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Aktualisiert Mar 21, 2026
•
Anja ✨
@anja_x
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Ganzrationale Funktionen wie f(x) = ax² + bx + c kennst du schon gut - sie haben den Definitionsbereich ℝ und keine Brüche im Term. Lineare und quadratische Funktionen gehören dazu.
Bei Wurzelfunktionen f(x) = ⁿ√x musst du aufpassen: Der Definitionsbereich ist nur ℝ⁺, weil negative Zahlen unter geraden Wurzeln problematisch werden. Alle Wurzelfunktionen laufen durch den Punkt (1|1) - das ist super als Kontrolle.
Gebrochen-rationale Funktionen f(x) = u(x)/v(x) werden spannend, weil der Nenner nie null werden darf. Diese Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken und können zu senkrechten Asymptoten werden. Nullstellen des Zählers sind dagegen mögliche Nullstellen der ganzen Funktion.
Merktipp: Bei Asymptoten zähle die Grade von Zähler und Nenner - das verrät dir sofort, welche Art von Asymptote vorliegt!

Die Exponentialfunktion f(x) = eˣ und die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) sind Umkehrfunktionen voneinander - was bei einer rauf geht, geht bei der anderen zur Seite.
Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen und nähern sich der x-Achse nur an. Logarithmusfunktionen haben dagegen die Nullstelle x = 1, weil ln(1) = 0 ist.
Ableitungsregeln sind dein Werkzeugkasten: Potenzregel für xⁿ, Produktregel für u(x)·v(x), Quotientenregel für Brüche und die Kettenregel für verschachtelte Funktionen. Die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) brauchst du ständig.
Die mittlere Änderungsrate ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten: m = /. Das ist wie die Steigung einer Geraden durch beide Punkte.
Kurvendiskussion-Workflow: 1. Ableiten, 2. Nullstellen von f'(x) finden, 3. Vorzeichenwechsel prüfen!

Mit der zweiten Ableitung findest du Extrempunkte noch schneller: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0 bedeutet Minimum, f''(x₀) < 0 bedeutet Maximum. Viel direkter als Vorzeichentabellen!
Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x): Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln), ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Wendepunkte liegen dort, wo f''(x) = 0 ist UND die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Mit der dritten Ableitung geht's schneller: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 garantiert einen Wendepunkt.
Terrassenpunkte sind besondere Wendepunkte mit waagerechter Tangente - hier ist f'(x) = 0 UND f''(x) = 0, aber f'''(x) ≠ 0.
Eselsbrücke: Bei Extremstellen ist die Steigung null, bei Wendestellen die Krümmung!

Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn sie streng monoton ist - also durchgehend steigt oder fällt. Den Term der Umkehrfunktion kriegst du durch Variablentausch: y = f(x) nach x auflösen, dann x und y vertauschen.
Stammfunktionen sind das Gegenteil von Ableitungen: F'(x) = f(x). Es gibt unendlich viele, weil konstante Zahlen beim Ableiten wegfallen - deshalb schreibst du immer +C dazu.
Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx = F(x) + C ist die Menge aller Stammfunktionen. Drei wichtige Integrationsregeln musst du draufhaben: ∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)| + C, ∫f'(x)·e^f(x)dx = e^f(x) + C und ∫fdx = 1/a·F + C.
Zwischen Funktion f und Stammfunktion F gibt's coole Zusammenhänge: Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel werden zu Extrema von F, Extremstellen von f zu Wendestellen von F.
Kontrolltipp: Leite deine Stammfunktion ab - raus muss die ursprüngliche Funktion kommen!

Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf(x)dx = F(b) - F(a) ist eine konkrete Zahl und gibt die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ.
Vorsicht bei der Flächenberechnung: Wenn der Graph die x-Achse kreuzt, musst du die Teilflächen getrennt berechnen und die Beträge addieren. Sonst können sich positive und negative Anteile gegenseitig aufheben.
Vorgehensweise für Flächen zwischen Graph und x-Achse: Erst alle Nullstellen im Intervall [a,b] finden, dann über jedes Teilintervall separat integrieren und die Beträge zusammenzählen.
Die Flächenbilanz kann positiv (mehr Fläche oberhalb), null oder negativ sein.
Achtung: Flächeninhalt ist immer positiv, Flächenbilanz kann negativ werden!

