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Jule Mühlbauer
11.12.2025
Mathe
Mathe GK Q3 Abitur Hessen 2023
2.281
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11. Dez. 2025
•
Jule Mühlbauer
@julemhlbauer_uryc
Stochastik ist das mathematische Teilgebiet, das sich mit Zufallsexperimenten und... Mehr anzeigen
Zufallsexperimente sind Vorgänge, deren Ausgang du nicht vorhersagen kannst - selbst wenn du sie wiederholst. Ein Würfelwurf ist das perfekte Beispiel dafür. Bei Laplace-Experimenten haben alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Der Ergebnisraum Ω enthält alle möglichen Ergebnisse deines Experiments. Beim Würfel wäre das Ω = {1,2,3,4,5,6}. Ein Ereignis E ist eine Teilmenge davon - zum Beispiel "gerade Zahl" = {2,4,6}.
Besondere Ereignisse sind das unmögliche Ereignis und das sichere Ereignis . Das Gegenereignis Ē enthält alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören.
Merktipp: Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit bei vielen Wiederholungen um einen festen Wert stabilisiert - die Wahrscheinlichkeit!
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ereignis eingetreten ist. Die relative Häufigkeit teilt das durch die Gesamtzahl der Versuche. Diese nähert sich bei vielen Wiederholungen der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.
Die Summenregel besagt: P(E) = P(e₁) + P(e₂) + ... + P(eₖ). Du addierst einfach die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse in deinem Ereignis.
Für das Gegenereignis gilt immer: P(E) + P(Ē) = 1. Das macht Sinn - entweder tritt E ein oder eben nicht!
Wichtig: Der Additionssatz für zwei Ereignisse lautet P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∩ E₂). Sind die Ereignisse unvereinbar, fällt der letzte Term weg.
Mehrstufige Experimente bestehen aus mehreren hintereinander ausgeführten Einzelversuchen. Baumdiagramme helfen dir dabei, den Überblick zu behalten - jeder Ast zeigt eine Möglichkeit.
Die Pfadregeln sind deine besten Freunde: Erstens multiplizierst du alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades für die Pfadwahrscheinlichkeit. Zweitens addierst du alle relevanten Pfadwahrscheinlichkeiten für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Bei Laplace-Experimenten gilt: P(E) = (Anzahl günstiger Ergebnisse) / (Anzahl aller möglichen Ergebnisse). Die Produktregel hilft dir, die Gesamtzahl der Möglichkeiten zu berechnen: n₁ × n₂ × ... × nₖ.
Praxistipp: Beim Ziehen mit Zurücklegen aus n Kugeln k-mal hast du nᵏ Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen sind es n × × ... × Möglichkeiten.
Der Binomialkoeffizient (n über k) = n! / gibt an, wie viele k-elementige Teilmengen du aus n Elementen bilden kannst. Das brauchst du für ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet man mit: P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B). Das ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn B bereits eingetreten ist. Die Vierfeldertafel hilft dir dabei, den Überblick zu behalten.
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P_B(A) = P(A) gilt. Das Eintreten von B verändert also nicht die Wahrscheinlichkeit von A.
Merksatz: Der Multiplikationssatz lautet P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A). Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des zweiten.
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, mit welcher Wahrscheinlichkeit X jeden Wert annimmt.
Der Erwartungswert E(X) = x₁ × P + x₂ × P + ... ist der "durchschnittliche" Wert bei vielen Wiederholungen. Du multiplizierst jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles.
Die Varianz V(X) misst die Streuung um den Erwartungswert. Die Standardabweichung σ(X) = √V(X) gibt die Streuung in der ursprünglichen Einheit an.
Bernoulli-Experimente haben nur zwei Ausgänge: Treffer (mit Wahrscheinlichkeit p) und Niete . Eine n-fache Wiederholung heißt Bernoulli-Kette.
Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit: P = B(n;p;k) = (n über k) × pᵏ × ⁿ⁻ᵏ.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist μ = np. Die Varianz ist V(X) = np und die Standardabweichung σ = √.
Die Binomialverteilung hat interessante Eigenschaften: Bei p = 0,5 ist sie symmetrisch. Je größer n wird, desto breiter und symmetrischer wird die Verteilung. Das Maximum liegt bei np.
Beispiel: Bei 4 Würfelwürfen und der Suche nach Sechsen ist P = (4 über 2) × (1/6)² × (5/6)² ≈ 0,116.
Ein Hypothesentest prüft, ob eine Behauptung über einen Parameter (meist p) stimmt. Die Nullhypothese H₀ ist die zu testende Behauptung, die Alternativhypothese H₁ die Gegenbehauptung.
Beim linksseitigen Test ist H₁: p < p₀, beim rechtsseitigen Test ist H₁: p > p₀. Das Signifikanzniveau α (meist 0,05) gibt die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Die kritische Zahl k bestimmt die Entscheidungsregel. Du suchst das größte k, für das P(X ≤ k) ≤ α gilt (linksseitig) bzw. das kleinste k für P(X ≥ k) ≤ α (rechtsseitig).
