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Aktualisiert Mar 20, 2026
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Grundlagen der linearen Gleichungssysteme
Lou
@study_with_lou
Lineare Gleichungssysteme verstehen und lösen
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Du suchst dabei Werte für Variablen, die für alle Gleichungen funktionieren.
Es gibt drei bewährte Lösungsverfahren: Das Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen), das Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren und einsetzen) und das Additionsverfahren (Gleichungen geschickt addieren oder subtrahieren).
Mit dem CAS-Rechner geht's deutlich schneller: Menu > 3 > 7 > 1, Anzahl der Gleichungen angeben, Variablen benennen und fertig. Trotzdem solltest du die manuellen Verfahren beherrschen - sie kommen garantiert in der Klausur vor.
Tipp: Übe alle drei Verfahren, aber konzentriere dich auf das, was dir am leichtesten fällt!
Steckbriefaufgaben meistern
Bei Steckbriefaufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht, aber du bekommst verschiedene Eigenschaften als Hinweise. Diese wandelst du in mathematische Bedingungen um.
Typische Angaben sind: "geht durch den Ursprung" , "schneidet die y-Achse bei y=4" oder "hat einen Extrempunkt bei P(6|2)" . Aus diesen Bedingungen stellst du ein lineares Gleichungssystem auf.
Der Trick liegt darin, zuerst die allgemeine Funktionsgleichung mit unbekannten Parametern aufzuschreiben und dann systematisch alle gegebenen Informationen in mathematische Gleichungen zu übersetzen.
Merke dir: Extremstellen brauchen immer zwei Bedingungen - den Funktionswert UND f'(x)=0!
Extrempunkte finden
Extrempunkte zu bestimmen ist eigentlich ein systematisches Abarbeiten von Bedingungen. Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier können Extrempunkte liegen. Für die hinreichende Bedingung hast du zwei Möglichkeiten: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium oder das einfachere zweite Ableitung-Kriterium (f''(x) < 0 → Hochpunkt, f''(x) > 0 → Tiefpunkt).
Den y-Wert erhältst du, indem du die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt.
Praxistipp: Das zweite Ableitung-Kriterium ist meist schneller als das Vorzeichenwechsel-Kriterium!
Wendepunkte bestimmen
Wendepunkte funktionieren ähnlich, aber du arbeitest mit der zweiten und dritten Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0.
Für die hinreichende Bedingung checkst du entweder den Vorzeichenwechsel von f''(x) oder prüfst, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Ein Links-Rechts-Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x) das Vorzeichen von - nach + wechselt, ein Rechts-Links-Wendepunkt bei einem Wechsel von + nach -.
Falls du mal nicht weiterkommst, sind Studyflix.de und gut-erklaert.de super Anlaufstellen für zusätzliche Erklärungen.
Wichtig: Bei Wendepunkten reicht f''(x) = 0 allein nicht aus - du brauchst immer die hinreichende Bedingung!
Wir dachten schon, du fragst nie...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Grundlagen der linearen Gleichungssysteme
Lou
@study_with_lou
In der Mathematik der 11. Klasse begegnest du vielen wichtigen Konzepten, die aufeinander aufbauen. Heute schauen wir uns lineare Gleichungssysteme, Steckbriefaufgaben und die Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten an.
Lineare Gleichungssysteme verstehen und lösen
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Du suchst dabei Werte für Variablen, die für alle Gleichungen funktionieren.
Es gibt drei bewährte Lösungsverfahren: Das Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen), das Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren und einsetzen) und das Additionsverfahren (Gleichungen geschickt addieren oder subtrahieren).
Mit dem CAS-Rechner geht's deutlich schneller: Menu > 3 > 7 > 1, Anzahl der Gleichungen angeben, Variablen benennen und fertig. Trotzdem solltest du die manuellen Verfahren beherrschen - sie kommen garantiert in der Klausur vor.
Tipp: Übe alle drei Verfahren, aber konzentriere dich auf das, was dir am leichtesten fällt!
Steckbriefaufgaben meistern
Bei Steckbriefaufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht, aber du bekommst verschiedene Eigenschaften als Hinweise. Diese wandelst du in mathematische Bedingungen um.
Typische Angaben sind: "geht durch den Ursprung" , "schneidet die y-Achse bei y=4" oder "hat einen Extrempunkt bei P(6|2)" . Aus diesen Bedingungen stellst du ein lineares Gleichungssystem auf.
Der Trick liegt darin, zuerst die allgemeine Funktionsgleichung mit unbekannten Parametern aufzuschreiben und dann systematisch alle gegebenen Informationen in mathematische Gleichungen zu übersetzen.
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Extrempunkte finden
Extrempunkte zu bestimmen ist eigentlich ein systematisches Abarbeiten von Bedingungen. Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier können Extrempunkte liegen. Für die hinreichende Bedingung hast du zwei Möglichkeiten: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium oder das einfachere zweite Ableitung-Kriterium (f''(x) < 0 → Hochpunkt, f''(x) > 0 → Tiefpunkt).
Den y-Wert erhältst du, indem du die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt.
Praxistipp: Das zweite Ableitung-Kriterium ist meist schneller als das Vorzeichenwechsel-Kriterium!
Wendepunkte bestimmen
Wendepunkte funktionieren ähnlich, aber du arbeitest mit der zweiten und dritten Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0.
Für die hinreichende Bedingung checkst du entweder den Vorzeichenwechsel von f''(x) oder prüfst, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Ein Links-Rechts-Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x) das Vorzeichen von - nach + wechselt, ein Rechts-Links-Wendepunkt bei einem Wechsel von + nach -.
Falls du mal nicht weiterkommst, sind Studyflix.de und gut-erklaert.de super Anlaufstellen für zusätzliche Erklärungen.
Wichtig: Bei Wendepunkten reicht f''(x) = 0 allein nicht aus - du brauchst immer die hinreichende Bedingung!
Wir dachten schon, du fragst nie...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
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