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Mathe1,096 aufrufe·Aktualisiert Jun 11, 2026·3 SeitenEinführung in Lineare Gleichungen - Klasse 9
Maris Schirmer@marisschirmer_zajn
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Lösungsarten bei Gleichungssystemen
Keine Panik - lineare Gleichungssysteme haben nur drei mögliche Ausgänge, und du erkennst schnell, welcher vorliegt.
Bei einer eindeutigen Lösung schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt. Beispiel: y = -0,5x + 2 und y = 0,5x + 1 haben unterschiedliche Steigungen, also gibt es einen Schnittpunkt.
Keine Lösung bedeutet, die Geraden sind parallel. Sie haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte - wie y = -2x - 3 und y = -2x - 1. Die Lösungsmenge ist dann leer: L = { }.
Merktipp: Gleiche Steigung + verschiedene y-Werte = keine Lösung!
Unendlich viele Lösungen entstehen, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben. Nach dem Umformen erhältst du identische Gleichungen wie y = 3x - 1.
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Rechnerische Lösungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren ist dein Freund, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variable aufgelöst sind. Du setzt die rechten Seiten gleich und löst nach einer Variable auf.
Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt das Ergebnis in die andere ein. Perfekt, wenn eine Gleichung bereits nach x oder y aufgelöst ist, wie bei y = x + 4.
Nach dem Finden einer Variable setzt du den Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Die Probe ist dabei nicht optional - sie rettet dich vor Rechenfehlern!
Erfolgsgarantie: Immer beide Werte in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzen!
Wähle das Verfahren, das dir am wenigsten Rechenarbeit macht. Oft erkennst du auf den ersten Blick, welches am schnellsten zum Ziel führt.
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Das Additionsverfahren
Das Additionsverfahren ist deine Geheimwaffe, wenn die anderen Methoden zu umständlich werden. Du eliminierst geschickt eine Variable durch Addition der Gleichungen.
Zuerst multiplizierst du eine oder beide Gleichungen so, dass eine Variable in beiden Gleichungen als Gegenzahlen auftaucht. Bei 2x + 2y = 18 und 3x + y = 15 multiplizierst du die zweite mit -2, um -2y zu erhalten.
Dann addierst du beide Gleichungen. Die Variable mit den Gegenzahlen fällt weg: 2x + 2y = 18 plus -6x - 2y = -30 ergibt -4x = -12, also x = 3.
Profi-Tipp: Wähle die Variable zum Eliminieren, die kleinere Koeffizienten hat!
Den gefundenen Wert setzt du in eine ursprüngliche Gleichung ein und findest die zweite Variable. Die Probe in beiden Gleichungen bestätigt dein Ergebnis - so wie L = (3|6).
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Maris Schirmer@marisschirmer_zajn
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Lösungsarten bei Gleichungssystemen
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Bei einer eindeutigen Lösung schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt. Beispiel: y = -0,5x + 2 und y = 0,5x + 1 haben unterschiedliche Steigungen, also gibt es einen Schnittpunkt.
Keine Lösung bedeutet, die Geraden sind parallel. Sie haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte - wie y = -2x - 3 und y = -2x - 1. Die Lösungsmenge ist dann leer: L = { }.
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Rechnerische Lösungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren ist dein Freund, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variable aufgelöst sind. Du setzt die rechten Seiten gleich und löst nach einer Variable auf.
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Das Additionsverfahren
Das Additionsverfahren ist deine Geheimwaffe, wenn die anderen Methoden zu umständlich werden. Du eliminierst geschickt eine Variable durch Addition der Gleichungen.
Zuerst multiplizierst du eine oder beide Gleichungen so, dass eine Variable in beiden Gleichungen als Gegenzahlen auftaucht. Bei 2x + 2y = 18 und 3x + y = 15 multiplizierst du die zweite mit -2, um -2y zu erhalten.
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Profi-Tipp: Wähle die Variable zum Eliminieren, die kleinere Koeffizienten hat!
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