft immer nach dem gleichen Schema ab - lerne die 10 Schritte auswendig! Besonders bei zusammengesetzten Funktionen solltest du die Funktion in Produktform bringen.

Die wichtigsten Schritte: Definitionsbereich bestimmen, Symmetrie prüfen (gerade oder ungerade Funktion?), Nullstellen finden (bei Produkten wird jeder Faktor einzeln betrachtet) und alle Ableitungen berechnen.

Für Extremstellen suchst du Nullstellen der ersten Ableitung f(x)=0f'(x) = 0 und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Wendestellen findest du über f''(x) = 0.

Das Verhalten für x → ±∞ untersuchst du, indem du sehr große positive oder negative Zahlen einsetzt. Bei Exponentialfunktionen "gewinnt" meist der e-Term - er wächst schneller als jede Polynomfunktion.

💡 Prüfungstipp: Zeichne deinen Graphen groß und markiere alle wichtigen Punkte deutlich - das bringt oft Extrapunkte!



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Mathe

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Exponentialfunktionen und E-Funktionen Lernhilfe

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Exponentialfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum von Bakterien bis hin zu radioaktivem Zerfall. Diese Zusammenfassung zeigt dir alle wichtigen Konzepte und Rechenregeln, die du für deine Klausur brauchst.

# MATHE Klausur 3 22.02.2022

- Exponential funktionen:

  - allgemeine: $f(x) = c \cdot a^x$ $\rightarrow$ c = Anfangsbestand

  - a = Wach

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Exponentialfunktionen verstehen und berechnen

Du kennst bestimmt schon lineare Funktionen - Exponentialfunktionen sind anders, weil die Variable im Exponenten steht. Die allgemeine Form ist f(x) = c · aˣ, wobei c dein Startbestand ist und a der Wachstumsfaktor.

Wenn a > 1 ist, hast du Wachstum (wie bei Zinsen). Wenn 0 < a < 1 ist, hast du Zerfall (wie bei radioaktiven Stoffen). Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = eˣ mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 ist besonders wichtig.

Um eine Exponentialfunktion aus zwei Punkten zu bestimmen, setzt du beide Punkte in die allgemeine Form ein. Das gibt dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - dann löst du das Gleichungssystem nach c und a auf.

Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ - das macht diese Funktion so besonders! Für andere Exponentialfunktionen gilt: f'(x) = c · ln(a) · aˣ. Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln(x).

💡 Merktipp: Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte ist immer der Wachstumsfaktor a!

# MATHE Klausur 3 22.02.2022

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Modellierung und erweiterte Ableitungsregeln

Beschränktes Wachstum funktioniert anders als normales exponentielles Wachstum - es gibt eine Obergrenze S (Sättigungswert). Die Formel lautet f(x) = S - d·aˣ, wobei S die maximale Grenze ist.

Bei verketteten Funktionen hast du eine äußere und eine innere Funktion: f(x) = u(v(x)). Die Kettenregel sagt: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) - also "äußere Ableitung mal innere Ableitung".

Für Produkte von Funktionen brauchst du die Produktregel: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Oft musst du beide Regeln kombinieren, besonders bei komplexeren Exponentialfunktionen.

Ein typisches Beispiel: f(x) = 3x·2x+42x+4⁵ brauchst du sowohl Produkt- als auch Kettenregel. Zuerst identifizierst du die Teile, dann wendest du systematisch beide Regeln an.

💡 Übungstipp: Schreib dir immer auf, welche Regel du wo anwendest - das verhindert Fehler bei komplexen Aufgaben!

# MATHE Klausur 3 22.02.2022

- Exponential funktionen:

  - allgemeine: $f(x) = c \cdot a^x$ $\rightarrow$ c = Anfangsbestand

  - a = Wach

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Eine vollständige Funktionsuntersuchung läuft immer nach dem gleichen Schema ab - lerne die 10 Schritte auswendig! Besonders bei zusammengesetzten Funktionen solltest du die Funktion in Produktform bringen.

Die wichtigsten Schritte: Definitionsbereich bestimmen, Symmetrie prüfen (gerade oder ungerade Funktion?), Nullstellen finden (bei Produkten wird jeder Faktor einzeln betrachtet) und alle Ableitungen berechnen.

Für Extremstellen suchst du Nullstellen der ersten Ableitung f(x)=0f'(x) = 0 und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Wendestellen findest du über f''(x) = 0.

Das Verhalten für x → ±∞ untersuchst du, indem du sehr große positive oder negative Zahlen einsetzt. Bei Exponentialfunktionen "gewinnt" meist der e-Term - er wächst schneller als jede Polynomfunktion.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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