Für Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen integrierst du über die Differenz f(x) - g(x). Dabei ist egal, welcher Graph oben liegt - du nimmst am Ende sowieso den Betrag.
Schritt-für-Schritt: Erst die Schnittstellen der beiden Graphen im Intervall [a,b] berechnen durch f(x) = g(x). Dann über jedes Teilintervall die Differenz f(x) - g(x) integrieren und die Beträge addieren.
Der Flächeninhalt ist A = |∫ᵃᵇdx|. Falls die Graphen sich im Intervall schneiden, musst du wieder in Teilintervalle aufteilen.
Diese Technik funktioniert auch, wenn beide Graphen komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse verlaufen - du betrachtest nur den Abstand zwischen ihnen.
Tipp: Skizziere immer beide Graphen, dann siehst du sofort, welche Fläche gemeint ist!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Anja ✨
@anja_x
Funktionen sind das Herzstück der Oberstufen-Mathematik und kommen in jeder Klausur vor. Du lernst hier alles über verschiedene Funktionstypen, ihre Eigenschaften und wie du sie analysierst - von ganzrationalen Funktionen bis hin zu Integralen.

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Ganzrationale Funktionen wie f(x) = ax² + bx + c kennst du schon gut - sie haben den Definitionsbereich ℝ und keine Brüche im Term. Lineare und quadratische Funktionen gehören dazu.
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Die Exponentialfunktion f(x) = eˣ und die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) sind Umkehrfunktionen voneinander - was bei einer rauf geht, geht bei der anderen zur Seite.
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Die mittlere Änderungsrate ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten: m = /. Das ist wie die Steigung einer Geraden durch beide Punkte.
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Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x): Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein Lächeln), ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Wendepunkte liegen dort, wo f''(x) = 0 ist UND die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Mit der dritten Ableitung geht's schneller: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 garantiert einen Wendepunkt.
Terrassenpunkte sind besondere Wendepunkte mit waagerechter Tangente - hier ist f'(x) = 0 UND f''(x) = 0, aber f'''(x) ≠ 0.
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Stammfunktionen sind das Gegenteil von Ableitungen: F'(x) = f(x). Es gibt unendlich viele, weil konstante Zahlen beim Ableiten wegfallen - deshalb schreibst du immer +C dazu.
Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx = F(x) + C ist die Menge aller Stammfunktionen. Drei wichtige Integrationsregeln musst du draufhaben: ∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)| + C, ∫f'(x)·e^f(x)dx = e^f(x) + C und ∫fdx = 1/a·F + C.
Zwischen Funktion f und Stammfunktion F gibt's coole Zusammenhänge: Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel werden zu Extrema von F, Extremstellen von f zu Wendestellen von F.
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Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇf(x)dx = F(b) - F(a) ist eine konkrete Zahl und gibt die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ.
Vorsicht bei der Flächenberechnung: Wenn der Graph die x-Achse kreuzt, musst du die Teilflächen getrennt berechnen und die Beträge addieren. Sonst können sich positive und negative Anteile gegenseitig aufheben.
Vorgehensweise für Flächen zwischen Graph und x-Achse: Erst alle Nullstellen im Intervall [a,b] finden, dann über jedes Teilintervall separat integrieren und die Beträge zusammenzählen.
Die Flächenbilanz kann positiv (mehr Fläche oberhalb), null oder negativ sein.
Achtung: Flächeninhalt ist immer positiv, Flächenbilanz kann negativ werden!

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Entdecken Sie die Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen und Steckbriefaufgaben. Diese Zusammenfassung bietet Schritt-für-Schritt-Anleitungen, Beispielrechnungen und wichtige Konzepte wie Ableitungen, Wendepunkte und Gleichungssysteme. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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