Mathe
Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Imperialismus und erster weltkrieg
Das 20. jahrhundert
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Frühe neuzeit
Die zeit des nationalsozialismus
Der mensch und seine geschichte
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Akteure internationaler politik in politischer perspektive
Großreiche
Alle Themen
Mathe
10. Dez. 2025
1.563
6 Seiten
Anja ✨ @anja_x
Funktionen sind das Herzstück der Oberstufen-Mathematik und kommen in jeder Klausur vor. Du lernst hier alles über verschiedene... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen wie f(x) = ax² + bx + c kennst du schon gut - sie haben den Definitionsbereich ℝ und keine Brüche im Term. Lineare und quadratische Funktionen gehören dazu.
Bei Wurzelfunktionen f(x) = ⁿ√x musst du aufpassen Der Definitionsbereich ist nur ℝ⁺, weil negative Zahlen unter geraden Wurzeln problematisch werden. Alle Wurzelfunktionen laufen durch den Punkt (1|1) - das ist super als Kontrolle.
Gebrochen-rationale Funktionen f(x) = u(x)/v(x) werden spannend, weil der Nenner nie null werden darf. Diese Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken und können zu senkrechten Asymptoten werden. Nullstellen des Zählers sind dagegen mögliche Nullstellen der ganzen Funktion.
Merktipp Bei Asymptoten zähle die Grade von Zähler und Nenner - das verrät dir sofort, welche Art von Asymptote vorliegt!
Die Exponentialfunktion f(x) = eˣ und die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) sind Umkehrfunktionen voneinander - was bei einer rauf geht, geht bei der anderen zur Seite.
Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen und nähern sich der x-Achse nur an. Logarithmusfunktionen haben dagegen die Nullstelle x = 1, weil ln(1) = 0 ist.
Ableitungsregeln sind dein Werkzeugkasten Potenzregel für xⁿ, Produktregel für u(x)·v(x), Quotientenregel für Brüche und die Kettenregel für verschachtelte Funktionen. Die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) brauchst du ständig.
Die mittlere Änderungsrate ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten m = /. Das ist wie die Steigung einer Geraden durch beide Punkte.
Kurvendiskussion-Workflow 1. Ableiten, 2. Nullstellen von f'(x) finden, 3. Vorzeichenwechsel prüfen!
Mit der zweiten Ableitung findest du Extrempunkte noch schneller f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0 bedeutet Minimum, f''(x₀) < 0 bedeutet Maximum. Viel direkter als Vorzeichentabellen!
Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x) Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln), ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Wendepunkte liegen dort, wo f''(x) = 0 ist UND die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Mit der dritten Ableitung geht's schneller f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 garantiert einen Wendepunkt.
Terrassenpunkte sind besondere Wendepunkte mit waagerechter Tangente - hier ist f'(x) = 0 UND f''(x) = 0, aber f'''(x) ≠ 0.
Eselsbrücke Bei Extremstellen ist die Steigung null, bei Wendestellen die Krümmung!
Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn sie streng monoton ist - also durchgehend steigt oder fällt. Den Term der Umkehrfunktion kriegst du durch Variablentausch y = f(x) nach x auflösen, dann x und y vertauschen.
Stammfunktionen sind das Gegenteil von Ableitungen F'(x) = f(x). Es gibt unendlich viele, weil konstante Zahlen beim Ableiten wegfallen - deshalb schreibst du immer +C dazu.
Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx = F(x) + C ist die Menge aller Stammfunktionen. Drei wichtige Integrationsregeln musst du draufhaben ∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)| + C, ∫f'(x)·e^f(x)dx = e^f(x) + C und ∫fdx = 1/a·F + C.
Zwischen Funktion f und Stammfunktion F gibt's coole Zusammenhänge Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel werden zu Extrema von F, Extremstellen von f zu Wendestellen von F.
Kontrolltipp Leite deine Stammfunktion ab - raus muss die ursprüngliche Funktion kommen!
Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf(x)dx = F(b) - F(a) ist eine konkrete Zahl und gibt die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ.
Vorsicht bei der Flächenberechnung Wenn der Graph die x-Achse kreuzt, musst du die Teilflächen getrennt berechnen und die Beträge addieren. Sonst können sich positive und negative Anteile gegenseitig aufheben.
