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Krümmungsverhalten

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8. Dez. 2025

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Kurvenanpassung ganzrationaler Funktionen leicht gemacht

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Finja

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Ableitungen sind ein zentrales Werkzeug der Analysis, mit dem du... Mehr anzeigen

# GRUNDLAGEN Ableitung $f(x)= ax^n$ $f'(x)= n \cdot ax^{n-1} \longrightarrow bx^m$ $f'(x)= m \cdot bx^{n-1}$ L $\frac{-1}{x} \longrigh

Grundlagen der Ableitung

Die Potenzregel ist dein wichtigstes Tool: Aus f(x)=axnf(x) = ax^n wird f′(x)=n⋅axn−1f'(x) = n \cdot ax^{n-1}. Das funktioniert genauso bei Wurzeln und negativen Exponenten. Merke dir auch die Standardableitungen: sin⁡(x)→cos⁡(x)\sin(x) \rightarrow \cos(x), cos⁡(x)→−sin⁡(x)\cos(x) \rightarrow -\sin(x), und Konstanten werden zu Null.

Die erste Ableitung f′(x)f'(x) zeigt dir die Steigung der Tangente an jeder Stelle. Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion monoton. Bei f′(x)<0f'(x) < 0 fällt sie, und bei f′(x)=0f'(x) = 0 verläuft sie waagerecht.

Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x) beschreibt das Krümmungsverhalten. Positive Werte bedeuten Linkskrümmung (wie ein Lächeln), negative Werte Rechtskrümmung (wie ein trauriges Gesicht).

Tipp: Visualisiere dir immer, wie die Funktion aussieht - das macht die Ableitung viel verständlicher!

Bestimmen ganzrationaler Funktionen

Du gehst dabei systematisch vor: Erst skizzierst du grob den Verlauf, dann stellst du die allgemeine Funktionsgleichung mit Ableitungen auf. Anschließend formulierst du alle gegebenen Bedingungen und erstellst ein lineares Gleichungssystem (LGS).

Wichtige Regeln: Verwende immer den niedrigsten möglichen Grad und sorge dafür, dass du genauso viele Bedingungen wie Unbekannte hast. Bei punktsymmetrischen Funktionen mit ungeradem Grad fallen die geraden Exponenten weg.

Die Lösung des LGS gibt dir die gesuchte Funktion. Eine Probe mit dem CAS und ein Rückbezug zur ursprünglichen Situation runden deine Lösung ab.

Charakteristische Punkte bestimmen

Extrempunkte findest du über die notwendige Bedingung f′(x)=0f'(x) = 0. Setze die x-Werte dann in f(x)f(x) ein für die y-Koordinaten. Für die hinreichende Bedingung prüfst du das Vorzeichen von f′(x)f'(x): Wechsel von + zu - bedeutet Hochpunkt, von - zu + Tiefpunkt.

Wendepunkte erkennst du an f′′(x)=0f''(x) = 0. Hier ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion. Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte, die gleichzeitig die Extrempunkt-Bedingung erfüllen: f′(x)=0f'(x) = 0 und f′′(x)≠0f''(x) \neq 0.

Die Zusammenhänge zwischen f(x)f(x), f′(x)f'(x) und f′′(x)f''(x) sind dabei entscheidend: Wendepunkte von f(x)f(x) sind Extrempunkte von f′(x)f'(x) und Nullstellen von f′′(x)f''(x).

# GRUNDLAGEN Ableitung $f(x)= ax^n$ $f'(x)= n \cdot ax^{n-1} \longrightarrow bx^m$ $f'(x)= m \cdot bx^{n-1}$ L $\frac{-1}{x} \longrigh

Bedingungen richtig formulieren

Verschiedene Situationen führen zu unterschiedlichen mathematischen Bedingungen. "Durch Punkt (x|y)" bedeutet einfach f(x)=yf(x) = y. Eine Nullstelle bei x = 1 schreibst du als f(1)=0f(1) = 0.

