Fächer
Mathe
Deutsch
Englisch
Biologie
Geschichte
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Imperialismus und erster weltkrieg
Das 20. jahrhundert
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Frühe neuzeit
Die zeit des nationalsozialismus
Der mensch und seine geschichte
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Akteure internationaler politik in politischer perspektive
Großreiche
Alle Themen
Mathe
1. Dez. 2025
475
11 Seiten
_jlwn @_jlwn
Mathematik kann manchmal überwältigend wirken, aber diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Konzepte auf einen Blick. Von trigonometrischen... Mehr anzeigen
Sinus, Cosinus und Tangens sind deine wichtigsten Werkzeuge bei rechtwinkligen Dreiecken. Du merkst dir einfach sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse, cos(α) = Ankathete/Hypotenuse und tan(α) = Gegenkathete/Ankathete.
Bei den Ableitungen ist es super einfach sin(x) wird zu cos(x), cos(x) wird zu -sin(x). Das brauchst du später für komplexere Aufgaben.
Ganzrationale Funktionen haben verschiedene Grade - je höher der Grad, desto mehr Wendepunkte und Nullstellen sind möglich. Das hilft dir beim Skizzieren von Graphen enorm.
Tipp Zeichne dir das rechtwinklige Dreieck immer auf - so vergisst du nie, welche Seite welche ist!
Die wichtigsten Flächenformeln solltest du auswendig können Rechteck , Kreis und Dreieck . Bei zusammengesetzten Figuren zerlegst du sie einfach in bekannte Formen.
Volumenberechnungen folgen ähnlichen Mustern. Quader funktioniert wie Rechteck, nur mit einer Dimension mehr . Bei Pyramiden und Kegeln kommt immer der Faktor ⅓ dazu.
Die Kugel ist besonders Oberfläche 4πr² und Volumen ⁴⁄₃πr³. Diese Formeln kommen in Klausuren sehr oft vor.
Merkhilfe Bei Körpern mit Spitze (Pyramide, Kegel) immer durch 3 teilen - sie haben ja nur ein Drittel vom entsprechenden Prisma!
Der Leitkoeffizient verrät dir sofort, wie sich deine Funktion verhält. Positiv bedeutet für große x-Werte geht die Funktion nach oben. Bei negativem Leitkoeffizienten geht's nach unten.
Symmetrie erkennst du an den Exponenten Nur gerade Exponenten = Achsensymmetrie zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten = Punktsymmetrie zum Ursprung.
Rechnerisch prüfst du das mit f. Kommt f(x) raus, hast du Achsensymmetrie. Kommt -f(x) raus, ist es Punktsymmetrie.
Eselsbrücke Gerade Exponenten = gerade Symmetrie (Achse), ungerade Exponenten = "schief" (Punkt)!
Nullstellen findest du mit verschiedenen Methoden. Wenn der Term als Produkt steht, nutzt du den Satz vom Nullprodukt - jeder Faktor kann null werden.
Beim Ausklammern holst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer. Die pq-Formel ist dein Retter bei quadratischen Gleichungen x = -p/2 ± √.
Bei biquadratischen Gleichungen (nur x⁴ und x²) substituierst du z = x². Dann löst du normal und substitutierst zurück.
Tipp Beginne immer mit Ausklammern - das vereinfacht oft schon die ganze Aufgabe erheblich!
Der Satz des Pythagoras ist fundamental für viele Berechnungen. Lineare Funktionen haben die Form y = mx + n, wobei m die Steigung ist.
Quadratische Funktionen können maximal 2 Nullstellen haben. Generell gilt Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Der Zusammenhang zwischen f, f' und f'' ist entscheidend f'(x) > 0 bedeutet f steigt, f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung. An Extrempunkten ist f'(x) = 0.
Merkregel Die Ableitung verrät dir die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung - wie beim Autofahren!
Drei Verfahren stehen dir zur Verfügung Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren. Beim Additionsverfahren eliminierst du eine Variable durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren.
