Quadratische Funktionen: Dein Lernzettel mit Lösungen

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Valerie Sophie

3.3.2024

Mathe

Lernzettel quadratische Funktionen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen: Dein Lernzettel mit Lösungen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Quadratische Funktionen sind ein zentrales Thema der Mathematik, das dir hilft, Parabeln zu verstehen und zu analysieren. In diesem Lernzettel erfährst du, wie du zwischen verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen wechseln kannst, ihre Eigenschaften erkennst und wichtige Punkte wie den Scheitelpunkt berechnest. Du lernst, wie man mit der Normalform und Scheitelpunktform arbeitet und wie Parabeln durch Verschiebungen entlang der x- und y-Achse verändert werden können. Diese Fähigkeiten sind grundlegend für viele Anwendungsprobleme und bilden die Basis für komplexere mathematische Konzepte.

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3.3.2024

4170

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Quadratische Funktionen: Parabeln und Umformungsarten

Quadratische Funktionen erzeugen Parabeln, die in verschiedenen Formen dargestellt werden können:

Normalparabel: f $x$ = x²
Verschobene Normalparabel: f $x$ = x² + 3
Scheitelpunktform: f $x$ = $x-d$ ² + e mit Scheitelpunkt S $d|e$
Normalform: f $x$ = x² + px + q

Bei der Umwandlung zwischen diesen Formen helfen uns:

Binomische Formeln
Quadratische Ergänzung

Verschiedene Arten von Parabeln entstehen durch Verschiebungen:

y = x² + c → Verschiebung nach oben $c > 0$ oder unten $c < 0$ , S $0|c$
y = $x+d$ ² → Verschiebung nach links $d > 0$ oder rechts $d < 0$ , S $-d|0$
y = $x+d$ ² + c → Kombination beider Verschiebungen, S $-d|c$

Wichtig zu merken: Bei der Verschiebung einer Parabel in x-Richtung beachte das negative Vorzeichen: Bei y = $x+d$ ² liegt der Scheitelpunkt bei S $-d|0$ , nicht bei S $d|0$ !

Beispiel für Umformung: Gegeben sei f $x$ = $x-2$ ² - 7 mit S $2|-7$ Umformung in Normalform: f $x$ = x² - 4x + 4 - 7 = x² - 4x - 3

Übungsbeispiel: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform y = $x+1$ ² + 3 hat den Scheitelpunkt S $-1|3$ . Wandle diese in die Normalform um und bestimme die Parameter p und q.

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Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform

Die Umwandlung zwischen den beiden Darstellungsformen quadratischer Funktionen ist ein wichtiger Prozess:

Von der Scheitelpunktform zur Normalform:

Scheitelpunktform: y = $x+d$ ² + c
Normalform: y = x² + px + q

Beispiel: Gegeben: y = $x-1$ ² + 3 Umformung:

Ausmultiplizieren: y = x² - 2·x·1 + 1² + 3
Vereinfachen: y = x² - 2x + 1 + 3 = x² - 2x + 4

Nullstellenberechnung:

Bei quadratischen Funktionen in Normalform $f(x$ = x² + px + q) gibt es mehrere Wege:

Für lineare Funktionen $wenn die quadratische Funktion vereinfacht werden kann$ : Gegeben: f $x$ = -2x + 4 Setze f $xₙ$ = 0 0 = -2xₙ + 4 xₙ = 2
Für quadratische Funktionen - PQ-Formel: Anwendbar nur wenn x² den Koeffizienten 1 hat Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Merke: Die PQ-Formel wird nur angewendet, wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist. Ist das nicht der Fall, musst du die Gleichung zuerst durch den Koeffizienten von x² teilen.

Übungsaufgabe: Berechne die Nullstellen der Funktion f $x$ = x² - 2x + 4 mit Hilfe der PQ-Formel. Hat diese Funktion reelle Nullstellen?

