Was sind Funktionen und lineare Funktionen?

Eine Funktion ist wie eine Maschine: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Wenn ein x-Wert mehrere y-Werte haben könnte, ist es keine Funktion mehr.

Lineare Funktionen erkennst du an ihrer Form: y = mx + n. Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und n der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet). Diese Funktionen ergeben immer eine gerade Linie im Koordinatensystem.

Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, brauchst du zwei Punkte. Mit der Formel m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$ berechnest du die Steigung. Dann setzt du einen Punkt in die Gleichung ein, um n zu finden.

Tipp: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. Stimmen beide Seiten überein, liegt er drauf!

Geometrie mit Funktionen und quadratische Funktionen

Du kannst mit Steigungen prüfen, ob Vierecke Parallelogramme sind. Gegenüberliegende Seiten müssen die gleiche Steigung haben - sind sie parallel, hast du ein Parallelogramm gefunden.

Schnittpunkte mit den Achsen findest du, indem du x = 0 (für y-Achse) oder y = 0 (für x-Achse) einsetzt. Das brauchst du häufig zum Zeichnen von Funktionen.

Quadratische Funktionen haben die Form f$x$ = ax² + bx + c oder f$x$ = a$x - d$² + e. Sie bilden eine Parabel - nach oben oder unten geöffnet, je nach Vorzeichen von a. Der Scheitelpunkt liegt bei S(d|e) in der Scheitelpunktsform.

Merkhilfe: Die quadratische Ergänzung verwandelt die Normalform in die Scheitelpunktsform - nimm die Hälfte von b, quadriere sie, addiere und subtrahiere sie wieder.

Nullstellen und Schnittpunkte berechnen

Nullstellen sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Setze einfach f$x$ = 0 und löse die Gleichung. Bei einfachen Fällen wie x² - 25 = 0 ziehst du die Wurzel und erhältst ±5.

Wenn x ausgeklammert werden kann (wie bei x² + 3x), hast du automatisch eine Nullstelle bei x = 0. Die andere findest du, indem du die Klammer gleich null setzt.

Für komplizierte quadratische Gleichungen verwendest du die p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Das klingt kompliziert, ist aber nur Einsetzen und Rechnen.

Schnittpunkte zweier Funktionen findest du mit f$x$ = g$x$. Setze die beiden Funktionen gleich und löse nach x auf. Dann setzt du das Ergebnis in eine der Funktionen ein, um den y-Wert zu bekommen.

Praxis-Tipp: Bei Potenzfunktionen wie f$x$ = x³ bestimmt der Exponent die Form: Gerade Exponenten ergeben parabelähnliche Kurven, ungerade verlaufen von einer Ecke zur gegenüberliegenden.

Ganzrationale Funktionen und Definitions-/Wertemengen

Ganzrationale Funktionen sehen kompliziert aus: f$x$ = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀. Aber für das Unendlichkeitsverhalten schaust du nur auf den Term mit der höchsten Potenz - der bestimmt, wohin die Funktion für sehr große oder kleine x-Werte läuft.

Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du einsetzen darfst. Bei den meisten Funktionen ist das ℝ (alle reellen Zahlen). Aber Achtung: Bei Brüchen darf der Nenner nicht null werden, bei Wurzeln muss der Ausdruck positiv sein.

Die Wertemenge W zeigt, welche y-Werte rauskommen können. Bei x² sind das nur positive Zahlen und null (ℝ₀⁺), bei x³ alle reellen Zahlen (ℝ), weil negative x-Werte auch negative Ergebnisse liefern.

Eselsbrücke: Definitionsmenge = Was darf rein? Wertemenge = Was kann rauskommen? Bei geraden Exponenten kommt nie was Negatives raus, bei ungeraden schon.