Das Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide nach derselben Variable um.
Alle drei Methoden führen zum gleichen Ergebnis - wähle das, was dir am einfachsten erscheint.
Tipp Das Einsetzungsverfahren ist meist am übersichtlichsten, wenn eine Gleichung schon "fast aufgelöst" ist!
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante m = /. Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt.
Dafür brauchst du die Ableitung f'(x) an der Stelle x gibt dir die exakte Steigung. Das Monotonieverhalten erkennst du am Vorzeichen von f'(x).
f'(x) > 0 bedeutet streng monoton wachsend, f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend.
Physikalischer Bezug f(t) = Weg, f'(t) = Geschwindigkeit, f''(t) = Beschleunigung. So wird's anschaulich!
Die wichtigsten Ableitungsregeln Potenzregel (xⁿ wird zu n·xⁿ⁻¹), Faktorregel (konstante Faktoren bleiben), Summenregel (einzeln ableiten).
Produktregel (u·v)' = u'·v + u·v'. Kettenregel (u(v(x)))' = u'(v(x))·v'(x). Diese brauchst du bei zusammengesetzten Funktionen.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x) f''(x) > 0 = Linkskrümmung, f''(x) < 0 = Rechtskrümmung. Wendepunkte liegen bei f''(x) = 0.
Merkhilfe Links-krümmung wie ein Lächeln 😊, Rechts-krümmung wie Traurigkeit ☹️!
Extremstellen findest du in drei Schritten 1) f'(x) = 0 (notwendige Bedingung), 2) f''(x) ≠ 0 prüfen (hinreichende Bedingung), 3) y-Koordinate berechnen.
f''(x) < 0 → lokales Maximum, f''(x) > 0 → lokales Minimum. Bei Wendestellen ist f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.
Extremwertprobleme löst du systematisch Zielfunktion aufstellen, Nebenbedingung finden, in Zielfunktion einsetzen, extremieren.
Klausurtipp Vergiss nie die Randextrema zu überprüfen - sie sind oft die eigentliche Lösung!
Steckbriefaufgaben löst du in drei Schritten 1) Ansatz wählen (Grad der Funktion bestimmen), 2) Bedingungen aus den Informationen ableiten, 3) Gleichungssystem aufstellen und lösen.
Die Anzahl der Unbekannten muss der Anzahl der Bedingungen entsprechen. Symmetrieeigenschaften reduzieren die Parameter erheblich.
Typische Bedingungen "geht durch Punkt" → f(a) = b, "hat Extrempunkt" → f'(a) = 0, "hat Wendepunkt" → f''(a) = 0.
Erfolgsrezept Schreibe alle gegebenen Informationen systematisch als mathematische Bedingungen auf - dann wird's automatisch!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
5
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erlerne die Umwandlung quadratischer Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform. Diese Zusammenfassung behandelt die quadratische Ergänzung, Beispiele zur Veranschaulichung und die Anwendung der binomischen Formeln. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über Parabeln vertiefen möchten.
MatheErfahre alles über quadratische Funktionen: Darstellungsformen, Scheitelpunkte, Nullstellen, und die Transformation von Parabeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur quadratischen Ergänzung und zur Berechnung von Extremwerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung bietet eine detaillierte Anleitung zur quadratischen Ergänzung, einschließlich der Umwandlung in Normalform und Scheitelpunktform. Erfahren Sie, wie Sie die binomischen Formeln anwenden und die Schritte zur Umformung von Funktionen nachvollziehen können. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten in der Algebra verbessern möchten.