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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3. März 2024

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Quadratische Funktionen: Dein Lernzettel mit Lösungen

Valerie Sophie

@valeriesophie_2023

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Quadratische Funktionen: Parabeln und Umformungsarten

Quadratische Funktionen erzeugen Parabeln, die in verschiedenen Formen dargestellt werden können:

Normalparabel: f $x$ = x²
Verschobene Normalparabel: f $x$ = x² + 3
Scheitelpunktform: f $x$ = $x-d$ ² + e mit Scheitelpunkt S $d|e$
Normalform: f $x$ = x² + px + q

Bei der Umwandlung zwischen diesen Formen helfen uns:

Binomische Formeln
Quadratische Ergänzung

Verschiedene Arten von Parabeln entstehen durch Verschiebungen:

y = x² + c → Verschiebung nach oben $c > 0$ oder unten $c < 0$ , S $0|c$
y = $x+d$ ² → Verschiebung nach links $d > 0$ oder rechts $d < 0$ , S $-d|0$
y = $x+d$ ² + c → Kombination beider Verschiebungen, S $-d|c$

Wichtig zu merken: Bei der Verschiebung einer Parabel in x-Richtung beachte das negative Vorzeichen: Bei y = $x+d$ ² liegt der Scheitelpunkt bei S $-d|0$ , nicht bei S $d|0$ !

Beispiel für Umformung: Gegeben sei f $x$ = $x-2$ ² - 7 mit S $2|-7$ Umformung in Normalform: f $x$ = x² - 4x + 4 - 7 = x² - 4x - 3

Übungsbeispiel: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform y = $x+1$ ² + 3 hat den Scheitelpunkt S $-1|3$ . Wandle diese in die Normalform um und bestimme die Parameter p und q.

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Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform

Die Umwandlung zwischen den beiden Darstellungsformen quadratischer Funktionen ist ein wichtiger Prozess:

Von der Scheitelpunktform zur Normalform:

Scheitelpunktform: y = $x+d$ ² + c
Normalform: y = x² + px + q

Beispiel: Gegeben: y = $x-1$ ² + 3 Umformung:

Ausmultiplizieren: y = x² - 2·x·1 + 1² + 3
Vereinfachen: y = x² - 2x + 1 + 3 = x² - 2x + 4

Nullstellenberechnung:

Bei quadratischen Funktionen in Normalform $f(x$ = x² + px + q) gibt es mehrere Wege:

Für lineare Funktionen $wenn die quadratische Funktion vereinfacht werden kann$ : Gegeben: f $x$ = -2x + 4 Setze f $xₙ$ = 0 0 = -2xₙ + 4 xₙ = 2
Für quadratische Funktionen - PQ-Formel: Anwendbar nur wenn x² den Koeffizienten 1 hat Formel: x₁/₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Merke: Die PQ-Formel wird nur angewendet, wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist. Ist das nicht der Fall, musst du die Gleichung zuerst durch den Koeffizienten von x² teilen.

Übungsaufgabe: Berechne die Nullstellen der Funktion f $x$ = x² - 2x + 4 mit Hilfe der PQ-Formel. Hat diese Funktion reelle Nullstellen?

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Umwandlungstechniken für quadratische Funktionen

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Um die Scheitelpunktform in die Normalform umzuwandeln, nutzen wir die binomischen Formeln:

$a+b$ ² = a² + 2ab + b²
$a-b$ ² = a² - 2ab + b²
$a+b$ $a-b$ = a² - b²

Beispiel: Gegeben sei f $x$ = $x+2$ ² + 1 mit Scheitelpunkt S $-2|1$

Umwandlung:

f $x$ = x² + 2·x·2 + 2² + 1
f $x$ = x² + 4x + 4 + 1
f $x$ = x² + 4x + 5

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Hier nutzen wir die quadratische Ergänzung:

Beispiel 1: f $x$ = x² + 4x - 5

Wir ergänzen $p/2$ ² und ziehen es wieder ab: f $x$ = x² + 4x + $4/2$ ² - $4/2$ ² - 5 f $x$ = x² + 4x + 4 - 4 - 5 f $x$ = $x+2$ ² - 9
Der Scheitelpunkt ist S $-2|-9$

Beispiel 2: y = x² - 6x - 8

Wir ergänzen $6/2$ ² und ziehen es wieder ab: y = x² - 6x + $6/2$ ² - $6/2$ ² - 8 y = x² - 6x + 9 - 9 - 8 y = $x-3$ ² - 17
Der Scheitelpunkt ist S $3|-17$

Merkhilfe: Bei der quadratischen Ergänzung nimmst du immer die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadrierst diesen Wert und ergänzt die Gleichung damit.

Übungstipp: Die Umwandlung zwischen Normalform und Scheitelpunktform ist eine häufige Aufgabe in Prüfungen. Sie hilft dir, den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden, was wiederum wichtig für die grafische Darstellung ist.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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