Vorgehensweise für Flächen zwischen Graph und x-Achse Erst alle Nullstellen im Intervall finden, dann über jedes Teilintervall separat integrieren und die Beträge zusammenzählen.
Die Flächenbilanz kann positiv (mehr Fläche oberhalb), null oder negativ sein.
Achtung Flächeninhalt ist immer positiv, Flächenbilanz kann negativ werden!
Für Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen integrierst du über die Differenz f(x) - g(x). Dabei ist egal, welcher Graph oben liegt - du nimmst am Ende sowieso den Betrag.
Schritt-für-Schritt Erst die Schnittstellen der beiden Graphen im Intervall berechnen durch f(x) = g(x). Dann über jedes Teilintervall die Differenz f(x) - g(x) integrieren und die Beträge addieren.
Der Flächeninhalt ist A = |∫ᵃᵇdx|. Falls die Graphen sich im Intervall schneiden, musst du wieder in Teilintervalle aufteilen.
Diese Technik funktioniert auch, wenn beide Graphen komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse verlaufen - du betrachtest nur den Abstand zwischen ihnen.
Tipp Skizziere immer beide Graphen, dann siehst du sofort, welche Fläche gemeint ist!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
21
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Grenzwertbetrachtung für Funktionen, einschließlich der Analyse gegen Unendlichkeit und spezifische Werte. Diese Zusammenfassung behandelt Testeinsetzungen, Thermvereinfachungen und die Anwendung der Binomischen Formel. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Grenzwertprozesse vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen für einen polypolistischen Betrieb berechnen. Diese Zusammenfassung behandelt die Bestimmung des Break-Even-Punkts (BEP) und die Analyse von variablen und fixen Kosten. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich mit betriebswirtschaftlichen Grundlagen beschäftigen.
MatheErlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte des Limes und Grenzverhaltens von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, grafische Darstellungen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kosten- und Preistheorie, einschließlich Kostenverläufe, Grenzkostenfunktionen, Durchschnittskosten und Marktgleichgewicht. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und die Preisbildung durch Angebot und Nachfrage. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich auf Kostenrechnung und Marktanalysen vorbereiten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Anja ✨
@anja_x
Funktionen sind das Herzstück der Oberstufen-Mathematik und kommen in jeder Klausur vor. Du lernst hier alles über verschiedene Funktionstypen, ihre Eigenschaften und wie du sie analysierst - von ganzrationalen Funktionen bis hin zu Integralen.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Ganzrationale Funktionen wie f(x) = ax² + bx + c kennst du schon gut - sie haben den Definitionsbereich ℝ und keine Brüche im Term. Lineare und quadratische Funktionen gehören dazu.
Bei Wurzelfunktionen f(x) = ⁿ√x musst du aufpassen: Der Definitionsbereich ist nur ℝ⁺, weil negative Zahlen unter geraden Wurzeln problematisch werden. Alle Wurzelfunktionen laufen durch den Punkt (1|1) - das ist super als Kontrolle.
Gebrochen-rationale Funktionen f(x) = u(x)/v(x) werden spannend, weil der Nenner nie null werden darf. Diese Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken und können zu senkrechten Asymptoten werden. Nullstellen des Zählers sind dagegen mögliche Nullstellen der ganzen Funktion.
Merktipp: Bei Asymptoten zähle die Grade von Zähler und Nenner - das verrät dir sofort, welche Art von Asymptote vorliegt!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Die Exponentialfunktion f(x) = eˣ und die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) sind Umkehrfunktionen voneinander - was bei einer rauf geht, geht bei der anderen zur Seite.
Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen und nähern sich der x-Achse nur an. Logarithmusfunktionen haben dagegen die Nullstelle x = 1, weil ln(1) = 0 ist.
Ableitungsregeln sind dein Werkzeugkasten: Potenzregel für xⁿ, Produktregel für u(x)·v(x), Quotientenregel für Brüche und die Kettenregel für verschachtelte Funktionen. Die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) brauchst du ständig.
Die mittlere Änderungsrate ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten: m = /. Das ist wie die Steigung einer Geraden durch beide Punkte.