MatheEntdecken Sie die Umformung quadratischer Funktionen in verschiedene Formen: Scheitelpunktform, Normalform und faktorisierte Form. Lernen Sie wichtige Konzepte wie die Anwendung der binomischen Formeln und die Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über Parabeln vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten in Funktionen, einschließlich der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst spezifische Beispiele aus Lambacher Schweizer, S. 38, Nr. 1b, c und Nr. 20, und bietet klare Schritte zur Bestimmung der Bedingungen für Extrempunkte. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
_jlwn
@_jlwn
Mathematik kann manchmal überwältigend wirken, aber diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Konzepte auf einen Blick. Von trigonometrischen Funktionen über Geometrie bis hin zu Analysis - hier findest du alles, was du für die Oberstufe brauchst.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Sinus, Cosinus und Tangens sind deine wichtigsten Werkzeuge bei rechtwinkligen Dreiecken. Du merkst dir einfach: sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse, cos(α) = Ankathete/Hypotenuse und tan(α) = Gegenkathete/Ankathete.
Bei den Ableitungen ist es super einfach: sin(x) wird zu cos(x), cos(x) wird zu -sin(x). Das brauchst du später für komplexere Aufgaben.
Ganzrationale Funktionen haben verschiedene Grade - je höher der Grad, desto mehr Wendepunkte und Nullstellen sind möglich. Das hilft dir beim Skizzieren von Graphen enorm.
Tipp: Zeichne dir das rechtwinklige Dreieck immer auf - so vergisst du nie, welche Seite welche ist!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Die wichtigsten Flächenformeln solltest du auswendig können: Rechteck , Kreis und Dreieck . Bei zusammengesetzten Figuren zerlegst du sie einfach in bekannte Formen.
Volumenberechnungen folgen ähnlichen Mustern. Quader funktioniert wie Rechteck, nur mit einer Dimension mehr . Bei Pyramiden und Kegeln kommt immer der Faktor ⅓ dazu.
Die Kugel ist besonders: Oberfläche 4πr² und Volumen ⁴⁄₃πr³. Diese Formeln kommen in Klausuren sehr oft vor.
Merkhilfe: Bei Körpern mit Spitze (Pyramide, Kegel) immer durch 3 teilen - sie haben ja nur ein Drittel vom entsprechenden Prisma!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Der Leitkoeffizient verrät dir sofort, wie sich deine Funktion verhält. Positiv bedeutet: für große x-Werte geht die Funktion nach oben. Bei negativem Leitkoeffizienten geht's nach unten.
Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten = Achsensymmetrie zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten = Punktsymmetrie zum Ursprung.
Rechnerisch prüfst du das mit f. Kommt f(x) raus, hast du Achsensymmetrie. Kommt -f(x) raus, ist es Punktsymmetrie.
Eselsbrücke: Gerade Exponenten = gerade Symmetrie (Achse), ungerade Exponenten = "schief" (Punkt)!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Nullstellen findest du mit verschiedenen Methoden. Wenn der Term als Produkt steht, nutzt du den Satz vom Nullprodukt - jeder Faktor kann null werden.
Beim Ausklammern holst du gemeinsame Faktoren vor die Klammer. Die pq-Formel ist dein Retter bei quadratischen Gleichungen: x = -p/2 ± √.
Bei biquadratischen Gleichungen (nur x⁴ und x²) substituierst du z = x². Dann löst du normal und substitutierst zurück.
Tipp: Beginne immer mit Ausklammern - das vereinfacht oft schon die ganze Aufgabe erheblich!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Der Satz des Pythagoras ist fundamental für viele Berechnungen. Lineare Funktionen haben die Form y = mx + n, wobei m die Steigung ist.
Quadratische Funktionen können maximal 2 Nullstellen haben. Generell gilt: Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Der Zusammenhang zwischen f, f' und f'' ist entscheidend: f'(x) > 0 bedeutet f steigt, f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung. An Extrempunkten ist f'(x) = 0.
Merkregel: Die Ableitung verrät dir die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung - wie beim Autofahren!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Drei Verfahren stehen dir zur Verfügung: Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren. Beim Additionsverfahren eliminierst du eine Variable durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren.
Das Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide nach derselben Variable um.
