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Lösungen und Gleichungssysteme

Gleichungssystem

Mathe1.099Aktualisiert 2. Okt. 20263 Seiten

Einführung in Lineare Gleichungen - Klasse 9

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Maris Schirmer@marisschirmer_zajn
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Lineare Gleichungssysteme sind überall um dich herum - vom Handytarif bis zum Taschengeld-Budget. Du lernst hier, wie du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten löst und dabei immer die richtige Methode wählst.
Lineare Gleichungen – Seite 1

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Lösungsarten bei Gleichungssystemen

Keine Panik - lineare Gleichungssysteme haben nur drei mögliche Ausgänge, und du erkennst schnell, welcher vorliegt.

Bei einer eindeutigen Lösung schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt. Beispiel: y = -0,5x + 2 und y = 0,5x + 1 haben unterschiedliche Steigungen, also gibt es einen Schnittpunkt.

Keine Lösung bedeutet, die Geraden sind parallel. Sie haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte - wie y = -2x - 3 und y = -2x - 1. Die Lösungsmenge ist dann leer: L = { }.

Merktipp: Gleiche Steigung + verschiedene y-Werte = keine Lösung!

Unendlich viele Lösungen entstehen, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben. Nach dem Umformen erhältst du identische Gleichungen wie y = 3x - 1.

Lineare Gleichungen – Seite 2

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Rechnerische Lösungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist dein Freund, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variable aufgelöst sind. Du setzt die rechten Seiten gleich und löst nach einer Variable auf.

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt das Ergebnis in die andere ein. Perfekt, wenn eine Gleichung bereits nach x oder y aufgelöst ist, wie bei y = x + 4.

Nach dem Finden einer Variable setzt du den Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Die Probe ist dabei nicht optional - sie rettet dich vor Rechenfehlern!

Erfolgsgarantie: Immer beide Werte in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzen!

Wähle das Verfahren, das dir am wenigsten Rechenarbeit macht. Oft erkennst du auf den ersten Blick, welches am schnellsten zum Ziel führt.

Lineare Gleichungen – Seite 3

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Das Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist deine Geheimwaffe, wenn die anderen Methoden zu umständlich werden. Du eliminierst geschickt eine Variable durch Addition der Gleichungen.

Zuerst multiplizierst du eine oder beide Gleichungen so, dass eine Variable in beiden Gleichungen als Gegenzahlen auftaucht. Bei 2x + 2y = 18 und 3x + y = 15 multiplizierst du die zweite mit -2, um -2y zu erhalten.

Dann addierst du beide Gleichungen. Die Variable mit den Gegenzahlen fällt weg: 2x + 2y = 18 plus -6x - 2y = -30 ergibt -4x = -12, also x = 3.

Profi-Tipp: Wähle die Variable zum Eliminieren, die kleinere Koeffizienten hat!

Den gefundenen Wert setzt du in eine ursprüngliche Gleichung ein und findest die zweite Variable. Die Probe in beiden Gleichungen bestätigt dein Ergebnis - so wie L = (3|6).

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