Mathe Klasse 10: Wichtige Themen einfach erklärt

Exponentialfunktionen - Die Grundlagen

Die Exponentialfunktion hat die Form y = a · b^x, wobei a der Anfangswert und b der Wachstumsfaktor ist. Das Besondere: Die Variable x steht im Exponenten!

Zinseszinsen sind das perfekte Beispiel für exponentielles Wachstum. Wenn du 2000€ zu 5,9% für 15 Jahre anlegst, rechnest du: y = 2000 · 1,059^15 = 4725,74€. Der Zinssatz wird dabei als Dezimalzahl geschrieben (5,9% → 1,059).

Bei Abnahmeprozessen ist der Faktor kleiner als 1. Wenn Radioaktivität in 5 Jahren auf 80% sinkt, bedeutet das: 80 = 100 · b^5. Daraus folgt b = 0,96, also eine Abnahmerate von 4% pro Jahr.

💡 Merktipp: Wachstumsfaktor > 1 = Zunahme, Wachstumsfaktor < 1 = Abnahme

Parameter und ihre Auswirkungen

Die Exponentialfunktion f$x$ = a · b^$mx + d$ + c hat verschiedene Parameter, die den Graphen beeinflussen. Der Parameter a streckt oder staucht den Graphen in y-Richtung, während c ihn nach oben oder unten verschiebt.

Die Asymptote (eine Linie, der sich der Graph annähert) verschiebt sich von y = 0 auf y = c. Das ist wichtig für die Bestimmung von Funktionsgleichungen.

Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Aus a^b = c wird log_a c = b. Die wichtigsten Rechenregeln sind: log(p·q) = log p + log q und log$p^r$ = r · log p.

Bei Gleichungen lösen mit Logarithmus verwendest du den natürlichen Logarithmus (ln). Für 6^x = 216 rechnest du: x = ln(216)/ln(6) = 3.

💡 Merktipp: Logarithmieren macht aus Multiplikation Addition und aus Potenzen Multiplikation

Logarithmusfunktionen verstehen

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Das bedeutet: Alle x- und y-Werte werden vertauscht, und der Graph wird an der Geraden y = x gespiegelt.

Funktionsgleichungen bestimmen gelingt durch Einsetzen von bekannten Punkten. Bei h$x$ = a · b^x mit den Punkten P$0|-4$ und Q$4|-1$ erhältst du: a = -4 und b = 1/2, also h$x$ = -4 · $1/2$^x.

Die Potenz- und Wurzelgesetze sind deine Freunde beim Vereinfachen. Beispiel: √(2a³) · √(4a³) = √(8a⁶) = 2√2 · a³. Bei negativen Exponenten denkst du daran, dass b^$-2$ = 1/b² bedeutet.

Asymptoten erkennst du am Grenzwert: Wenn lim(x→∞) f$x$ = -2 ist, dann ist y = -2 deine Asymptote.

💡 Merktipp: Bei der Umkehrfunktion werden Definitions- und Wertebereich vertauscht

Formelsammlung kompakt

Die binomischen Formeln $a+b$² = a² + 2ab + b² sparst du dir Zeit bei Berechnungen. Die pq-Formel x = -p/2 ± √$(p/2)² - q$ löst quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0.

Potenzgesetze vereinfachen komplexe Ausdrücke: a^n · a^m = a^$n+m$ und $a^n$^m = a^(n·m). Diese Regeln gelten auch für Exponentialfunktionen.

Bei Potenzfunktionen y = x^n bestimmt der Exponent das Verhalten: Gerade Exponenten ergeben achsensymmetrische Graphen, ungerade Exponenten punktsymmetrische.

Koordinaten berechnen funktioniert durch Einsetzen. Bei f$x$ = x⁴ und dem Punkt B$x_B|4$ rechnest du: 4 = x_B⁴, also x_B = ±⁴√4.

💡 Merktipp: Bei geraden Wurzeln gibt es immer positive und negative Lösungen!

Geometrie-Formeln im Überblick

Flächenberechnungen für ebene Figuren: Kreis A = πr², Dreieck A = ½·g·h, Parallelogramm A = a·h. Diese Grundformeln brauchst du ständig.

