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6. Feb. 2026

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Einführung in mehrstufige Zufallsexperimente

F

Flora

@therealfob_jyoj

Mehrstufige Zufallsexperimente sind der Schlüssel zu vielen realen Wahrscheinlichkeitsproblemen –... Mehr anzeigen

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# mehrstufige zufallsexperimente

Baumdiagramme

- ein mehrstufiges Zufallsexperiment liegt dann vor, wenn man ein Zufallsexperiment k-mal n

Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Stell dir vor, du würfelst mehrmals hintereinander – genau das ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Dabei führst du ein Zufallsexperiment k-mal nacheinander durch und fasst die Ergebnisse zu einem k-Tupel zusammen.

Baumdiagramme machen diese Experimente super übersichtlich. Jeder Pfad vom Startpunkt bis zum Ende zeigt einen möglichen Ausgang. An die Äste schreibst du die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Schritt.

Die Pfadregeln sind deine wichtigsten Werkzeuge: Die Produktregel besagt, dass du alle Wahrscheinlichkeiten eines Pfads multiplizierst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen. Die Summenregel addiert alle relevanten Pfade für ein bestimmtes Ereignis.

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit PA(B)P_A(B) fragst du: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?" Die Formel lautet: PA(B)=P(AB)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B) gilt.

Merktipp: Bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen immer an den zweiten Ästen deines Baumdiagramms!

# mehrstufige zufallsexperimente

Baumdiagramme

- ein mehrstufiges Zufallsexperiment liegt dann vor, wenn man ein Zufallsexperiment k-mal n

Binomialverteilung und Bernoulli-Kette

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein "Erfolg" bei n wiederholten Versuchen auftritt – perfekt für Münzwürfe oder Ja/Nein-Fragen. Die Wahrscheinlichkeitsformel ist: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

Der Erwartungswert E(X)=npE(X) = n \cdot p zeigt dir, wie viele Erfolge du durchschnittlich erwarten kannst. Die Standardabweichung σ=npq\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} misst die Streuung um diesen Wert.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie P(Xk)P(X \leq k) geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge auftreten. Wichtige Umformungen sind: P(X>k)=1P(Xk)P(X > k) = 1 - P(X \leq k) und P(Xk)=1P(Xk1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1).

Die Sigma-Regeln helfen bei schnellen Abschätzungen: Etwa 68% aller Werte liegen im 1σ-Bereich um den Erwartungswert, 95% im 2σ-Bereich und 99,7% im 3σ-Bereich.

Praxistipp: Lerne die typischen Formulierungen wie "maximal k Erfolge" = P(Xk)P(X \leq k) oder "mindestens k Erfolge" = P(Xk)P(X \geq k)!

# mehrstufige zufallsexperimente

Baumdiagramme

- ein mehrstufiges Zufallsexperiment liegt dann vor, wenn man ein Zufallsexperiment k-mal n

Normalverteilung und Näherungsverfahren

Wenn σ3\sigma \geq 3 ist LaplaceBedingungLaplace-Bedingung, kannst du die Binomialverteilung durch eine Glockenkurve annähern – das macht Berechnungen bei großen n viel einfacher. Die Glockenfunktion hat die Form: φμ,σ(x)=1σ2πe(xμ)22σ2\varphi_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.

Der Satz von Moivre-Laplace ermöglicht es dir, komplizierte Binomialwahrscheinlichkeiten durch Integration zu berechnen: P(k1Xk2)=Φ(k2μ+0,5σ)Φ(k1μ0,5σ)P(k_1 \leq X \leq k_2) = \Phi(\frac{k_2 - \mu + 0,5}{\sigma}) - \Phi(\frac{k_1 - \mu - 0,5}{\sigma}).

Die Stetigkeitskorrektur (±0,5) ist wichtig, weil du von diskreten zu stetigen Werten wechselst. Die Gauß'sche Integralfunktion Φ\Phi kannst du mit dem GTR berechnen.

Bei stetigen Zufallsgrößen entspricht P(aXb)P(a \leq X \leq b) der Fläche unter der Glockenkurve zwischen a und b. Das praktische Vorgehen: Erst μ\mu und σ\sigma berechnen, dann die standardisierten Werte bestimmen und schließlich die Differenz der Φ\Phi-Werte bilden.

