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12
1
Veroni💫
15.12.2025
Mathe
lineare Gleichungssysteme und Quadratische Funktionen/Gleichungen
680
•
15. Dez. 2025
•
Veroni💫
@veronika_rau
Lineare Gleichungssysteme und quadratische Funktionen sind zentrale Themen in der... Mehr anzeigen
Du hast drei verschiedene Methoden zur Auswahl, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Jede hat ihre Vorteile je nach Aufgabenstellung.
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt sie gleich. Das funktioniert besonders gut, wenn eine Variable bereits isoliert ist oder leicht isoliert werden kann.
Das Einsetzungsverfahren nutzt du, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variable aufgelöst ist. Du setzt diese in die andere Gleichung ein und erhältst so eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
Tipp: Wähle immer das Verfahren, das dir bei der konkreten Aufgabe am einfachsten erscheint - alle führen zum gleichen Ergebnis!
Beim Additionsverfahren formst du die Gleichungen so um, dass vor einer Variable Gegenzahlen stehen. Dann addierst du beide Gleichungen und eliminierst eine Variable komplett.
Die Normalparabel mit der Gleichung y = x² ist dein Ausgangspunkt für alle quadratischen Funktionen. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei (0|0) und öffnet sich nach oben.
Der Parameter a in y = ax² bestimmt, wie deine Parabel aussieht. Bei a ≥ 1 wird sie "schlanker" und öffnet sich nach oben. Liegt a zwischen 0 und 1, wird sie "breiter" als die Normalparabel.
Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten. Bei -1 < a < 0 ist sie breit und nach unten geöffnet, bei a ≤ -1 schlank und nach unten geöffnet.
Merksatz: Positives a = nach oben geöffnet, negatives a = nach unten geöffnet. Je größer |a|, desto schlanker die Parabel!
Der Parameter c in y = ax² + c verschiebt die Parabel entlang der y-Achse. Positives c schiebt nach oben, negatives c nach unten. Der Scheitelpunkt liegt dann bei (0|c).
Mit der Scheitelpunktform y = ² + f kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen - aber Achtung bei den Vorzeichen! Der Scheitelpunkt liegt bei .
Der Parameter e verschiebt die Parabel horizontal: e > 0 bedeutet Verschiebung nach links, e < 0 nach rechts. Das ist oft verwirrend, weil das Vorzeichen "umgedreht" wird.
Die quadratische Ergänzung hilft dir, von der Normalform zur Scheitelpunktform zu kommen. Du nimmst die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadrierst sie und addierst und subtrahierst diesen Wert.
Beispiel: Aus y = x² + 6x + 5 wird y = ² - 4 mit Scheitelpunkt S(-3|-4).
Nullstellen sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Dort ist y = 0, weshalb du die Gleichung 0 = x² + px + q lösen musst.
Einfache quadratische Gleichungen der Form x² = a löst du durch Wurzelziehen. Denk daran: Es gibt immer zwei Lösungen ±√a, außer wenn a negativ ist - dann gibt es keine reellen Lösungen.
Die p-q-Formel ist dein Werkzeug für alle quadratischen Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0: x₁,₂ = -p/2 ± √
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ist sie positiv, hast du zwei verschiedene Lösungen. Bei null gibt es eine doppelte Lösung, bei negativen Werten keine reellen Lösungen.
Praxistipp: Mach immer die Probe, indem du deine Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzt!
Zeichnerisch findest du die Lösungen als Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Das hilft dir, deine Rechnung zu kontrollieren.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Veroni💫
@veronika_rau
Lineare Gleichungssysteme und quadratische Funktionen sind zentrale Themen in der Mathematik, die dir in Klausuren immer wieder begegnen werden. Hier lernst du die wichtigsten Lösungsverfahren und Eigenschaften kennen, die du für deine Tests brauchst.
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Du hast drei verschiedene Methoden zur Auswahl, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Jede hat ihre Vorteile je nach Aufgabenstellung.
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt sie gleich. Das funktioniert besonders gut, wenn eine Variable bereits isoliert ist oder leicht isoliert werden kann.
Das Einsetzungsverfahren nutzt du, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variable aufgelöst ist. Du setzt diese in die andere Gleichung ein und erhältst so eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
Tipp: Wähle immer das Verfahren, das dir bei der konkreten Aufgabe am einfachsten erscheint - alle führen zum gleichen Ergebnis!
Beim Additionsverfahren formst du die Gleichungen so um, dass vor einer Variable Gegenzahlen stehen. Dann addierst du beide Gleichungen und eliminierst eine Variable komplett.
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Die Normalparabel mit der Gleichung y = x² ist dein Ausgangspunkt für alle quadratischen Funktionen. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei (0|0) und öffnet sich nach oben.
Der Parameter a in y = ax² bestimmt, wie deine Parabel aussieht. Bei a ≥ 1 wird sie "schlanker" und öffnet sich nach oben. Liegt a zwischen 0 und 1, wird sie "breiter" als die Normalparabel.
Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten. Bei -1 < a < 0 ist sie breit und nach unten geöffnet, bei a ≤ -1 schlank und nach unten geöffnet.
Merksatz: Positives a = nach oben geöffnet, negatives a = nach unten geöffnet. Je größer |a|, desto schlanker die Parabel!
Der Parameter c in y = ax² + c verschiebt die Parabel entlang der y-Achse. Positives c schiebt nach oben, negatives c nach unten. Der Scheitelpunkt liegt dann bei (0|c).
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Mit der Scheitelpunktform y = ² + f kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen - aber Achtung bei den Vorzeichen! Der Scheitelpunkt liegt bei .
Der Parameter e verschiebt die Parabel horizontal: e > 0 bedeutet Verschiebung nach links, e < 0 nach rechts. Das ist oft verwirrend, weil das Vorzeichen "umgedreht" wird.
Die quadratische Ergänzung hilft dir, von der Normalform zur Scheitelpunktform zu kommen. Du nimmst die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadrierst sie und addierst und subtrahierst diesen Wert.
Beispiel: Aus y = x² + 6x + 5 wird y = ² - 4 mit Scheitelpunkt S(-3|-4).
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Einfache quadratische Gleichungen der Form x² = a löst du durch Wurzelziehen. Denk daran: Es gibt immer zwei Lösungen ±√a, außer wenn a negativ ist - dann gibt es keine reellen Lösungen.
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Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ist sie positiv, hast du zwei verschiedene Lösungen. Bei null gibt es eine doppelte Lösung, bei negativen Werten keine reellen Lösungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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