Exponentialfunktionen verstehen und berechnen
Du kennst bestimmt schon lineare Funktionen - Exponentialfunktionen sind anders, weil die Variable im Exponenten steht. Die allgemeine Form ist f = c · aˣ, wobei c dein Startbestand ist und a der Wachstumsfaktor.
Wenn a > 1 ist, hast du Wachstum (wie bei Zinsen). Wenn 0 < a < 1 ist, hast du Zerfall (wie bei radioaktiven Stoffen). Die natürliche Exponentialfunktion f = eˣ mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 ist besonders wichtig.
Um eine Exponentialfunktion aus zwei Punkten zu bestimmen, setzt du beide Punkte in die allgemeine Form ein. Das gibt dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - dann löst du das Gleichungssystem nach c und a auf.
Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ - das macht diese Funktion so besonders! Für andere Exponentialfunktionen gilt: f' = c · ln · aˣ. Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln.
💡 Merktipp: Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte ist immer der Wachstumsfaktor a!
