Die Ortskurve einfach bestimmen

Ortskurve bestimmen - Schritt für Schritt

Bei einer Ortskurve verfolgst du, wo die Extrempunkte einer Funktionsschar liegen, wenn sich der Parameter ändert. Das machst du in zwei Hauptschritten: Extrempunkte finden und dann die Ortskurve aufstellen.

Für die Funktion f$x$ = ¼x³ - 2ax² mit a > 0 bildest du zuerst die Ableitungen: f'$x$ = ¾x² - 4ax und f''$x$ = 3/2x - 4a. Mit der notwendigen Bedingung f'$x$ = 0 findest du drei kritische Stellen: x₁ = 0, x₂ = 2√a und x₃ = -2√a.

Die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung zeigt dir: Bei x = 0 hast du einen Hochpunkt HP(0|0), bei x = ±2√a jeweils Tiefpunkte TP$±2√a| -4a²$. Jetzt weißt du genau, wo deine Extrempunkte liegen!

Tipp: Die zweite Ableitung entscheidet: f''$x$ < 0 = Hochpunkt, f''$x$ > 0 = Tiefpunkt.

Für die Ortskurve wählst du einen Extrempunkt aus, zum Beispiel TP$2√a| -4a²$. Du setzt x = 2√a und löst nach dem Parameter auf: a = x²/4. Das setzt du in die y-Koordinate ein und erhältst g$x$ = -x²/a als Ortskurve.