Kurvendiskussion-Workflow: 1. Ableiten, 2. Nullstellen von f'(x) finden, 3. Vorzeichenwechsel prüfen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Mit der zweiten Ableitung findest du Extrempunkte noch schneller: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0 bedeutet Minimum, f''(x₀) < 0 bedeutet Maximum. Viel direkter als Vorzeichentabellen!
Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x): Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln), ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Wendepunkte liegen dort, wo f''(x) = 0 ist UND die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Mit der dritten Ableitung geht's schneller: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 garantiert einen Wendepunkt.
Terrassenpunkte sind besondere Wendepunkte mit waagerechter Tangente - hier ist f'(x) = 0 UND f''(x) = 0, aber f'''(x) ≠ 0.
Eselsbrücke: Bei Extremstellen ist die Steigung null, bei Wendestellen die Krümmung!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn sie streng monoton ist - also durchgehend steigt oder fällt. Den Term der Umkehrfunktion kriegst du durch Variablentausch: y = f(x) nach x auflösen, dann x und y vertauschen.
Stammfunktionen sind das Gegenteil von Ableitungen: F'(x) = f(x). Es gibt unendlich viele, weil konstante Zahlen beim Ableiten wegfallen - deshalb schreibst du immer +C dazu.
Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx = F(x) + C ist die Menge aller Stammfunktionen. Drei wichtige Integrationsregeln musst du draufhaben: ∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)| + C, ∫f'(x)·e^f(x)dx = e^f(x) + C und ∫fdx = 1/a·F + C.
Zwischen Funktion f und Stammfunktion F gibt's coole Zusammenhänge: Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel werden zu Extrema von F, Extremstellen von f zu Wendestellen von F.
Kontrolltipp: Leite deine Stammfunktion ab - raus muss die ursprüngliche Funktion kommen!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf(x)dx = F(b) - F(a) ist eine konkrete Zahl und gibt die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ.
Vorsicht bei der Flächenberechnung: Wenn der Graph die x-Achse kreuzt, musst du die Teilflächen getrennt berechnen und die Beträge addieren. Sonst können sich positive und negative Anteile gegenseitig aufheben.
Vorgehensweise für Flächen zwischen Graph und x-Achse: Erst alle Nullstellen im Intervall finden, dann über jedes Teilintervall separat integrieren und die Beträge zusammenzählen.
Die Flächenbilanz kann positiv (mehr Fläche oberhalb), null oder negativ sein.
Achtung: Flächeninhalt ist immer positiv, Flächenbilanz kann negativ werden!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Für Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen integrierst du über die Differenz f(x) - g(x). Dabei ist egal, welcher Graph oben liegt - du nimmst am Ende sowieso den Betrag.
Schritt-für-Schritt: Erst die Schnittstellen der beiden Graphen im Intervall berechnen durch f(x) = g(x). Dann über jedes Teilintervall die Differenz f(x) - g(x) integrieren und die Beträge addieren.
Der Flächeninhalt ist A = |∫ᵃᵇdx|. Falls die Graphen sich im Intervall schneiden, musst du wieder in Teilintervalle aufteilen.
Diese Technik funktioniert auch, wenn beide Graphen komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse verlaufen - du betrachtest nur den Abstand zwischen ihnen.
Tipp: Skizziere immer beide Graphen, dann siehst du sofort, welche Fläche gemeint ist!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
21
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Grenzwertbetrachtung für Funktionen, einschließlich der Analyse gegen Unendlichkeit und spezifische Werte. Diese Zusammenfassung behandelt Testeinsetzungen, Thermvereinfachungen und die Anwendung der Binomischen Formel. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Grenzwertprozesse vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen für einen polypolistischen Betrieb berechnen. Diese Zusammenfassung behandelt die Bestimmung des Break-Even-Punkts (BEP) und die Analyse von variablen und fixen Kosten. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich mit betriebswirtschaftlichen Grundlagen beschäftigen.
MatheErlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte des Limes und Grenzverhaltens von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, grafische Darstellungen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kosten- und Preistheorie, einschließlich Kostenverläufe, Grenzkostenfunktionen, Durchschnittskosten und Marktgleichgewicht. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und die Preisbildung durch Angebot und Nachfrage. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich auf Kostenrechnung und Marktanalysen vorbereiten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
