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MatheMathe1,124 aufrufe·Aktualisiert Jun 7, 2026·2 Seiten

Monotonie und Krümmung: Funktionen einfach erklärt

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antonia @antonia_hen

In der Analysis ist das Monotonieverhalten einer Funktion super wichtig,... Mehr anzeigen

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Monotonieverhalten Für f heißt "streng monoton steigend" (sms), im Intervall I, wenn gilt: $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1), x_1, x_2

Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten

Streng monoton steigend (sms) bedeutet: Wenn x größer wird, wird auch f(x) größer. Streng monoton fallend (smf) ist das Gegenteil - wenn x größer wird, wird f(x) kleiner.

Der Monotoniesatz macht's dir einfach: Ist f'(x) > 0, dann steigt die Funktion streng monoton. Ist f'(x) < 0, dann fällt sie streng monoton. Die erste Ableitung verrät dir also sofort die Richtung!

Bei der Krümmung hilft dir die zweite Ableitung weiter. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lächelnder Smiley 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriger Smiley 😞).

Merktipp: Positiver Smiley = linksgekrümmt, negativer Smiley = rechtsgekrümmt!

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Monotonieverhalten Für f heißt "streng monoton steigend" (sms), im Intervall I, wenn gilt: $x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1), x_1, x_2

Praktische Anwendung: Extremstellen finden

Um Hoch- und Tiefpunkte zu finden, brauchst du zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f'(x₀) = 0 findet mögliche Extremstellen. Die hinreichende Bedingung mit f''(x₀) entscheidet dann, ob es wirklich ein Extremum ist.

Ist f''(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt rechtsgekru¨mmt=Bergrechtsgekrümmt = Berg. Ist f''(x₀) > 0, ist es ein Tiefpunkt linksgekru¨mmt=Tallinksgekrümmt = Tal. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidet!

Bei der praktischen Berechnung gehst du systematisch vor: Erst f'(x) = 0 lösen für die x-Werte, dann f''(x) berechnen und die x-Werte einsetzen. Zum Schluss noch die y-Koordinaten mit f(x) bestimmen.

Die Krümmungsintervalle findest du, indem du die Nullstellen von f''(x) berechnest und Vorzeichentabellen erstellst. So siehst du genau, wo der Graph wie gekrümmt ist.

Praxis-Tipp: Vorzeichentabellen helfen dir, das Krümmungsverhalten übersichtlich darzustellen!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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4.7/5Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Monotonie und Krümmung: Funktionen einfach erklärt

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antonia @antonia_hen

In der Analysis ist das Monotonieverhalten einer Funktion super wichtig, um zu verstehen, ob eine Funktion steigt oder fällt. Mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung kannst du nicht nur das Steigungsverhalten analysieren, sondern auch herausfinden, ob der Graph nach... Mehr anzeigen

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Streng monoton steigend (sms) bedeutet: Wenn x größer wird, wird auch f(x) größer. Streng monoton fallend (smf) ist das Gegenteil - wenn x größer wird, wird f(x) kleiner.

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Bei der Krümmung hilft dir die zweite Ableitung weiter. Ist f''(x) > 0, dann ist der Graph linksgekrümmt (wie ein lächelnder Smiley 😊). Ist f''(x) < 0, dann ist er rechtsgekrümmt (wie ein trauriger Smiley 😞).

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Praktische Anwendung: Extremstellen finden

Um Hoch- und Tiefpunkte zu finden, brauchst du zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung f'(x₀) = 0 findet mögliche Extremstellen. Die hinreichende Bedingung mit f''(x₀) entscheidet dann, ob es wirklich ein Extremum ist.

Ist f''(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt rechtsgekru¨mmt=Bergrechtsgekrümmt = Berg. Ist f''(x₀) > 0, ist es ein Tiefpunkt linksgekru¨mmt=Tallinksgekrümmt = Tal. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidet!

Bei der praktischen Berechnung gehst du systematisch vor: Erst f'(x) = 0 lösen für die x-Werte, dann f''(x) berechnen und die x-Werte einsetzen. Zum Schluss noch die y-Koordinaten mit f(x) bestimmen.

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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