Kurvendiskussion
Stell dir vor, du bist Detektiv und musst alles über eine Funktion herausfinden – genau das ist Kurvendiskussion! Du untersuchst systematisch alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion.
Die wichtigsten Schritte sind: Definitions- und Wertebereich bestimmen, Achsenschnittpunkte finden y−Achse:x=0einsetzen,x−Achse:Nullstellenberechnen, und Extrempunkte ermitteln. Bei Extrempunkten unterscheidest du zwischen Hochpunkten (Monotonie ändert sich von steigend zu fallend), Tiefpunkten (von fallend zu steigend) und Sattelpunkten (Monotonie bleibt gleich).
Für Wendepunkte brauchst du drei Ableitungen: Nullstellen der zweiten Ableitung finden, in die dritte Ableitung einsetzen zur Überprüfung, dann Wendestellen in die Ausgangsfunktion. Symmetrie erkennst du so: Achsensymmetrie wenn f(x) = f−x, Punktsymmetrie wenn -f(x) = f−x.
Merktipp: Extrempunkte zeigen, wo eine Funktion ihre "Richtung ändert" – wie Berggipfel und Täler!
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten: f'(x) > 0 bedeutet streng monoton steigend, f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend. Das checkst du, indem du Werte aus dem Intervall in die erste Ableitung einsetzt.