Das Gauß-Verfahren: Erlaubte Rechenoperationen

Das Gauß-Verfahren macht aus unübersichtlichen Gleichungssystemen eine saubere Stufenform. Du darfst dabei drei Operationen verwenden, die das System nicht verändern.

Erste Operation: Du kannst die Zeilen beliebig umsortieren. Zweite Operation: Jede Zeile darf mit einer Zahl c≠0 multipliziert werden. Dritte Operation: Du kannst Zeilen addieren oder subtrahieren und eine davon durch das Ergebnis ersetzen.

Im ersten Schritt bringst du das System auf Stufenform. Das bedeutet: In jeder Zeile eliminierst du systematisch Variablen, bis am Ende eine Dreiecksform entsteht.

Merktipp: Das Gauß-Verfahren ist wie Aufräumen - du gehst Variable für Variable durch und "räumst" sie aus den unteren Zeilen raus!

Rückwärts auflösen: Der Weg zur Lösung

Sobald du die Stufenform erreicht hast, löst du von unten nach oben auf. Das nennt sich Rücksubstitution.

Du startest mit der untersten Gleichung, weil dort nur noch eine Variable steht. In unserem Beispiel: 5X₃ = 10, also X₃ = 2. Dann setzt du diesen Wert in die Gleichung darüber ein und löst nach X₂ auf.

Der letzte Schritt: X₂ = 0,5 setzt du in die oberste Gleichung ein und berechnest X₁ = -1. Deine Lösungsmenge ist L = {(-1; 0,5; 2)}.

So hast du systematisch ein kompliziertes System mit drei Unbekannten gelöst! Das Gauß-Verfahren funktioniert bei jedem linearen Gleichungssystem.

Prüftipp: Setze deine Lösung zur Kontrolle in die ursprünglichen Gleichungen ein - so merkst du sofort, ob du richtig gerechnet hast!