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Quadratische Funktionen Lernzettel für Mathe

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Valerie Sophie

3.3.2024

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Lernzettel quadratische Funktionen

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Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen Lernzettel für Mathe

Quadratische Funktionen sind ein faszinierendes Thema in der Mathematik, das uns ermöglicht, parabelförmige Kurven zu verstehen und zu analysieren. Diese Funktionen begegnen uns nicht nur im Matheunterricht, sondern auch in vielen Alltagssituationen - von der Flugbahn eines Balls bis hin zur Form von Brückenbögen. Das Verständnis der verschiedenen Darstellungsformen wie Normalform und Scheitelpunktform hilft uns, Parabeln zu verschieben, Scheitelpunkte zu bestimmen und Nullstellen zu berechnen. In den folgenden Zusammenfassungen werden wir diese wichtigen Konzepte leicht verständlich aufbereiten und anhand von Beispielen verdeutlichen.

...

3.3.2024

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Quadratische Funktionen Parabeln und Umformungsarten x² = Normalparabel x² + 3 = verschobene Normalparabel f(x) = (x-d)² + e = Scheitelpunkt

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Quadratische Funktionen: Parabeln und Umformungsarten

Typen quadratischer Funktionen:

  • Normalparabel: $y = x^2$
  • Vertikal verschobene Parabel: $y = x^2 + c$
  • Horizontal verschobene Parabel: $y = (x+d)^2$
  • Vollständig verschobene Parabel: $y = (x+d)^2 + c$

Wichtige Formen:

  • Scheitelpunktform: $f(x) = (x-d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt S(d|e)
  • Normalform: $y = x^2 + px + q$

Umformungstechniken:

  • Binomische Formeln zur Umwandlung
  • Quadratische Ergänzung

Praxistipp: Um eine Parabel einfach zu zeichnen, bestimme zuerst ihren Scheitelpunkt. Bei der Scheitelpunktform $(x-d)^2 + e$ kannst du ihn direkt ablesen: S(d|e).

Umformungsbeispiele:

  • $f(x) = (x-2)^2-7$ ausmultipliziert: $f(x) = x^2 - 4x + 4 - 7 = x^2 - 4x - 3$
  • $y = (x+1)^2 + 3$ ausmultipliziert: $y = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$

Nullstellenberechnung:

  • Bei Normalform $x^2 - 4x - 3 = 0$ sind p = -4 und q = -3
Quadratische Funktionen Parabeln und Umformungsarten x² = Normalparabel x² + 3 = verschobene Normalparabel f(x) = (x-d)² + e = Scheitelpunkt

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Scheitelpunktform und die Normalform

Grundlegende Darstellungsformen:

  • Scheitelpunktform: $y = (x+d)² + c$
  • Normalform: $y = x² + px + q$

Umformung zwischen den Formen:

  • Beispiel von Scheitelpunktform zu Normalform:
    • $y = (x-1)² + 3$
    • $y = x²-2x+1+3 = x²-2x+4$

Nullstellenberechnung:

  • Nullstellen (NST) findet man, wenn f(x) = 0 gilt
  • Für lineare Funktionen (wie $f(x) = -2x + 4$):
    • $0 = -2x_n + 4$
    • $x_n = 2$

Berechnungstipp: Bei quadratischen Funktionen in Normalform $(ax² + bx + c)$ berechnet man die Nullstellen mit der PQ-Formel: $x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$. Die Terme unter der Wurzel bestimmen die Anzahl der Nullstellen.

Y-Achsenabschnitt:

  • Der Y-Achsenabschnitt (YA) gibt an, wo die Funktion die y-Achse schneidet
  • YA ist immer f(0), also der Funktionswert bei x = 0
  • Beispiel: Bei $f(x) = -2x + 4$ ist YA = 4

Wichtiger Hinweis zur PQ-Formel:

  • Die PQ-Formel nur verwenden, wenn der Koeffizient vor $x²$ gleich 1 ist

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Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform Normalform Allgemeine Form Nullstellen Gleichungssystem

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3. März 2024

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Quadratische Funktionen Lernzettel für Mathe

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Valerie Sophie

@valeriesophie_2023

Quadratische Funktionen sind ein faszinierendes Thema in der Mathematik, das uns ermöglicht, parabelförmige Kurven zu verstehen und zu analysieren. Diese Funktionen begegnen uns nicht nur im Matheunterricht, sondern auch in vielen Alltagssituationen - von der Flugbahn eines Balls bis hin