Alle drei Methoden führen zum gleichen Ergebnis - wähle das, was dir am einfachsten erscheint.
Tipp: Das Einsetzungsverfahren ist meist am übersichtlichsten, wenn eine Gleichung schon "fast aufgelöst" ist!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante: m = /. Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt.
Dafür brauchst du die Ableitung: f'(x) an der Stelle x gibt dir die exakte Steigung. Das Monotonieverhalten erkennst du am Vorzeichen von f'(x).
f'(x) > 0 bedeutet streng monoton wachsend, f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend.
Physikalischer Bezug: f(t) = Weg, f'(t) = Geschwindigkeit, f''(t) = Beschleunigung. So wird's anschaulich!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Die wichtigsten Ableitungsregeln: Potenzregel (xⁿ wird zu n·xⁿ⁻¹), Faktorregel (konstante Faktoren bleiben), Summenregel (einzeln ableiten).
Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x))·v'(x). Diese brauchst du bei zusammengesetzten Funktionen.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''(x): f''(x) > 0 = Linkskrümmung, f''(x) < 0 = Rechtskrümmung. Wendepunkte liegen bei f''(x) = 0.
Merkhilfe: Links-krümmung wie ein Lächeln 😊, Rechts-krümmung wie Traurigkeit ☹️!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Extremstellen findest du in drei Schritten: 1) f'(x) = 0 (notwendige Bedingung), 2) f''(x) ≠ 0 prüfen (hinreichende Bedingung), 3) y-Koordinate berechnen.
f''(x) < 0 → lokales Maximum, f''(x) > 0 → lokales Minimum. Bei Wendestellen ist f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.
Extremwertprobleme löst du systematisch: Zielfunktion aufstellen, Nebenbedingung finden, in Zielfunktion einsetzen, extremieren.
Klausurtipp: Vergiss nie die Randextrema zu überprüfen - sie sind oft die eigentliche Lösung!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Werde Teil der Community
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie
Steckbriefaufgaben löst du in drei Schritten: 1) Ansatz wählen (Grad der Funktion bestimmen), 2) Bedingungen aus den Informationen ableiten, 3) Gleichungssystem aufstellen und lösen.
Die Anzahl der Unbekannten muss der Anzahl der Bedingungen entsprechen. Symmetrieeigenschaften reduzieren die Parameter erheblich.
Typische Bedingungen: "geht durch Punkt" → f(a) = b, "hat Extrempunkt" → f'(a) = 0, "hat Wendepunkt" → f''(a) = 0.
Erfolgsrezept: Schreibe alle gegebenen Informationen systematisch als mathematische Bedingungen auf - dann wird's automatisch!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
5
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erlerne die Umwandlung quadratischer Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform. Diese Zusammenfassung behandelt die quadratische Ergänzung, Beispiele zur Veranschaulichung und die Anwendung der binomischen Formeln. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über Parabeln vertiefen möchten.
MatheErfahre alles über quadratische Funktionen: Darstellungsformen, Scheitelpunkte, Nullstellen, und die Transformation von Parabeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur quadratischen Ergänzung und zur Berechnung von Extremwerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung bietet eine detaillierte Anleitung zur quadratischen Ergänzung, einschließlich der Umwandlung in Normalform und Scheitelpunktform. Erfahren Sie, wie Sie die binomischen Formeln anwenden und die Schritte zur Umformung von Funktionen nachvollziehen können. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten in der Algebra verbessern möchten.
MatheEntdecken Sie die Umformung quadratischer Funktionen in verschiedene Formen: Scheitelpunktform, Normalform und faktorisierte Form. Lernen Sie wichtige Konzepte wie die Anwendung der binomischen Formeln und die Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über Parabeln vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten in Funktionen, einschließlich der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst spezifische Beispiele aus Lambacher Schweizer, S. 38, Nr. 1b, c und Nr. 20, und bietet klare Schritte zur Bestimmung der Bedingungen für Extrempunkte. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
