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Mathe
12. Dez. 2025
1.783
3 Seiten
Jenny @jenny_brt
Exponentialfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum von Bakterien bis hin zu radioaktivem Zerfall. Diese Zusammenfassung... Mehr anzeigen
Du kennst bestimmt schon lineare Funktionen - Exponentialfunktionen sind anders, weil die Variable im Exponenten steht. Die allgemeine Form ist f(x) = c · aˣ, wobei c dein Startbestand ist und a der Wachstumsfaktor.
Wenn a > 1 ist, hast du Wachstum (wie bei Zinsen). Wenn 0 < a < 1 ist, hast du Zerfall (wie bei radioaktiven Stoffen). Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = eˣ mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 ist besonders wichtig.
Um eine Exponentialfunktion aus zwei Punkten zu bestimmen, setzt du beide Punkte in die allgemeine Form ein. Das gibt dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - dann löst du das Gleichungssystem nach c und a auf.
Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ - das macht diese Funktion so besonders! Für andere Exponentialfunktionen gilt f'(x) = c · ln(a) · aˣ. Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln(x).
💡 Merktipp Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte ist immer der Wachstumsfaktor a!
Beschränktes Wachstum funktioniert anders als normales exponentielles Wachstum - es gibt eine Obergrenze S (Sättigungswert). Die Formel lautet f(x) = S - d·aˣ, wobei S die maximale Grenze ist.
Bei verketteten Funktionen hast du eine äußere und eine innere Funktion f(x) = u(v(x)). Die Kettenregel sagt f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) - also "äußere Ableitung mal innere Ableitung".
Für Produkte von Funktionen brauchst du die Produktregel f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Oft musst du beide Regeln kombinieren, besonders bei komplexeren Exponentialfunktionen.
Ein typisches Beispiel f(x) = 3x·⁵ brauchst du sowohl Produkt- als auch Kettenregel. Zuerst identifizierst du die Teile, dann wendest du systematisch beide Regeln an.
💡 Übungstipp Schreib dir immer auf, welche Regel du wo anwendest - das verhindert Fehler bei komplexen Aufgaben!
Eine vollständige Funktionsuntersuchung läuft immer nach dem gleichen Schema ab - lerne die 10 Schritte auswendig! Besonders bei zusammengesetzten Funktionen solltest du die Funktion in Produktform bringen.
Die wichtigsten Schritte Definitionsbereich bestimmen, Symmetrie prüfen (gerade oder ungerade Funktion?), Nullstellen finden (bei Produkten wird jeder Faktor einzeln betrachtet) und alle Ableitungen berechnen.
Für Extremstellen suchst du Nullstellen der ersten Ableitung und prüfst mit der zweiten Ableitung f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Wendestellen findest du über f''(x) = 0.
Das Verhalten für x → ±∞ untersuchst du, indem du sehr große positive oder negative Zahlen einsetzt. Bei Exponentialfunktionen "gewinnt" meist der e-Term - er wächst schneller als jede Polynomfunktion.
💡 Prüfungstipp Zeichne deinen Graphen groß und markiere alle wichtigen Punkte deutlich - das bringt oft Extrapunkte!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Vertiefte Lerninhalte zur Normalverteilung, einschließlich Dichte- und Verteilungsfunktionen, Einzel- und Intervallwahrscheinlichkeiten. Zudem werden die Eigenschaften der e-Funktion, Ableitungsregeln, Tangentengleichungen sowie das Globalverhalten behandelt. Ideal für Mathematik LK Abiturvorbereitung.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der e-Funktionen und ln-Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Eigenschaften, Ableitungen, Asymptoten und Anwendungsbeispiele, um das Verständnis für natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen zu vertiefen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen, einschließlich ihrer Definition, Einfluss von Exponenten, grafische Darstellung und die Bedeutung von Definitions- und Wertemengen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte wie Streckung, Stauchung und die Anwendung der Exponentialgesetze. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich exponentiellem Wachstum und Abnahme, Halbwerts- und Verdoppelungszeiten. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Formeln zur Berechnung von Bakterienwachstum und Koffeinabbau. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheVertiefte Lernressourcen zu Exponentialfunktionen, Ableitungen und Integralrechnung. Dieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften der e-Funktion, Ableitungsregeln, uneigentliche Integrale und die Kurvendiskussion. Ideal für die Vorbereitung auf Mathe-Klausuren. Enthält wichtige Konzepte wie das Verhalten an Unendlichkeiten, Nullstellen und Extrempunkte.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponential- und Logarithmusfunktionen, einschließlich der natürlichen Exponentialfunktion, der Gesetze der Logarithmen und der Transformation von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über Definitionen, Ableitungen und das Verhalten von Funktionen, ideal für Schüler der 11. und 12. Klasse.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Julia S
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jenny
@jenny_brt
Exponentialfunktionen sind überall um uns herum - vom Wachstum von Bakterien bis hin zu radioaktivem Zerfall. Diese Zusammenfassung zeigt dir alle wichtigen Konzepte und Rechenregeln, die du für deine Klausur brauchst.
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Du kennst bestimmt schon lineare Funktionen - Exponentialfunktionen sind anders, weil die Variable im Exponenten steht. Die allgemeine Form ist f(x) = c · aˣ, wobei c dein Startbestand ist und a der Wachstumsfaktor.
Wenn a > 1 ist, hast du Wachstum (wie bei Zinsen). Wenn 0 < a < 1 ist, hast du Zerfall (wie bei radioaktiven Stoffen). Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = eˣ mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718 ist besonders wichtig.
Um eine Exponentialfunktion aus zwei Punkten zu bestimmen, setzt du beide Punkte in die allgemeine Form ein. Das gibt dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - dann löst du das Gleichungssystem nach c und a auf.
Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ - das macht diese Funktion so besonders! Für andere Exponentialfunktionen gilt: f'(x) = c · ln(a) · aˣ. Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln(x).
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Beschränktes Wachstum funktioniert anders als normales exponentielles Wachstum - es gibt eine Obergrenze S (Sättigungswert). Die Formel lautet f(x) = S - d·aˣ, wobei S die maximale Grenze ist.
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Für Produkte von Funktionen brauchst du die Produktregel: f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Oft musst du beide Regeln kombinieren, besonders bei komplexeren Exponentialfunktionen.
Ein typisches Beispiel: f(x) = 3x·⁵ brauchst du sowohl Produkt- als auch Kettenregel. Zuerst identifizierst du die Teile, dann wendest du systematisch beide Regeln an.
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Eine vollständige Funktionsuntersuchung läuft immer nach dem gleichen Schema ab - lerne die 10 Schritte auswendig! Besonders bei zusammengesetzten Funktionen solltest du die Funktion in Produktform bringen.
Die wichtigsten Schritte: Definitionsbereich bestimmen, Symmetrie prüfen (gerade oder ungerade Funktion?), Nullstellen finden (bei Produkten wird jeder Faktor einzeln betrachtet) und alle Ableitungen berechnen.
Für Extremstellen suchst du Nullstellen der ersten Ableitung und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Wendestellen findest du über f''(x) = 0.
Das Verhalten für x → ±∞ untersuchst du, indem du sehr große positive oder negative Zahlen einsetzt. Bei Exponentialfunktionen "gewinnt" meist der e-Term - er wächst schneller als jede Polynomfunktion.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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