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Quadratische Funktionen: Parabeln und Umformungsarten

Typen quadratischer Funktionen:

  • Normalparabel: $y = x^2$
  • Vertikal verschobene Parabel: $y = x^2 + c$
  • Horizontal verschobene Parabel: $y = (x+d)^2$
  • Vollständig verschobene Parabel: $y = (x+d)^2 + c$

Wichtige Formen:

  • Scheitelpunktform: $f(x) = (x-d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt S(d|e)
  • Normalform: $y = x^2 + px + q$

Umformungstechniken:

  • Binomische Formeln zur Umwandlung
  • Quadratische Ergänzung

Praxistipp: Um eine Parabel einfach zu zeichnen, bestimme zuerst ihren Scheitelpunkt. Bei der Scheitelpunktform $(x-d)^2 + e$ kannst du ihn direkt ablesen: S(d|e).

Umformungsbeispiele:

  • $f(x) = (x-2)^2-7$ ausmultipliziert: $f(x) = x^2 - 4x + 4 - 7 = x^2 - 4x - 3$
  • $y = (x+1)^2 + 3$ ausmultipliziert: $y = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$

Nullstellenberechnung:

  • Bei Normalform $x^2 - 4x - 3 = 0$ sind p = -4 und q = -3
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Scheitelpunktform und die Normalform

Grundlegende Darstellungsformen:

  • Scheitelpunktform: $y = (x+d)² + c$
  • Normalform: $y = x² + px + q$

Umformung zwischen den Formen:

  • Beispiel von Scheitelpunktform zu Normalform:
    • $y = (x-1)² + 3$
    • $y = x²-2x+1+3 = x²-2x+4$

Nullstellenberechnung:

  • Nullstellen (NST) findet man, wenn f(x) = 0 gilt
  • Für lineare Funktionen (wie $f(x) = -2x + 4$):
    • $0 = -2x_n + 4$
    • $x_n = 2$

Berechnungstipp: Bei quadratischen Funktionen in Normalform $(ax² + bx + c)$ berechnet man die Nullstellen mit der PQ-Formel: $x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$. Die Terme unter der Wurzel bestimmen die Anzahl der Nullstellen.

Y-Achsenabschnitt:

  • Der Y-Achsenabschnitt (YA) gibt an, wo die Funktion die y-Achse schneidet
  • YA ist immer f(0), also der Funktionswert bei x = 0
  • Beispiel: Bei $f(x) = -2x + 4$ ist YA = 4

Wichtiger Hinweis zur PQ-Formel:

  • Die PQ-Formel nur verwenden, wenn der Koeffizient vor $x²$ gleich 1 ist
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Scheitelpunktform zur Normalform

Die binomischen Formeln:

  1. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  2. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  3. $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Von Scheitelpunktform zu Normalform:

  • Beispiel mit SP S(-2|1):
    • $f(x) = (x+2)^2 + 1$
    • Ausmultiplizieren mit 1. binomischer Formel:
    • $f(x) = x^2 + 4x + 4 + 1 = x^2 + 4x + 5$

Anwendungstechnik: Die quadratische Ergänzung ist das wichtigste Verfahren, um eine quadratische Funktion in Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln. Dabei ergänzen wir den Term so, dass ein vollständiges Quadrat entsteht.

Von Normalform zu Scheitelpunktform:

  • Beispiel 1: $f(x) = x^2 + 4x - 5$
    • Hälfte des p-Wertes quadrieren: $(\frac{4}{2})^2 = 4$
    • Addieren und subtrahieren dieses Wertes: $f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4 - 5$
    • Zusammenfassen: $f(x) = (x+2)^2 - 9$
    • Daraus Scheitelpunkt ablesen: S(-2|-9)

Beispiel 2:

  • Gegeben: $y = x^2 - 6x - 8$
  • Quadratische Ergänzung:
    • $y = x^2 - 6x + 9 - 9 - 8$
    • $y = (x-3)^2 - 17$
    • Scheitelpunkt: S(3|-17)

Prüfe dein Verständnis:

  • In der Scheitelpunktform $(x-d)^2 + e$ ist der Scheitelpunkt bei S(d|e)
  • In der Scheitelpunktform $(x+d)^2 + e$ ist der Scheitelpunkt bei S(-d|e)

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Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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