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Celine
25.11.2025
Mathe
lineare Algebra
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25. Nov. 2025
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Celine
@celli.o3
Willkommen zur Welt der Vektoren und analytischen Geometrie! Diese Übersicht... Mehr anzeigen
Du wirst überrascht sein, wie logisch Vektorrechnung eigentlich ist! Vektoren beschreiben einfach Verschiebungen im Raum - wie ein Pfeil mit bestimmter Länge und Richtung.
Die wichtigsten Rechenoperationen sind super einfach: Bei Addition und Subtraktion rechnest du einfach die entsprechenden Koordinaten zusammen oder voneinander ab. Bei der Multiplikation mit einer Zahl multiplizierst du jede Koordinate einzeln.
Den Betrag eines Vektors berechnest du mit der Formel |⃗a| = √ - das ist quasi der Satz des Pythagoras in 3D! Für den Abstand zwischen zwei Punkten verwendest du dieselbe Idee.
💡 Merktipp: Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, wie du von einem Punkt zum anderen kommst!
Das Skalarprodukt ⃗a · ⃗b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist besonders wichtig: Ist das Ergebnis 0, stehen die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander. Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander und zeigen in dieselbe Richtung.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst du systematisch: Setze beide Gleichungen gleich, bringe alle Unbekannten auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Das Gauß-Verfahren hilft dir bei komplizierteren Systemen.
Bei Geradenuntersuchungen schaust du dir die Richtungsvektoren an: Sind sie Vielfache voneinander, verlaufen die Geraden parallel oder sind identisch. Unterscheiden sich auch die Stützvektoren, sind sie windschief.
Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen (x, y, z). Die x-Achse zeichnest du 45° schräg nach hinten - das sieht dann richtig dreidimensional aus!
💡 Merktipp: Stelle dir Geraden wie Bahngleise vor - parallel, sich schneidend oder komplett aneinander vorbei!
Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit cos α = (⃗a · ⃗b)/(|⃗a| · |⃗b|). Vergiss nicht, am Ende arccos zu verwenden! Für Dreiecksberechnungen prüfst du mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Winkel 90° beträgt.
Ebenen kannst du auf verschiedene Arten darstellen: Die Parametergleichung E: ⃗x = ⃗p + r·⃗u + s·⃗v ist wie ein Bauplan mit einem Startpunkt und zwei Richtungen. Die Koordinatengleichung ax + by + cz = d ist kompakter.
Bei Gerade-Ebene-Schnitten setzt du die Gerade in die Ebene ein: Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen bedeuten, die Gerade liegt in der Ebene.
Das Lotfußpunktverfahren ist dein Werkzeug für Abstandsberechnungen: Stelle eine Lotgerade auf, finde den Schnittpunkt mit der Ebene (Lotfußpunkt) und berechne den Abstand.
💡 Merktipp: Stelle dir Ebenen wie große Tischplatten vor - eine Gerade kann sie durchstoßen, parallel dazu verlaufen oder darauf liegen!
Spurpunkte findest du, indem du jeweils eine Koordinate auf 0 setzt. Geradenscharen entstehen durch Parameter im Stützvektor (parallele Geraden) oder Richtungsvektor (Geradenbüschel um einen festen Punkt).
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Celine
@celli.o3
Willkommen zur Welt der Vektoren und analytischen Geometrie! Diese Übersicht hilft dir dabei, die wichtigsten Formeln und Verfahren zu verstehen, die du für Klausuren brauchst.
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Du wirst überrascht sein, wie logisch Vektorrechnung eigentlich ist! Vektoren beschreiben einfach Verschiebungen im Raum - wie ein Pfeil mit bestimmter Länge und Richtung.
Die wichtigsten Rechenoperationen sind super einfach: Bei Addition und Subtraktion rechnest du einfach die entsprechenden Koordinaten zusammen oder voneinander ab. Bei der Multiplikation mit einer Zahl multiplizierst du jede Koordinate einzeln.