Bei Körpern unterscheidest du zwischen Oberfläche und Volumen. Würfel: V = a³ und A = 6a², Zylinder: V = πr²h und A = 2πr$r+h$.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete.

Für beliebige Dreiecke verwendest du den Sinussatz a/sin α = b/sin β = c/sin γ oder den Kosinussatz a² = b² + c² - 2bc·cos α.

💡 Merktipp: SOH-CAH-TOA hilft dir, die Winkelfunktionen nicht zu verwechseln!

Prüfungsvorbereitung 10. Klasse

Quadratische Funktionen in drei Formen: Allgemeine Form f$x$ = ax² + bx + c, Scheitelpunktform f$x$ = a$x+d$² + e, Normalform f$x$ = x² + px + q. Jede Form hat ihre Vorteile beim Ablesen von Eigenschaften.

Der Scheitelpunkt bestimmt die "Spitze" der Parabel. Bei a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben, bei a < 0 nach unten. Der Betrag von a bestimmt, ob sie gestreckt oder gestaucht ist.

Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander. Ihre Steigungen sind negative Kehrwerte: Wenn f$x$ = 2x + 4, dann ist die orthogonale Gerade g$x$ = -½x + b.

Die Potenzgesetze sind universell: a^n · a^m = a^$n+m$, a^n : a^m = a^$n-m$, (ab)^n = a^n · b^n.

💡 Merktipp: Bei Wurzeln immer beide Vorzeichen beachten: √4 = ±2!

Die Sinusfunktion verstehen

Die Sinusfunktion y = sin x schwingt zwischen -1 und +1 und hat eine Periode von 2π (360°). Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin$-x$ = -sin$x$.

Wichtige Werte kennst du auswendig: sin 0° = 0, sin 30° = ½, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. Diese Werte wiederholen sich im Verlauf der Funktion.

Parameterveränderungen bei f$x$ = a·sin$bx + c$ + d: |a| ist die Amplitude (maximale Auslenkung), b bestimmt die Periode $2π/b$, c verschiebt horizontal, d vertikal.

Das Bogenmaß ist eine alternative Winkelangabe: 180° entsprechen π, 90° entsprechen π/2. Die Umrechnung: Bogenmaß = (Gradmaß · π)/180°.

💡 Merktipp: Die Sinusfunktion startet bei (0|0) und geht erst nach oben!

Trigonometrie und Geometrie-Grundlagen

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck: sin, cos und tan verbinden Winkel mit Seitenverhältnissen. Die Umkehrfunktionen (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) berechnen Winkel aus Seitenverhältnissen.

Geometrische Begriffe musst du unterscheiden: Sekante schneidet den Kreis zweimal, Tangente berührt ihn nur einmal, Sehne verbindet zwei Punkte auf dem Kreis.

Winkelarten reichen vom Nullwinkel (0°) über spitze (< 90°), rechte (90°), stumpfe (90° bis 180°) bis zu überstumpfen Winkeln (> 180°).

Orthogonale Geraden schneiden sich im rechten Winkel (90°). Das ist besonders wichtig bei Konstruktionen und Berechnungen.

💡 Merktipp: Eine Tangente "tangiert" (berührt) den Kreis nur an einem Punkt!

Flächen und Körper berechnen

Flächenformeln für Grundfiguren: Parallelogramm A = a·h, Trapez A = ½$a+c$·h, Raute und Drachenviereck A = ½·e·f (Diagonalen). Bei zusammengesetzten Figuren addierst du die Teilflächen.

Volumenberechnungen bei Körpern: Prisma V = Grundfläche·Höhe, Pyramide V = ⅓·Grundfläche·Höhe, Kugel V = $4/3$πr³. Die Kegel- und Pyramidenformel haben den Faktor ⅓!

Oberflächenberechnungen setzen sich aus Grund-, Deck- und Mantelflächen zusammen. Beim Zylinder: A = 2πr² + 2πrh = 2πr$r+h$.

Trigonometrische Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken: Aus sin 30° = ½ und gegebener Hypotenuse berechnest du die Gegenkathete durch Umstellen.

💡 Merktipp: Pyramiden und Kegel haben immer den Faktor ⅓ im Volumen!