Anwendung: Diese Näherung sparst du dir viel Rechenzeit, wenn n so groß wird, dass selbst Computer an ihre Grenzen stoßen!



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathe

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Flora

@therealfob_jyoj

Mehrstufige Zufallsexperimente sind der Schlüssel zu vielen realen Wahrscheinlichkeitsproblemen – von Spielen bis hin zu wissenschaftlichen Studien. Mit Baumdiagrammen und cleveren Formeln kannst du komplexe Wahrscheinlichkeiten berechnen und Vorhersagen treffen.

# mehrstufige zufallsexperimente

Baumdiagramme

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Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Stell dir vor, du würfelst mehrmals hintereinander – genau das ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Dabei führst du ein Zufallsexperiment k-mal nacheinander durch und fasst die Ergebnisse zu einem k-Tupel zusammen.

Baumdiagramme machen diese Experimente super übersichtlich. Jeder Pfad vom Startpunkt bis zum Ende zeigt einen möglichen Ausgang. An die Äste schreibst du die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Schritt.

Die Pfadregeln sind deine wichtigsten Werkzeuge: Die Produktregel besagt, dass du alle Wahrscheinlichkeiten eines Pfads multiplizierst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen. Die Summenregel addiert alle relevanten Pfade für ein bestimmtes Ereignis.

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit PA(B)P_A(B) fragst du: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?" Die Formel lautet: PA(B)=P(AB)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B) gilt.

Merktipp: Bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen immer an den zweiten Ästen deines Baumdiagramms!

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Binomialverteilung und Bernoulli-Kette

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein "Erfolg" bei n wiederholten Versuchen auftritt – perfekt für Münzwürfe oder Ja/Nein-Fragen. Die Wahrscheinlichkeitsformel ist: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

Der Erwartungswert E(X)=npE(X) = n \cdot p zeigt dir, wie viele Erfolge du durchschnittlich erwarten kannst. Die Standardabweichung σ=npq\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} misst die Streuung um diesen Wert.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie P(Xk)P(X \leq k) geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge auftreten. Wichtige Umformungen sind: P(X>k)=1P(Xk)P(X > k) = 1 - P(X \leq k) und P(Xk)=1P(Xk1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1).

Die Sigma-Regeln helfen bei schnellen Abschätzungen: Etwa 68% aller Werte liegen im 1σ-Bereich um den Erwartungswert, 95% im 2σ-Bereich und 99,7% im 3σ-Bereich.

Praxistipp: Lerne die typischen Formulierungen wie "maximal k Erfolge" = P(Xk)P(X \leq k) oder "mindestens k Erfolge" = P(Xk)P(X \geq k)!

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Normalverteilung und Näherungsverfahren

Wenn σ3\sigma \geq 3 ist LaplaceBedingungLaplace-Bedingung, kannst du die Binomialverteilung durch eine Glockenkurve annähern – das macht Berechnungen bei großen n viel einfacher. Die Glockenfunktion hat die Form: φμ,σ(x)=1σ2πe(xμ)22σ2\varphi_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.

Der Satz von Moivre-Laplace ermöglicht es dir, komplizierte Binomialwahrscheinlichkeiten durch Integration zu berechnen: P(k1Xk2)=Φ(k2μ+0,5σ)Φ(k1μ0,5σ)P(k_1 \leq X \leq k_2) = \Phi(\frac{k_2 - \mu + 0,5}{\sigma}) - \Phi(\frac{k_1 - \mu - 0,5}{\sigma}).

Die Stetigkeitskorrektur (±0,5) ist wichtig, weil du von diskreten zu stetigen Werten wechselst. Die Gauß'sche Integralfunktion Φ\Phi kannst du mit dem GTR berechnen.

Bei stetigen Zufallsgrößen entspricht P(aXb)P(a \leq X \leq b) der Fläche unter der Glockenkurve zwischen a und b. Das praktische Vorgehen: Erst μ\mu und σ\sigma berechnen, dann die standardisierten Werte bestimmen und schließlich die Differenz der Φ\Phi-Werte bilden.

Anwendung: Diese Näherung sparst du dir viel Rechenzeit, wenn n so groß wird, dass selbst Computer an ihre Grenzen stoßen!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Sudenaz Ocak

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Paul T

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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