Entscheidungsregel: Liegt dein Stichprobenergebnis im kritischen Bereich, verwirfst du H₀ und nimmst H₁ an. Sonst behältst du H₀ bei.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jule Mühlbauer
@julemhlbauer_uryc
Stochastik ist das mathematische Teilgebiet, das sich mit Zufallsexperimenten und Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Du lernst hier, wie du von einfachen Würfelwürfen bis hin zu komplexen statistischen Tests alles berechnen kannst, was mit dem Zufall zu tun hat.
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Zufallsexperimente sind Vorgänge, deren Ausgang du nicht vorhersagen kannst - selbst wenn du sie wiederholst. Ein Würfelwurf ist das perfekte Beispiel dafür. Bei Laplace-Experimenten haben alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Der Ergebnisraum Ω enthält alle möglichen Ergebnisse deines Experiments. Beim Würfel wäre das Ω = {1,2,3,4,5,6}. Ein Ereignis E ist eine Teilmenge davon - zum Beispiel "gerade Zahl" = {2,4,6}.
Besondere Ereignisse sind das unmögliche Ereignis und das sichere Ereignis . Das Gegenereignis Ē enthält alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören.
Merktipp: Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit bei vielen Wiederholungen um einen festen Wert stabilisiert - die Wahrscheinlichkeit!
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Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ereignis eingetreten ist. Die relative Häufigkeit teilt das durch die Gesamtzahl der Versuche. Diese nähert sich bei vielen Wiederholungen der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.
Die Summenregel besagt: P(E) = P(e₁) + P(e₂) + ... + P(eₖ). Du addierst einfach die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse in deinem Ereignis.
Für das Gegenereignis gilt immer: P(E) + P(Ē) = 1. Das macht Sinn - entweder tritt E ein oder eben nicht!
Wichtig: Der Additionssatz für zwei Ereignisse lautet P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∩ E₂). Sind die Ereignisse unvereinbar, fällt der letzte Term weg.
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Mehrstufige Experimente bestehen aus mehreren hintereinander ausgeführten Einzelversuchen. Baumdiagramme helfen dir dabei, den Überblick zu behalten - jeder Ast zeigt eine Möglichkeit.
Die Pfadregeln sind deine besten Freunde: Erstens multiplizierst du alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades für die Pfadwahrscheinlichkeit. Zweitens addierst du alle relevanten Pfadwahrscheinlichkeiten für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Bei Laplace-Experimenten gilt: P(E) = (Anzahl günstiger Ergebnisse) / (Anzahl aller möglichen Ergebnisse). Die Produktregel hilft dir, die Gesamtzahl der Möglichkeiten zu berechnen: n₁ × n₂ × ... × nₖ.
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Der Binomialkoeffizient (n über k) = n! / gibt an, wie viele k-elementige Teilmengen du aus n Elementen bilden kannst. Das brauchst du für ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet man mit: P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B). Das ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn B bereits eingetreten ist. Die Vierfeldertafel hilft dir dabei, den Überblick zu behalten.
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn P_B(A) = P(A) gilt. Das Eintreten von B verändert also nicht die Wahrscheinlichkeit von A.
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Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir, mit welcher Wahrscheinlichkeit X jeden Wert annimmt.
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Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit: P = B(n;p;k) = (n über k) × pᵏ × ⁿ⁻ᵏ.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist μ = np. Die Varianz ist V(X) = np und die Standardabweichung σ = √.
Die Binomialverteilung hat interessante Eigenschaften: Bei p = 0,5 ist sie symmetrisch. Je größer n wird, desto breiter und symmetrischer wird die Verteilung. Das Maximum liegt bei np.
Beispiel: Bei 4 Würfelwürfen und der Suche nach Sechsen ist P = (4 über 2) × (1/6)² × (5/6)² ≈ 0,116.
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Ein Hypothesentest prüft, ob eine Behauptung über einen Parameter (meist p) stimmt. Die Nullhypothese H₀ ist die zu testende Behauptung, die Alternativhypothese H₁ die Gegenbehauptung.
Beim linksseitigen Test ist H₁: p < p₀, beim rechtsseitigen Test ist H₁: p > p₀. Das Signifikanzniveau α (meist 0,05) gibt die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Die kritische Zahl k bestimmt die Entscheidungsregel. Du suchst das größte k, für das P(X ≤ k) ≤ α gilt (linksseitig) bzw. das kleinste k für P(X ≥ k) ≤ α (rechtsseitig).
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MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die Konzepte der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Binomialverteilung, einschließlich praktischer Beispiele und Berechnungen. Ideal für Schüler der 12. Klasse, die sich auf Klausuren vorbereiten. Themen: Baumdiagramme, Wahrscheinlichkeitsberechnungen, und stochastische Probleme.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in diesem umfassenden Lernmaterial. Erfahren Sie mehr über Binomialverteilungen, Binomialkoeffizienten, Zufallsvariablen und wichtige Formeln. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Stochastik vertiefen möchten. Enthält auch praktische CAS-Anleitungen zur Berechnung und Visualisierung von Daten.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Irrtumswahrscheinlichkeiten, Hypothesentests (1. und 2. Art), die Binomialverteilung sowie grundlegende Konzepte der Stochastik. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein vertieftes Verständnis für Wahrscheinlichkeiten und statistische Tests entwickeln möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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