Den Betrag eines Vektors berechnest du mit der Formel |⃗a| = √ - das ist quasi der Satz des Pythagoras in 3D! Für den Abstand zwischen zwei Punkten verwendest du dieselbe Idee.
💡 Merktipp: Vektoren sind wie Wegbeschreibungen - sie sagen dir, wie du von einem Punkt zum anderen kommst!
Das Skalarprodukt ⃗a · ⃗b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ist besonders wichtig: Ist das Ergebnis 0, stehen die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander. Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander und zeigen in dieselbe Richtung.
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Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst du systematisch: Setze beide Gleichungen gleich, bringe alle Unbekannten auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Das Gauß-Verfahren hilft dir bei komplizierteren Systemen.
Bei Geradenuntersuchungen schaust du dir die Richtungsvektoren an: Sind sie Vielfache voneinander, verlaufen die Geraden parallel oder sind identisch. Unterscheiden sich auch die Stützvektoren, sind sie windschief.
Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen (x, y, z). Die x-Achse zeichnest du 45° schräg nach hinten - das sieht dann richtig dreidimensional aus!
💡 Merktipp: Stelle dir Geraden wie Bahngleise vor - parallel, sich schneidend oder komplett aneinander vorbei!
Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit cos α = (⃗a · ⃗b)/(|⃗a| · |⃗b|). Vergiss nicht, am Ende arccos zu verwenden! Für Dreiecksberechnungen prüfst du mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Winkel 90° beträgt.
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Ebenen kannst du auf verschiedene Arten darstellen: Die Parametergleichung E: ⃗x = ⃗p + r·⃗u + s·⃗v ist wie ein Bauplan mit einem Startpunkt und zwei Richtungen. Die Koordinatengleichung ax + by + cz = d ist kompakter.
Bei Gerade-Ebene-Schnitten setzt du die Gerade in die Ebene ein: Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen bedeuten, die Gerade liegt in der Ebene.
Das Lotfußpunktverfahren ist dein Werkzeug für Abstandsberechnungen: Stelle eine Lotgerade auf, finde den Schnittpunkt mit der Ebene (Lotfußpunkt) und berechne den Abstand.
💡 Merktipp: Stelle dir Ebenen wie große Tischplatten vor - eine Gerade kann sie durchstoßen, parallel dazu verlaufen oder darauf liegen!
Spurpunkte findest du, indem du jeweils eine Koordinate auf 0 setzt. Geradenscharen entstehen durch Parameter im Stützvektor (parallele Geraden) oder Richtungsvektor (Geradenbüschel um einen festen Punkt).
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erfahre, wie man die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden bestimmt. Diese Zusammenfassung enthält Aufgaben, Lösungen und Erklärungen zu parallelen Linien und Schnittpunkten. Ideal für das Verständnis der Geometrie und zur Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheErforschen Sie die Lagebeziehungen zwischen Ebenen, einschließlich der Berechnung von Winkeln, der Bestimmung von Parallelität und Identität sowie der Schnittgeraden. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Anwendung der Parameter- und Koordinatenform. Ideal für Studierende der Geometrie und analytischen Geometrie.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Ebenen im Raum und die Anwendung von linearen Gleichungssystemen. Wichtige Themen sind die Orthogonalität von Vektoren, der Abstand von Punkten zu Ebenen, sowie die Berechnung von Winkeln und Volumina in einem prismatischen Kontext. Ideal für Studierende der Multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Vektoren, Abstandsberechnungen, orthogonalen Linien und der Berechnung von Volumen und Höhen von geometrischen Figuren wie Pyramiden. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Themen und Techniken, die für das Abitur relevant sind.
MatheEntdecken Sie Aufgaben zur analytischen Geometrie, die sich mit der Lage von Linien und Ebenen, dem Abstand zwischen Punkten und der Aufstellung von Gleichungen befassen. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren, inklusive Lösungen und Erklärungen zu den Hesse-Normalform, Koordinatengleichungen und mehr.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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