Für Extrempunkte brauchst du zwei Bedingungen: f(x)=yf(x) = y für den Punkt und f′(x)=0f'(x) = 0 für die waagerechte Tangente. Wendepunkte erkennst du an f(x)=yf(x) = y, f′′(x)=0f''(x) = 0 und f′′′(x)≠0f'''(x) \neq 0.

Berührungssituationen sind besonders: Wenn zwei Funktionen sich berühren, haben sie an der Stelle den gleichen Funktionswert UND die gleiche Steigung. Bei senkrechten Verläufen multiplizierst du die Steigungen - das Ergebnis muss -1 sein.

Merkhilfe: Berührung = gleicher Punkt + gleiche Steigung!

Parametervariationen bei Funktionsscharen

Eine Funktionsschar wie fa(x)=x⋅(x−a)2f_a(x) = x \cdot (x-a)^2 beschreibt unendlich viele Funktionen, je nach Wahl des Parameters a. Jeder a-Wert erzeugt eine andere Funktion der Schar.

Um spezielle Eigenschaften zu finden, leitest du wie gewohnt ab: fa′(x)=3x2−4ax+a2f'_a(x) = 3x^2 - 4ax + a^2. Für Extrempunkte setzt du fa′(x)=0f'_a(x) = 0 und löst nach den entsprechenden Variablen auf.

Im Beispiel ergeben sich für verschiedene a-Werte unterschiedliche Extrempunkte. Die zweite Ableitung hilft dir zu entscheiden, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. So verstehst du, wie sich die gesamte Funktionsschar verhält.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Mathe

Funktionen und analysis

Krümmungsverhalten

Wendepunkt berechnen

 

Mathe

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633

•

8. Dez. 2025

•

2 Seiten

Kurvenanpassung ganzrationaler Funktionen leicht gemacht

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Finja

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Ableitungen sind ein zentrales Werkzeug der Analysis, mit dem du das Verhalten von Funktionen verstehen und analysieren kannst. Mit den richtigen Grundlagen und Techniken kannst du komplexe Funktionen bestimmen und ihre charakteristischen Punkte finden.

# GRUNDLAGEN Ableitung $f(x)= ax^n$ $f'(x)= n \cdot ax^{n-1} \longrightarrow bx^m$ $f'(x)= m \cdot bx^{n-1}$ L $\frac{-1}{x} \longrigh

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Grundlagen der Ableitung

Die Potenzregel ist dein wichtigstes Tool: Aus f(x)=axnf(x) = ax^n wird f′(x)=n⋅axn−1f'(x) = n \cdot ax^{n-1}. Das funktioniert genauso bei Wurzeln und negativen Exponenten. Merke dir auch die Standardableitungen: sin⁡(x)→cos⁡(x)\sin(x) \rightarrow \cos(x), cos⁡(x)→−sin⁡(x)\cos(x) \rightarrow -\sin(x), und Konstanten werden zu Null.

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Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x) beschreibt das Krümmungsverhalten. Positive Werte bedeuten Linkskrümmung (wie ein Lächeln), negative Werte Rechtskrümmung (wie ein trauriges Gesicht).

Tipp: Visualisiere dir immer, wie die Funktion aussieht - das macht die Ableitung viel verständlicher!

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Charakteristische Punkte bestimmen

Extrempunkte findest du über die notwendige Bedingung f′(x)=0f'(x) = 0. Setze die x-Werte dann in f(x)f(x) ein für die y-Koordinaten. Für die hinreichende Bedingung prüfst du das Vorzeichen von f′(x)f'(x): Wechsel von + zu - bedeutet Hochpunkt, von - zu + Tiefpunkt.

Wendepunkte erkennst du an f′′(x)=0f''(x) = 0. Hier ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion. Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte, die gleichzeitig die Extrempunkt-Bedingung erfüllen: f′(x)=0f'(x) = 0 und f′′(x)≠0f''(x) \neq 0.

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Ganzrationale Funktionen 3. & 4. Grades

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Funktionenkonstruktion Schritt-für-Schritt

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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