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Lou
5.12.2025
Mathe
lineare Gleichungssysteme
1.772
•
5. Dez. 2025
•
Lou
@study_with_lou
In der Mathematik der 11. Klasse begegnest du vielen wichtigen... Mehr anzeigen
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Du suchst dabei Werte für Variablen, die für alle Gleichungen funktionieren.
Es gibt drei bewährte Lösungsverfahren: Das Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen), das Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren und einsetzen) und das Additionsverfahren (Gleichungen geschickt addieren oder subtrahieren).
Mit dem CAS-Rechner geht's deutlich schneller: Menu > 3 > 7 > 1, Anzahl der Gleichungen angeben, Variablen benennen und fertig. Trotzdem solltest du die manuellen Verfahren beherrschen - sie kommen garantiert in der Klausur vor.
Tipp: Übe alle drei Verfahren, aber konzentriere dich auf das, was dir am leichtesten fällt!
Bei Steckbriefaufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht, aber du bekommst verschiedene Eigenschaften als Hinweise. Diese wandelst du in mathematische Bedingungen um.
Typische Angaben sind: "geht durch den Ursprung" , "schneidet die y-Achse bei y=4" oder "hat einen Extrempunkt bei P(6|2)" . Aus diesen Bedingungen stellst du ein lineares Gleichungssystem auf.
Der Trick liegt darin, zuerst die allgemeine Funktionsgleichung mit unbekannten Parametern aufzuschreiben und dann systematisch alle gegebenen Informationen in mathematische Gleichungen zu übersetzen.
Merke dir: Extremstellen brauchen immer zwei Bedingungen - den Funktionswert UND f'(x)=0!
Extrempunkte zu bestimmen ist eigentlich ein systematisches Abarbeiten von Bedingungen. Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier können Extrempunkte liegen. Für die hinreichende Bedingung hast du zwei Möglichkeiten: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium oder das einfachere zweite Ableitung-Kriterium (f''(x) < 0 → Hochpunkt, f''(x) > 0 → Tiefpunkt).
Den y-Wert erhältst du, indem du die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt.
Praxistipp: Das zweite Ableitung-Kriterium ist meist schneller als das Vorzeichenwechsel-Kriterium!
Wendepunkte funktionieren ähnlich, aber du arbeitest mit der zweiten und dritten Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0.
Für die hinreichende Bedingung checkst du entweder den Vorzeichenwechsel von f''(x) oder prüfst, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Ein Links-Rechts-Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x) das Vorzeichen von - nach + wechselt, ein Rechts-Links-Wendepunkt bei einem Wechsel von + nach -.
Falls du mal nicht weiterkommst, sind Studyflix.de und gut-erklaert.de super Anlaufstellen für zusätzliche Erklärungen.
Wichtig: Bei Wendepunkten reicht f''(x) = 0 allein nicht aus - du brauchst immer die hinreichende Bedingung!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lou
@study_with_lou
In der Mathematik der 11. Klasse begegnest du vielen wichtigen Konzepten, die aufeinander aufbauen. Heute schauen wir uns lineare Gleichungssysteme, Steckbriefaufgaben und die Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten an.
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Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Du suchst dabei Werte für Variablen, die für alle Gleichungen funktionieren.
Es gibt drei bewährte Lösungsverfahren: Das Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen), das Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren und einsetzen) und das Additionsverfahren (Gleichungen geschickt addieren oder subtrahieren).
Mit dem CAS-Rechner geht's deutlich schneller: Menu > 3 > 7 > 1, Anzahl der Gleichungen angeben, Variablen benennen und fertig. Trotzdem solltest du die manuellen Verfahren beherrschen - sie kommen garantiert in der Klausur vor.
Tipp: Übe alle drei Verfahren, aber konzentriere dich auf das, was dir am leichtesten fällt!
Bei Steckbriefaufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht, aber du bekommst verschiedene Eigenschaften als Hinweise. Diese wandelst du in mathematische Bedingungen um.
Typische Angaben sind: "geht durch den Ursprung" , "schneidet die y-Achse bei y=4" oder "hat einen Extrempunkt bei P(6|2)" . Aus diesen Bedingungen stellst du ein lineares Gleichungssystem auf.
Der Trick liegt darin, zuerst die allgemeine Funktionsgleichung mit unbekannten Parametern aufzuschreiben und dann systematisch alle gegebenen Informationen in mathematische Gleichungen zu übersetzen.
Merke dir: Extremstellen brauchen immer zwei Bedingungen - den Funktionswert UND f'(x)=0!
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Extrempunkte zu bestimmen ist eigentlich ein systematisches Abarbeiten von Bedingungen. Zuerst bildest du die erste und zweite Ableitung der Funktion.
Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0 - hier können Extrempunkte liegen. Für die hinreichende Bedingung hast du zwei Möglichkeiten: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium oder das einfachere zweite Ableitung-Kriterium (f''(x) < 0 → Hochpunkt, f''(x) > 0 → Tiefpunkt).
Den y-Wert erhältst du, indem du die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt.
Praxistipp: Das zweite Ableitung-Kriterium ist meist schneller als das Vorzeichenwechsel-Kriterium!
Wendepunkte funktionieren ähnlich, aber du arbeitest mit der zweiten und dritten Ableitung. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0.
Für die hinreichende Bedingung checkst du entweder den Vorzeichenwechsel von f''(x) oder prüfst, ob f'''(x) ≠ 0 ist. Ein Links-Rechts-Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x) das Vorzeichen von - nach + wechselt, ein Rechts-Links-Wendepunkt bei einem Wechsel von + nach -.
Falls du mal nicht weiterkommst, sind Studyflix.de und gut-erklaert.de super Anlaufstellen für zusätzliche Erklärungen.
Wichtig: Bei Wendepunkten reicht f''(x) = 0 allein nicht aus - du brauchst immer die hinreichende Bedingung!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Entdecke die drei Hauptverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren. Diese Schritt-für-Schritt-Anleitung enthält anschauliche Beispiele und Erklärungen, um dir zu helfen, die Konzepte zu verstehen und anzuwenden. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Fähigkeiten in der Mathematik verbessern möchten.
MatheEntdecken Sie die verschiedenen Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen, einschließlich Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren. Diese Zusammenfassung bietet klare Schritte und Beispiele zur Anwendung jeder Methode, um lineare Gleichungen effektiv zu lösen.
MatheEntdecken Sie die Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen, einschließlich Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren und Gleichsetzungsverfahren. Diese Zusammenfassung bietet Schritt-für-Schritt-Anleitungen und Beispiele zur Anwendung der Verfahren auf lineare Gleichungen. Ideal für Studierende, die ihre numerischen Fähigkeiten verbessern möchten.
MatheDiese Zusammenfassung erklärt das Einsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Sie umfasst die Schritte zur Anwendung des Verfahrens, Beispiele zur Veranschaulichung und Tipps zur Umformung von Gleichungen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Substitutionsmethode vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die drei Hauptmethoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren und Gleichsetzungsverfahren. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen, um das Verständnis zu vertiefen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse auffrischen möchten.
MatheDetaillierte Erklärung des Einsetzungsverfahrens mit Beispielen und Anwendungsbereichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
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