Monotonie und Krümmung: Funktionen einfach erklärt

Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten

Streng monoton steigend (sms) bedeutet: Wenn x größer wird, wird auch f$x$ größer. Streng monoton fallend (smf) ist das Gegenteil - wenn x größer wird, wird f$x$ kleiner.

Der Monotoniesatz macht's dir einfach: Ist f'$x$ > 0, dann steigt die Funktion streng monoton. Ist f'$x$ < 0, dann fällt sie streng monoton. Die erste Ableitung verrät dir also sofort die Richtung!

Bei der Krümmung hilft dir die zweite Ableitung weiter. Ist f''$x$ > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lächelnder Smiley 😊). Ist f''$x$ < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriger Smiley 😞).

Merktipp: Positiver Smiley = linksgekrümmt, negativer Smiley = rechtsgekrümmt!

Praktische Anwendung: Extremstellen finden

Um Hoch- und Tiefpunkte zu finden, brauchst du zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f'(x₀) = 0 findet mögliche Extremstellen. Die hinreichende Bedingung mit f''(x₀) entscheidet dann, ob es wirklich ein Extremum ist.

Ist f''(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt (rechtsgekrümmt = Berg). Ist f''(x₀) > 0, ist es ein Tiefpunkt (linksgekrümmt = Tal). Das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidet!

Bei der praktischen Berechnung gehst du systematisch vor: Erst f'$x$ = 0 lösen für die x-Werte, dann f''$x$ berechnen und die x-Werte einsetzen. Zum Schluss noch die y-Koordinaten mit f$x$ bestimmen.

Die Krümmungsintervalle findest du, indem du die Nullstellen von f''$x$ berechnest und Vorzeichentabellen erstellst. So siehst du genau, wo der Graph wie gekrümmt ist.

Praxis-Tipp: Vorzeichentabellen helfen dir, das Krümmungsverhalten übersichtlich darzustellen!